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TeX
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\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage{pslatex}
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\usepackage[mediumspace,mediumqspace,Gray]{SIunits} % \ohm, \micro
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref}
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%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
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\pagestyle{headandfoot}
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\ifprintanswers
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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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\else
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\newcommand{\stitle}{}
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\fi
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\header{{\bfseries\large \"Ubung 8\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 29. November, 2016}}
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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
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jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\runningfooter{}{\thepage}{}
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\setlength{\baselineskip}{15pt}
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\setlength{\parindent}{0.0cm}
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\setlength{\parskip}{0.3cm}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
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%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{listings}
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\lstset{
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language=Matlab,
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}
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%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{bm}
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\usepackage{dsfont}
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\newcommand{\naZ}{\mathds{N}}
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\newcommand{\gaZ}{\mathds{Z}}
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\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}}
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\newcommand{\reZ}{\mathds{R}}
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\newcommand{\reZp}{\mathds{R^+}}
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\newcommand{\reZpN}{\mathds{R^+_0}}
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\newcommand{\koZ}{\mathds{C}}
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%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
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\newpage
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
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\newpage%
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\else
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\fi}
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%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\input{instructions}
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\begin{questions}
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\question \qt{Statistik des Random Walks}
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Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
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\begin{parts}
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\part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
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Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
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einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.
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\part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
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f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).
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Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die
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Standardabweichung des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich
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entwickelt.
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\part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
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Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
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jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
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\"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.
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Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
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ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
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gro{\ss}e Anzahl von Schritten?
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\part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position
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eines Random Walkers zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{randomwalk.m}
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\lstinputlisting{randomwalkstatistics.m}
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\includegraphics[width=0.8\textwidth]{randomwalk-traces}\\
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-stdev}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-hists}
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\end{solution}
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\question \qt{\extra 2D Random Walk}
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Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt
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(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
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In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
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Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
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rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
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sind unabh\"angig voneinander.
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\begin{parts}
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\part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
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eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
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simuliert werden?
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\part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
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Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
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\part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
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\part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
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sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
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mit einem Farbcode plotten.
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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