\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}

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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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\newcommand{\stitle}{}
\fi
\header{{\bfseries\large \"Ubung 6X\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 22. November, 2016}}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\lstset{
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\input{instructions}


\begin{questions}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung}
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir bestimmen, welcher Anteil eines
normalverteilten Datensatzes in bestimmten Grenzen symmetrisch um den
Mittelwert enthalten ist.
\begin{parts}
  \part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
  $n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
  Standardabweichung $\sigma=1$ (\code{randn() Funktion}).
  \part Bestimme und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallszahlen (normiertes Histogramm).
  \part Plotte zum Vergleich in den gleichen Plot die Normalverteilung
  \[ p_g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
  \part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
  D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
  Wie gro{\ss} ist also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
  Wert in diesem Interval zu erhalten?
  \part \label{probintegral} Berechne numerisch diese
  Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral
  \[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \]
  \"uber die Normalverteilung.
  \"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich
  \[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
  Warum muss das so sein?
  \part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm2\sigma$ sowie $\pm3\sigma$
  enthalten?
  \part \label{givenfraction} Finde heraus in welchem Interval symmetrisch um den Mittelwert
  50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten sind.
  \part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
  -- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
  beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
  Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
  Wie bekommt man mit \code{randn()} Zufallszahlen mit beliebiger
  Standardabweichung und Mittelwerten?
\end{parts}
\begin{solution}
  \lstinputlisting{normprobs.m}
\end{solution}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Zentraler Grenzwertsatz}
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabh\"angigen
und identisch verteilten (i.i.d. = independent and identically
distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert.

Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
\begin{parts}
  \part Versuche dir klar zu machen, was der Zentrale Grenzwertsatz
  bedeutet, und wie du vorgehen k\"onntest ein Programm zu
  schreiben, das den Grenzwertsatz illustriert.
  \part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen
  (Funktion \code{rand}).
  \part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram).
  \part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und
  addiere diese zu den bereits vorhandenen auf.
  \part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten
  Zufallszahlen.
  \part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male.
  \part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der
  aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion
  \[ p_g(x) =
  \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
  mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der
  aufsummierten Zufallszahlen.
  \part Wie \"andert sich der Mittelwert und die
  Standardabweichung/Varianz
  der aufsummierten Zufallszahlen?\\
  Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung
  zusammen?
  \part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit exponentiell
  verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
\end{parts}
\begin{solution}
  \lstinputlisting{centrallimit.m}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist01}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist02}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist03}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist05}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-samples}
\end{solution}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Random Walk}
Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
\begin{parts}
  \part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
  Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
  einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.
  \part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
  f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).\\
  Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die Standardabweichung
  des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich entwickelt.
  \part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
  Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
  jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
  \"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.\\
  Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
  ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
  gro{\ss}e Anzahl von Schritten?
  \part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position eines Random Walkers
  zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
\end{parts}
\begin{solution}
  \lstinputlisting{randomwalk.m}
  \lstinputlisting{randomwalkstatistics.m}
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{randomwalk-traces}\\
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-stdev}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-hists}
\end{solution}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{\extra 2D Random Walk}
Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt 
(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
sind unabh\"angig voneinander.
\begin{parts}
  \part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
  eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
  simuliert werden?
  \part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
  Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
  \part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
  \part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
  sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
  mit einem Farbcode plotten.
\end{parts}

\end{questions}

\end{document}