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\ifprintanswers
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%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\input{instructions}
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\begin{questions}
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten eines W\"urfels I}
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Der Computer kann auch als W\"urfel verwendet werden!
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\begin{parts}
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\part Simuliere 10000 W\"urfe mit dem W\"urfel durch Erzeugung von
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ganzzahligen Zufallszahlen mit den Augenzahlen $x_i = 1, 2, \ldots 6$ .
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\part Berechne die Wahrscheinlichkeit $P(3)$
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des Auftretens der Augenzahl drei durch Bestimmung der Anzahl der Dreien im Datensatz.\\
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Entspricht das Ergebnis deiner Erwartung?\\
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\"Uberpr\"ufe auch die Wahrscheinlichkeit $P(x_i)$ der anderen Zahlen.\\
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Ist das ein fairer W\"urfel?
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\part Speicher die berechneten Wahrscheinlichkeiten $P(x_i)$ f\"ur das Auftreten der
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gew\"urfelten Zahlen in einem Vektor und benutze die \code{bar} Funktion,
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um diese Wahrscheinlichkeiten als Funktion der Augenzahl zu plotten.
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\part Erstelle in einem weiterem Plot ein entsprechendes normiertes Histogramm
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mit der \code{hist} Funktion.
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\part \extra Wie k\"onnte man einen gezinkten W\"urfel simulieren, bei dem die sechs
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dreimal so h\"aufig wie die anderen Zahlen gew\"urfelt wird?\\
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Fertige von diesem W\"urfel ein Histogram aus 10000 W\"urfen an.
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{rollthedie.m}
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\lstinputlisting{diehist.m}
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\lstinputlisting{die1.m}
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\end{solution}
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\continue
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten eines W\"urfels II}
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Wir werten nun das Verhalten mehrerer W\"urfel aus.
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\begin{parts}
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\part Simuliere 20 W\"urfel, von denen jeder 100 mal geworfen wird
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(jeder W\"urfel wird mit dem gleichen Zufallsgenerator simuliert).
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\part Berechne aus diesem Datensatz f\"ur jeden W\"urfel ein normiertes Histogramm.
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\part Bestimme den Mittelwert und die Standardabweichung f\"ur jede
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Augenzahl gemittelt \"uber die W\"urfel.
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\part Stelle das Ergebnis mit einem S\"aulenplot mit Fehlerbalken dar
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(\code{bar} mit \code{errorbar} Funktionen).
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{die2.m}
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\end{solution}
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung}
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Mit den folgenden Aufgaben wollen wir bestimmen, welcher Anteil eines
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normalverteilten Datensatzes in bestimmten Grenzen symmetrisch um den
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Mittelwert enthalten ist.
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\begin{parts}
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\part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
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$n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
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Standardabweichung $\sigma=1$.
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\part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
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D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
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Wie gro{\ss} ist also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
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Wert in diesem Interval zu erhalten?
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\part \label{probintegral} Berechne numerisch diese
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Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral
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\[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \]
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\"uber die Normalverteilung
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\[ p_g(x) =
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\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
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\"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich
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\[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
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Warum muss das so sein?
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\part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm2\sigma$ sowie $\pm3\sigma$
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enthalten?
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\part \label{givenfraction} Finde heraus in welchem Interval symmetrisch um den Mittelwert
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50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten sind.
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\part Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit eine Zahl in einem bestimmten Interval
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zu ziehen, wenn dieses Intervall immer kleiner wird?\\
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Schreibe ein Programm, das dies illustriert.\\
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Wie gro{\ss} ist die Wahrscheinlichkeit $P(x_i=0.1234)$?
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\part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
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-- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
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beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
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Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
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Wie bekommt man mit \code{randn} Zufallszahlen mit beliebiger
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Standardabweichung und Mittelwerten?
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{normprobs.m}
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\end{solution}
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\end{questions}
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\end{document}
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statistics/exercises/statistics02.tex
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\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
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%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\pagestyle{headandfoot}
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\ifprintanswers
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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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\else
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\newcommand{\stitle}{}
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\fi
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\header{{\bfseries\large \"Ubung 2\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 20. Oktober, 2015}}
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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
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jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\runningfooter{}{\thepage}{}
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%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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xrightmargin=1em,
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}
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%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{amsmath}
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\newcommand{\naZ}{\mathds{N}}
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\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}}
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\newcommand{\reZ}{\mathds{R}}
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\newcommand{\reZp}{\mathds{R^+}}
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\newcommand{\koZ}{\mathds{C}}
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%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
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\newpage
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
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\newpage%
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|
\else
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\fi}
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%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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|
\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\input{instructions}
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\begin{questions}
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\question \qt{Zentraler Grenzwertsatz}
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Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabh\"angigen
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und identisch verteilten (i.i.d. = independent and identically
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distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert.
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Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
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\begin{parts}
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\part Versuche dir klar zu machen, was der Zentrale Grenzwertsatz
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bedeutet, und wie du vorgehen k\"onntest ein Programm zu
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schreiben, das den Grenzwertsatz illustriert.
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\part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen
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(Funktion \code{rand}).
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\part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram).
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\part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und
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addiere diese zu den bereits vorhandenen auf.
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|
\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten
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|
Zufallszahlen.
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|
\part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male.
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||||||
|
\part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der
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|
aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion
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|
\[ p_g(x) =
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\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
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||||||
|
mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der
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||||||
|
aufsummierten Zufallszahlen.
|
||||||
|
\part Wie \"andert sich der Mittelwert und die
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||||||
|
Standardabweichung/Varianz
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|
der aufsummierten Zufallszahlen?\\
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||||||
|
Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung
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|
zusammen?
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||||||
|
\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit exponentiell
|
||||||
|
verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
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||||||
|
\end{parts}
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||||||
|
\begin{solution}
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\lstinputlisting{centrallimit.m}
|
||||||
|
\end{solution}
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||||||
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||||||
|
|
||||||
|
\question \qt{Random Walk}
|
||||||
|
Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
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|
\begin{parts}
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|
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
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|
Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
|
||||||
|
einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.
|
||||||
|
\part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
|
||||||
|
f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).\\
|
||||||
|
Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die Standardabweichung
|
||||||
|
des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich entwickelt.
|
||||||
|
\part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
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||||||
|
Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
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||||||
|
jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
|
||||||
|
\"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.\\
|
||||||
|
Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
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||||||
|
ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
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||||||
|
gro{\ss}e Anzahl von Schritten?
|
||||||
|
\part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position eines Random Walkers
|
||||||
|
zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
|
||||||
|
\end{parts}
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\lstinputlisting{randomwalk.m}
|
||||||
|
\lstinputlisting{randomwalkstatistics.m}
|
||||||
|
\end{solution}
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||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\question \qt{\extra 2D Random Walk}
|
||||||
|
Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt
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|
(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
|
||||||
|
In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
|
||||||
|
Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
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||||||
|
rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
|
||||||
|
sind unabh\"angig voneinander.
|
||||||
|
\begin{parts}
|
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|
\part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
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|
eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
|
||||||
|
simuliert werden?
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||||||
|
\part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
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||||||
|
Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
|
||||||
|
\part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
|
||||||
|
\part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
|
||||||
|
sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
|
||||||
|
mit einem Farbcode plotten.
|
||||||
|
\end{parts}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{questions}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
144
statistics/exercises/statistics03.tex
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144
statistics/exercises/statistics03.tex
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@ -0,0 +1,144 @@
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|
\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
|
||||||
|
|
||||||
|
\usepackage[german]{babel}
|
||||||
|
\usepackage{pslatex}
|
||||||
|
\usepackage[mediumspace,mediumqspace,Gray]{SIunits} % \ohm, \micro
|
||||||
|
\usepackage{xcolor}
|
||||||
|
\usepackage{graphicx}
|
||||||
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\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
||||||
|
\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
|
||||||
|
\pagestyle{headandfoot}
|
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|
\ifprintanswers
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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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\else
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\newcommand{\stitle}{}
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\fi
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\header{{\bfseries\large \"Ubung 3\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 21. Oktober, 2015}}
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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
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jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\runningfooter{}{\thepage}{}
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%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{listings}
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\lstset{
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}
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%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{bm}
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\usepackage{dsfont}
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\newcommand{\naZ}{\mathds{N}}
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\newcommand{\gaZ}{\mathds{Z}}
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\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}}
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\newcommand{\reZ}{\mathds{R}}
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\newcommand{\reZp}{\mathds{R^+}}
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\newcommand{\reZpN}{\mathds{R^+_0}}
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\newcommand{\koZ}{\mathds{C}}
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%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newpage
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
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\newpage%
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\else
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\fi}
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%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\input{instructions}
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\begin{questions}
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\question \qt{Bootstrap des Standardfehlers}
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\begin{parts}
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\part Lade von Ilias die Datei \code{thymusglandweights.dat} herunter.
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Darin befindet sich ein Datensatz vom Gewicht der Thymus Dr\"use in 14-Tage alten
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H\"uhnerembryos in mg.
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\part Lade diese Daten in Matlab (\code{load} Funktion).
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\part Bestimme Histogramm, Mittelwert und Standardfehler aus den ersten 80 Datenpunkten.
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\part Bestimme den Standardfehler aus den ersten 80 Datenpunkten durch 500-mal Bootstrappen.
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\part Bestimme das 95\,\% Konfidenzintervall f\"ur den Mittelwert
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aus der Bootstrap Verteilung (\code{quantile()} Funktion) --- also
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das Interval innerhalb dessen mit 95\,\% Wahrscheinlichkeit der
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wahre Mittelwert liegen wird.
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\part Benutze den ganzen Datensatz und die Bootstrapping Technik, um die Abh\"angigkeit
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des Standardfehlers von der Stichprobengr\"o{\ss}e zu bestimmen.
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\part Vergleiche mit der bekannten Formel f\"ur den Standardfehler $\sigma/\sqrt{n}$.
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\end{parts}
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\continue
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\question \qt{Student t-Verteilung}
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\begin{parts}
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\part Erzeuge 100000 normalverteilte Zufallszahlen.
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\part Ziehe daraus 1000 Stichproben vom Umfang $m$ (3, 5, 10, 50).
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\part Berechne den Mittelwert $\bar x$ der Stichproben und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte
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dieser Mittelwerte.
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\part Vergleiche diese Wahrscheinlichkeitsdichte mit der Gausskurve.
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\part Berechne ausserdem die Gr\"o{\ss}e $t=\bar x/(\sigma_x/\sqrt{m}$
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(Standardabweichung $\sigma_x$) und vergleiche diese mit der Normalverteilung mit Standardabweichung Eins. Ist $t$ normalverteilt, bzw. unter welchen Bedingungen ist $t$ normalverteilt?
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\end{parts}
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\question \qt{Korrelationen}
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\begin{parts}
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\part Erzeuge 1000 korrelierte Zufallszahlen $x$, $y$ durch
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\begin{verbatim}
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n = 1000
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a = 0.2;
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x = randn(n, 1);
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y = randn(n, 1) + a*x;
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\end{verbatim}
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\part Erstelle einen Scatterplot der beiden Variablen.
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\part Warum ist $y$ mit $x$ korreliert?
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\part Berechne den Korrelationskoeffizienten zwischen $x$ und $y$.
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\part Was m\"usste man tun, um die Korrelationen zwischen den $x$-$y$
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Paaren zu zerst\"oren?
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\part Mach genau dies 1000 mal und berechne jedes Mal den Korrelationskoeffizienten.
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\part Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Korrelationskoeffizienten.
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\part Ist die Korrelation der urspr\"unglichen Daten signifikant?
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\part Variiere den Parameter $a$ und \"uberpr\"ufe auf gleiche Weise die Signifikanz.
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document}
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Reference in New Issue
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