\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}

\newcommand{\exercisetopic}{Statistics -- Random Walk}
\newcommand{\exercisenum}{X3}
\newcommand{\exercisedate}{XXX}

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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{}{jan.benda@uni-tuebingen.de}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\input{../../exercisestitle}

\begin{questions}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\question \qt{Statistik des Random Walks}
Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
\begin{parts}
  \part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
  Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
  einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.

  \part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
  f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).

  Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die
  Standardabweichung des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich
  entwickelt.

  \part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
  Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
  jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
  \"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.

  Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
  ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
  gro{\ss}e Anzahl von Schritten?

  \part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position
  eines Random Walkers zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
\end{parts}
\begin{solution}
  \lstinputlisting{randomwalk.m}
  \lstinputlisting{randomwalkstatistics.m}
  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{randomwalk-traces}\\
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-stdev}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-hists}
\end{solution}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{\extra 2D Random Walk}
Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt 
(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
sind unabh\"angig voneinander.
\begin{parts}
  \part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
  eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
  simuliert werden?
  \part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
  Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
  \part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
  \part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
  sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
  mit einem Farbcode plotten.
\end{parts}

\end{questions}

\end{document}