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\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage{pslatex}
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\usepackage[mediumspace,mediumqspace,Gray]{SIunits} % \ohm, \micro
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref}
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%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
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\pagestyle{headandfoot}
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\ifprintanswers
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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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\else
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\newcommand{\stitle}{}
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\fi
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\header{{\bfseries\large \"Ubung 6X\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 22. November, 2016}}
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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
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jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\runningfooter{}{\thepage}{}
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\setlength{\baselineskip}{15pt}
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\setlength{\parindent}{0.0cm}
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\setlength{\parskip}{0.3cm}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
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%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{listings}
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\lstset{
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}
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%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{bm}
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\usepackage{dsfont}
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\newcommand{\naZ}{\mathds{N}}
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\newcommand{\gaZ}{\mathds{Z}}
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\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}}
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\newcommand{\reZ}{\mathds{R}}
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\newcommand{\koZ}{\mathds{C}}
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%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
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\newpage
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
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\newpage%
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\else
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\fi}
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%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\input{instructions}
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\begin{questions}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung}
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Mit den folgenden Aufgaben wollen wir bestimmen, welcher Anteil eines
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normalverteilten Datensatzes in bestimmten Grenzen symmetrisch um den
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Mittelwert enthalten ist.
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\begin{parts}
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\part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
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$n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
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Standardabweichung $\sigma=1$ (\code{randn() Funktion}).
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\part Bestimme und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallszahlen (normiertes Histogramm).
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\part Plotte zum Vergleich in den gleichen Plot die Normalverteilung
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\[ p_g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
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\part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
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D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
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Wie gro{\ss} ist also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
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Wert in diesem Interval zu erhalten?
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\part \label{probintegral} Berechne numerisch diese
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Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral
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\[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \]
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\"uber die Normalverteilung.
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\"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich
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\[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
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Warum muss das so sein?
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\part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm2\sigma$ sowie $\pm3\sigma$
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enthalten?
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\part \label{givenfraction} Finde heraus in welchem Interval symmetrisch um den Mittelwert
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50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten sind.
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\part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
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-- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
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beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
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Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
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Wie bekommt man mit \code{randn()} Zufallszahlen mit beliebiger
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Standardabweichung und Mittelwerten?
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{normprobs.m}
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\end{solution}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\question \qt{Zentraler Grenzwertsatz}
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Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabh\"angigen
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und identisch verteilten (i.i.d. = independent and identically
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distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert.
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Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
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\begin{parts}
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\part Versuche dir klar zu machen, was der Zentrale Grenzwertsatz
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bedeutet, und wie du vorgehen k\"onntest ein Programm zu
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schreiben, das den Grenzwertsatz illustriert.
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\part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen
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(Funktion \code{rand}).
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\part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram).
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\part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und
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addiere diese zu den bereits vorhandenen auf.
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\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten
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Zufallszahlen.
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\part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male.
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\part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der
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aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion
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\[ p_g(x) =
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\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
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mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der
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aufsummierten Zufallszahlen.
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\part Wie \"andert sich der Mittelwert und die
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Standardabweichung/Varianz
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der aufsummierten Zufallszahlen?\\
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Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung
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zusammen?
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\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit exponentiell
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verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{centrallimit.m}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist01}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist02}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist03}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist05}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-samples}
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\end{solution}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\question \qt{Random Walk}
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Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
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\begin{parts}
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\part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
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Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
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einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.
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\part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
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f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).\\
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Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die Standardabweichung
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des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich entwickelt.
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\part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
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Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
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jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
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\"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.\\
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Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
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ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
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|
gro{\ss}e Anzahl von Schritten?
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\part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position eines Random Walkers
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zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{randomwalk.m}
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\lstinputlisting{randomwalkstatistics.m}
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\includegraphics[width=0.8\textwidth]{randomwalk-traces}\\
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-stdev}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-hists}
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\end{solution}
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\question \qt{\extra 2D Random Walk}
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Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt
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(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
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In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
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Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
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rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
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sind unabh\"angig voneinander.
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\begin{parts}
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\part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
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eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
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simuliert werden?
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\part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
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Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
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\part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
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\part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
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sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
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mit einem Farbcode plotten.
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document} |