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\chapter{\tr{Point processes}{Punktprozesse}}
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\begin{figure}[t]
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\texpicture{pointprocessscetchB}
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\caption{\label{pointprocessscetchfig}Ein Punktprozess ist eine
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Abfolge von Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle
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$T_i=t_{i+1}-t_i$ oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben
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werden kann. }
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\end{figure}
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Ein zeitlicher Punktprozess ist ein stochastischer Prozess, der eine
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Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten $\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$,
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generiert.
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Jeder Punktprozess wird durch einen sich in der Zeit kontinuierlich
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entwickelnden Prozess generiert. Wann immer dieser Prozess eine
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Schwelle \"uberschreitet wird ein Ereigniss des Punktprozesses
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erzeugt. Zum Beispiel:
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\begin{itemize}
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\item Aktionspotentiale/Herzschlag: wird durch die Dynamik des
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Membranpotentials eines Neurons/Herzzelle erzeugt.
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\item Erdbeben: wird durch die Dynamik des Druckes zwischen
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tektonischen Platten auf beiden Seiten einer geologischen Verwerfung
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erzeugt.
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\item Zeitpunkt eines Grillen/Frosch/Vogelgesangs: wird durch die
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Dynamik des Nervensystems und des Muskelapparates erzeugt.
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\end{itemize}
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{rasterexamples}
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\caption{\label{rasterexamplesfig}Raster-Plot von jeweils 10
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Realisierungen eines station\"arenen Punktprozesses (homogener
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Poisson Prozess mit Rate $\lambda=20$\;Hz, links) und eines
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nicht-station\"aren Punktprozesses (perfect integrate-and-fire
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Neuron getrieben mit Ohrnstein-Uhlenbeck Rauschen mit
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Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).}
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\end{figure}
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\section{Intervall Statistik}
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{isihexamples}\hfill
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\caption{\label{isihexamplesfig}Interspike-Intervall Histogramme der in
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\figref{rasterexamplesfig} gezeigten Spikes.}
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\end{figure}
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\subsection{(Interspike) Intervall Statistik erster Ordnung}
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\begin{itemize}
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\item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$. Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT = 1$.
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\item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$.
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\item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex}
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\item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$.
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\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
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\end{itemize}
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\subsection{Interval return maps}
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Scatter plot von aufeinander folgenden Intervallen $(T_{i+k}, T_i)$ getrennt durch das ``lag'' $k$.
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples}
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\includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples}
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\caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps and serial correlations.}
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\end{figure}
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\subsection{Serielle Korrelationen der Intervalle}
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Korrelationskoeffizient zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``lag'' $k$:
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\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} \]
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$\rho_0=1$ (Korrelation jedes Intervalls mit sich selber).
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\section{Z\"ahlstatistik}
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% \begin{figure}[t]
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% \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz10ms}\hfill
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% \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz100ms}
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% \caption{\label{countstatsfig}Count Statistik.}
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% \end{figure}
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Statistik der Anzahl der Ereignisse $N_i$ innerhalb von Beobachtungsfenstern $i$ der Breite $W$.
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\begin{itemize}
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\item Histogramm der counts $N_i$.
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\item Mittlere Anzahl von Ereignissen: $\mu_N = \langle N \rangle$.
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\item Varianz der Anzahl: $\sigma_N^2 = \langle (N - \langle N \rangle)^2 \rangle$.
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\item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_N^2}{\mu_N}$.
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\end{itemize}
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Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz
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\[ r = \frac{\langle N \rangle}{W} \; . \]
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% \begin{figure}[t]
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% \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
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% Poisson process $\lambda=100$\,Hz:\\
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% \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonfano100hz}
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% \end{minipage}
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% \hfill
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% \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
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% LIF $I=10$, $\tau_{adapt}=100$\,ms:\\
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% \includegraphics[width=1\textwidth]{lifadaptfano10-100ms}
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% \end{minipage}
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% \caption{\label{fanofig}Fano factor.}
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% \end{figure}
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