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\chapter{\tr{Point processes}{Punktprozesse}}

\begin{figure}[t]
  \texpicture{pointprocessscetchB}
  \caption{\label{pointprocessscetchfig}Ein Punktprozess ist eine
    Abfolge von Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle
    $T_i=t_{i+1}-t_i$ oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben
    werden kann. }
\end{figure}

Ein zeitlicher Punktprozess ist ein stochastischer Prozess, der eine
Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten $\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$,
generiert.

Jeder Punktprozess wird durch einen sich in der Zeit kontinuierlich
entwickelnden Prozess generiert. Wann immer dieser Prozess eine
Schwelle \"uberschreitet wird ein Ereigniss des Punktprozesses
erzeugt. Zum Beispiel:
\begin{itemize}
\item Aktionspotentiale/Herzschlag: wird durch die Dynamik des
  Membranpotentials eines Neurons/Herzzelle erzeugt.
\item Erdbeben: wird durch die Dynamik des Druckes zwischen
  tektonischen Platten auf beiden Seiten einer geologischen Verwerfung
  erzeugt.
\item Zeitpunkt eines Grillen/Frosch/Vogelgesangs: wird durch die
  Dynamik des Nervensystems und des Muskelapparates erzeugt.
\end{itemize}

\begin{figure}[t]
  \includegraphics[width=1\textwidth]{rasterexamples}
  \caption{\label{rasterexamplesfig}Raster-Plot von jeweils 10
    Realisierungen eines station\"arenen Punktprozesses (homogener
    Poisson Prozess mit Rate $\lambda=20$\;Hz, links) und eines
    nicht-station\"aren Punktprozesses (perfect integrate-and-fire
    Neuron getrieben mit Ohrnstein-Uhlenbeck Rauschen mit
    Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).}
\end{figure}

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\section{Intervall Statistik}

\begin{figure}[t]
  \includegraphics[width=1\textwidth]{isihexamples}\hfill
  \caption{\label{isihexamplesfig}Interspike-Intervall Histogramme der in
    \figref{rasterexamplesfig} gezeigten Spikes.}
\end{figure}

\subsection{(Interspike) Intervall Statistik erster Ordnung}
\begin{itemize}
\item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$. Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT = 1$.
\item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$.
\item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex}
\item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$.
\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
\end{itemize}

\subsection{Interval return maps}
Scatter plot von aufeinander folgenden Intervallen $(T_{i+k}, T_i)$ getrennt durch das ``lag'' $k$.

\begin{figure}[t]
  \includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples}
  \includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples}
  \caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps and serial correlations.}
\end{figure}

\subsection{Serielle Korrelationen der Intervalle}
Korrelationskoeffizient zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``lag'' $k$:
\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} \]
$\rho_0=1$ (Korrelation jedes Intervalls mit sich selber).


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\section{Z\"ahlstatistik}

% \begin{figure}[t]
%   \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz10ms}\hfill
%   \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz100ms}
%   \caption{\label{countstatsfig}Count Statistik.}
% \end{figure}

Statistik der Anzahl der Ereignisse $N_i$ innerhalb von Beobachtungsfenstern $i$ der Breite $W$.
\begin{itemize}
\item Histogramm der counts $N_i$.
\item Mittlere Anzahl von Ereignissen: $\mu_N = \langle N \rangle$.
\item Varianz der Anzahl: $\sigma_N^2 = \langle (N - \langle N \rangle)^2 \rangle$.
\item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_N^2}{\mu_N}$.
\end{itemize}

Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz
\[ r = \frac{\langle N \rangle}{W} \; . \]

% \begin{figure}[t]
%   \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
%     Poisson process $\lambda=100$\,Hz:\\
%     \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonfano100hz}
%   \end{minipage}
%   \hfill
%   \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
%     LIF $I=10$, $\tau_{adapt}=100$\,ms:\\
%     \includegraphics[width=1\textwidth]{lifadaptfano10-100ms}
%   \end{minipage}
%   \caption{\label{fanofig}Fano factor.}
% \end{figure}