81 lines
3.0 KiB
TeX
81 lines
3.0 KiB
TeX
\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
|
|
|
|
\newcommand{\exercisetopic}{Statistics -- Random Walk}
|
|
\newcommand{\exercisenum}{X3}
|
|
\newcommand{\exercisedate}{XXX}
|
|
|
|
\input{../../exercisesheader}
|
|
|
|
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{}{jan.benda@uni-tuebingen.de}
|
|
|
|
\usepackage[german]{babel}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\input{../../exercisestitle}
|
|
|
|
\begin{questions}
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\question \qt{Statistik des Random Walks}
|
|
Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
|
|
Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
|
|
einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.
|
|
|
|
\part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
|
|
f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).
|
|
|
|
Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die
|
|
Standardabweichung des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich
|
|
entwickelt.
|
|
|
|
\part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
|
|
Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
|
|
jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
|
|
\"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.
|
|
|
|
Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
|
|
ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
|
|
gro{\ss}e Anzahl von Schritten?
|
|
|
|
\part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position
|
|
eines Random Walkers zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
|
|
\end{parts}
|
|
\begin{solution}
|
|
\lstinputlisting{randomwalk.m}
|
|
\lstinputlisting{randomwalkstatistics.m}
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{randomwalk-traces}\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-stdev}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-hists}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\question \qt{\extra 2D Random Walk}
|
|
Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt
|
|
(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
|
|
In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
|
|
Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
|
|
rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
|
|
sind unabh\"angig voneinander.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
|
|
eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
|
|
simuliert werden?
|
|
\part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
|
|
Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
|
|
\part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
|
|
\part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
|
|
sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
|
|
mit einem Farbcode plotten.
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\end{questions}
|
|
|
|
\end{document}
|
|
|