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Jan Benda 2016-11-28 17:33:27 +01:00
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4
pointprocesses/exercises/pointprocesses01.tex
View File

@ -98,8 +98,8 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir die Statistik der Spiketrains
der drei Neurone miteinander vergleichen.
\begin{parts}
\part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Achte darauf, dass sie verschiedene
Variablen\-namen bekommen.
\part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Achte darauf,
dass sie verschiedene Variablen\-namen bekommen.
\begin{solution}
\begin{lstlisting}
clear all

48
statistics/exercises/centrallimit.m
View File

@ -3,36 +3,36 @@ n = 10000;
m = 10; % number of loops
%% (b) a single data set of random numbers:
x = rand( n, 1 );
x = rand(n, 1);
%% (c) plot probability density:
%histogram( x, 'Normalization', 'pdf' );
[h,b] = hist( x, 20 );
%histogram(x, 'Normalization', 'pdf');
[h,b] = hist(x, 20);
h = h/sum(h)/(b(2)-b(1)); % normalization
bar(b, h)
title('A uniform distribution')
xlabel('x')
ylabel('probability density')
pause( 2.0 )
pause(2.0)
%% (d) sum of two random numbers:
y = rand( n, 1 );
y = rand(n, 1);
x = x + y;
%histogram( x, 'Normalization', 'pdf' );
[h,b] = hist( x, 20 );
%histogram(x, 'Normalization', 'pdf');
[h,b] = hist(x, 20);
h = h/sum(h)/(b(2)-b(1)); % normalization
bar(b, h)
title('Sum of two uniform distributions')
xlabel('x')
ylabel('probability density')
pause( 2.0 )
pause(2.0)
%% (f) sum up more distributions:
x = zeros( n, 1 );
means = zeros( m, 1 );
stds = zeros( m, 1 );
x = zeros(n, 1);
means = zeros(m, 1);
stds = zeros(m, 1);
for i=1:m
y = rand( n, 1 ); % new uniform distributed numbers
y = rand(n, 1); % new uniform distributed numbers
x = x + y; % add them to the sum
mu = mean(x); % compute mean
sd = std(x); % compute standard deviation
@ -42,34 +42,34 @@ for i=1:m
xx = -1:0.01:i+1; % x-axis values for plot of pdf
p = exp(-0.5*(xx-mu).^2/sd^2)/sqrt(2*pi*sd^2); % pdf
plot(xx, p, 'r', 'linewidth', 3 )
ns = sprintf( 'N=%d', i );
text( 0.1, 0.9, ns, 'units', 'normalized' )
ns = sprintf('N=%d', i);
text(0.1, 0.9, ns, 'units', 'normalized')
hold on
%histogram( x, 20, 'Normalization', 'pdf' );
[h,b] = hist( x, 20 );
%histogram(x, 20, 'Normalization', 'pdf');
[h,b] = hist(x, 20);
h = h/sum(h)/(b(2)-b(1)); % normalization
bar(b, h)
hold off
xlim([-0.5, i+0.5])
xlabel( 'x' )
ylabel( 'summed pdf' )
savefigpdf( gcf, sprintf('centrallimit-hist%02d.pdf', i), 6, 5 );
xlabel('x')
ylabel('summed pdf')
savefigpdf(gcf, sprintf('centrallimit-hist%02d.pdf', i), 6, 5);
if i < 6
pause( 3.0 )
pause(3.0)
end
end
%% (h) mean and standard deviation in dependence on number of summed up distributions:
nx = 1:m;
plot( nx, means, 'b', 'linewidth', 4 );
plot(nx, means, 'b', 'linewidth', 4);
hold on
plot( nx, stds, 'r', 'linewidth', 4 );
plot(nx, stds, 'r', 'linewidth', 4);
xx = 0:0.01:m;
sdu = 1.0/sqrt(12); % standarad deviation of the uniform distribution
plot( xx, sqrt(xx)*sdu, 'k' )
legend( 'mean', 'std', 'theory' )
legend('mean', 'std', 'theory')
xlabel('N')
hold off
savefigpdf( gcf, 'centrallimit-samples.pdf', 6, 5 );
savefigpdf(gcf, 'centrallimit-samples.pdf', 6, 5);

186
statistics/exercises/exercises02.tex
View File

@ -15,7 +15,7 @@
\else
\newcommand{\stitle}{}
\fi
\header{{\bfseries\large \"Ubung 6X\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 22. November, 2016}}
\header{{\bfseries\large \"Ubung 7\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 29. November, 2016}}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
jan.benda@uni-tuebingen.de}
\runningfooter{}{\thepage}{}
@ -78,6 +78,8 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
\graphicspath{{../../pointprocesses/exercises/}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
@ -96,13 +98,16 @@ Mittelwert enthalten ist.
\part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
$n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
Standardabweichung $\sigma=1$ (\code{randn() Funktion}).
\part Bestimme und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallszahlen (normiertes Histogramm).
\part Plotte zum Vergleich in den gleichen Plot die Normalverteilung
\part Bestimme und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser
Zufallszahlen (normiertes Histogramm) und plotte zum Vergleich in
den gleichen Plot die Normalverteilung
\[ p_g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
\part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
\part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten $X$ sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
Wie gro{\ss} ist also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
Wie gro{\ss} ist dann also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
Wert in diesem Interval zu erhalten?
\part \label{probintegral} Berechne numerisch diese
Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral
\[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \]
@ -110,16 +115,24 @@ Mittelwert enthalten ist.
\"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
Warum muss das so sein?
\part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm2\sigma$ sowie $\pm3\sigma$
enthalten?
\part \label{givenfraction} Finde heraus in welchem Interval symmetrisch um den Mittelwert
50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten sind.
\part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
-- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
Wie bekommt man mit \code{randn()} Zufallszahlen mit beliebiger
Standardabweichung und Mittelwerten?
\part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm 2\sigma$
sowie $\pm 3\sigma$ enthalten?
Vergleiche die Ergebnisse jeweils mit dem entsprechenden Integral
\"uber die Wahrscheinlichkeitsdichte.
\part \label{givenfraction} Finde durch numerische Integration der
Wahrscheinlichkeitsdichte heraus, in welchem Interval symmetrisch um
den Mittelwert 50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten
sind.
% \part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
% -- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
% beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
% Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
% Wie bekommt man mit \code{randn()} Zufallszahlen mit beliebiger
% Standardabweichung und Mittelwerten?
\end{parts}
\begin{solution}
\lstinputlisting{normprobs.m}
@ -134,30 +147,40 @@ distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert.
Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
\begin{parts}
\part Versuche dir klar zu machen, was der Zentrale Grenzwertsatz
bedeutet, und wie du vorgehen k\"onntest ein Programm zu
schreiben, das den Grenzwertsatz illustriert.
\part Bevor du die weiteren Teilaufgaben liest, versuche dir klar zu
machen, was der Zentrale Grenzwertsatz bedeutet, und wie du vorgehen
k\"onntest ein Programm zu schreiben, das den Grenzwertsatz
illustriert.
\part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen
(Funktion \code{rand}).
\part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram).
\part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und
addiere diese zu den bereits vorhandenen auf.
\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten
Zufallszahlen.
\part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male.
\part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der
aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion
\[ p_g(x) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der
aufsummierten Zufallszahlen.
\part Wie \"andert sich der Mittelwert und die
Standardabweichung/Varianz
der aufsummierten Zufallszahlen?\\
der aufsummierten Zufallszahlen?
Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung
zusammen?
\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit exponentiell
verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit
exponentiell verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
\end{parts}
\begin{solution}
\lstinputlisting{centrallimit.m}
@ -169,56 +192,81 @@ Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
\end{solution}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Random Walk}
Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
\begin{parts}
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.
\part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).\\
Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die Standardabweichung
des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich entwickelt.
\part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
\"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.\\
Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
gro{\ss}e Anzahl von Schritten?
\part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position eines Random Walkers
zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
\end{parts}
\begin{solution}
\lstinputlisting{randomwalk.m}
\lstinputlisting{randomwalkstatistics.m}
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{randomwalk-traces}\\
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-stdev}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-hists}
\end{solution}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Intervallstatistik von Spiketrains}
In Ilias findet ihr die Dateien \code{poisson.mat},
\code{pifou.mat}, und \code{lifadapt.mat}. Jede dieser Dateien
enth\"alt mehrere Trials von Spiketrains von einer bestimmten Art
von Neuron. Die Spikezeiten sind in Sekunden gemessen.
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir die Intervallstatistik der
Spiketrains der drei Neurone miteinander vergleichen.
\begin{parts}
\part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Achte darauf,
dass sie verschiedene Variablen\-namen bekommen.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{\extra 2D Random Walk}
Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt
(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
sind unabh\"angig voneinander.
\begin{parts}
\part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
simuliert werden?
\part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
\part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
\part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
mit einem Farbcode plotten.
\end{parts}
In welchem Datentyp liegen die Daten vor? Wie kann auf einzelne
Spiketrains zugegriffen werden? Wie auf einzelne Spikezeiten?
\begin{solution}
\begin{lstlisting}
clear all
% not so good:
load poisson.mat
whos
poissonspikes = spikes;
load pifou.mat;
pifouspikes = spikes;
load lifadapt.mat;
lifadaptspikes = spikes;
clear spikes;
% better:
clear all
x = load( 'poisson.mat' );
poissonspikes = x.spikes;
x = load( pifou.mat' );
pifouspikes = x.spikes;
x = load( 'lifadapt.mat' );
lifadaptspikes = x.spikes;
\end{lstlisting}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die die Spikezeiten der ersten
$t_{max}$ Sekunden in einem Rasterplot visualisiert. In jeder
Zeile des Rasterplots wird ein Spiketrain dargestellt. Jeder
einzelne Spike wird als senkrechte Linie zu der Zeit des
Auftretens des Spikes geplottet. Benutze die Funktion, um die
Spikeraster der ersten 1\,s der drei Neurone nebeneinander zu plotten.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/spikeraster.m}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotspikeraster.m}
\mbox{}\\[-3ex]
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{spikeraster}}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzigen Vektor mit den
Interspikeintervallen aller Trials von Spikezeiten zur\"uckgibt.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isis.m}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die ein normiertes Histogramm aus
einem Vektor von Interspikeintervallen, gegeben in Sekunden,
berechnet und dieses mit richtiger Achsenbeschriftung plottet.
Die Interspikeintervalle sollen dabei in Millisekunden angegeben
werden. Die Funktion soll zus\"atzlich den Mittelwert, die
Standardabweichung, und den Variationskoeffizienten der
Interspikeintervalle berechnen und diese im Plot mit angeben.
Benutze die vorherige und diese Funktion, um die
Interspikeintervall Verteilung der drei Neurone zu vergleichen.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isihist.m}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotisih.m}
\mbox{}\\[-3ex]
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{isihist}}
\end{solution}
\end{parts}
\end{questions}
\end{document}
\end{document}

49
statistics/exercises/normprobs.m
View File

@ -1,14 +1,30 @@
%% (a) generate normal distributed random numbers:
n = 10000;
x = randn( n, 1 );
x = randn(n, 1);
%% (b)
%% (b) plot histogram and compare with pdf:
bw = 0.5;
bins=[-5:bw:5];
n = hist(x, bins);
p = n/sum(n)/bw;
subplot(1, 2, 2);
bar(bins, p);
hold on;
xx = [bins(1):0.01:bins(end)];
gauss = exp(-0.5*xx.^2.0)/sqrt(2*pi);
plot(xx, gauss, 'r', 'linewidth', 2);
hold off;
xlim([-5 5])
xlabel('x');
ylabel('p(x)');
%% (c) fraction of data in +/- 1 sigma:
nsig = sum((x>=-1.0)&(x<=1.0));
Psig = nsig/length(x);
fprintf('%d of %d data elements, i.e. %.2f%% are contained in the interval -1 to +1\n\n', ...
nsig, length(x), 100.0*Psig );
%% (c)
%% (d) intgegral over pdf:
dx = 0.01;
xx = -10:dx:10; % x-values
pg = exp(-0.5*xx.^2)/sqrt(2*pi); % y-values Gaussian pdf
@ -17,10 +33,25 @@ P = sum(pg)*dx;
fprintf( 'Integral over the Gaussian pdf is %.3f\n', P );
% integral from -1 to 1:
P = sum(pg((xx>=-1.0)&(xx<=1.0)))*dx; % we need to use xx, not the random numbers x!
fprintf( 'Integral over the Gaussian pdf from -1 to 1 is %.4f\n', P );
fprintf( 'Integral over the Gaussian pdf from -1 to 1 is %.4f\n\n', P );
%% (e)
for sigma = [1.0, 2.0, 3.0]
Pdata = sum((x>=-sigma)&(x<=sigma))/length(x);
Ppdf = sum(pg((xx>=-sigma)&(xx<=sigma)))*dx;
fprintf( 'Integral over the Gaussian pdf from -%.0f to +%.0f is %.4f\n', sigma, sigma, Ppdf );
fprintf( 'Probability of data in range from -%.0f to +%.0f is %.4f\n\n', sigma, sigma, Pdata );
end
%% (f)
for P = [0.5, 0.9, 0.95, 0.99]
for upper = xx(xx>0.0)
Ppdf = sum(pg((xx>=-upper)&(xx<=upper)))*dx;
if Ppdf > P
fprintf('-%.2f < x < +%.2f: P=%.2f\n', upper, upper, P);
break
end
end
end
%% (d)
P = sum(pg((xx>=-2.0)&(xx<=2.0)))*dx;
fprintf( 'Integral over the Gaussian pdf from -2 to 2 is %.4f\n', P );
P = sum(pg((xx>=-3.0)&(xx<=3.0)))*dx;
fprintf( 'Integral over the Gaussian pdf from -3 to 3 is %.4f\n\n', P );