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statistics exercise 2

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Jan Benda 2017-11-21 09:24:20 +01:00
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2
statistics/exercises/exercises01.tex
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@ -75,7 +75,7 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
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272
statistics/exercises/exercises02-de.tex Normal file
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@ -0,0 +1,272 @@
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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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\fi
\header{{\bfseries\large Exercise 7\stitle}}{{\bfseries\large Statistics}}{{\bfseries\large 21. November, 2017}}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\usepackage{listings}
\lstset{
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\input{instructions}
\begin{questions}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung}
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir bestimmen, welcher Anteil eines
normalverteilten Datensatzes in bestimmten Grenzen symmetrisch um den
Mittelwert enthalten ist.
\begin{parts}
\part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
$n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
Standardabweichung $\sigma=1$ (\code{randn() Funktion}).
\part Bestimme und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser
Zufallszahlen (normiertes Histogramm) und plotte zum Vergleich in
den gleichen Plot die Normalverteilung
\[ p_g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
\part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten $X$ sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
Wie gro{\ss} ist dann also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
Wert in diesem Interval zu erhalten?
\part \label{probintegral} Berechne numerisch diese
Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral
\[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \]
\"uber die Normalverteilung.
\"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
Warum muss das so sein?
\part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm 2\sigma$
sowie $\pm 3\sigma$ enthalten?
Vergleiche die Ergebnisse jeweils mit dem entsprechenden Integral
\"uber die Wahrscheinlichkeitsdichte.
\part \label{givenfraction} Finde durch numerische Integration der
Wahrscheinlichkeitsdichte heraus, in welchem Interval symmetrisch um
den Mittelwert 50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten
sind.
% \part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
% -- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
% beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
% Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
% Wie bekommt man mit \code{randn()} Zufallszahlen mit beliebiger
% Standardabweichung und Mittelwerten?
\end{parts}
\begin{solution}
\lstinputlisting{normprobs.m}
\end{solution}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Zentraler Grenzwertsatz}
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabh\"angigen
und identisch verteilten (i.i.d. = independent and identically
distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert.
Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
\begin{parts}
\part Bevor du die weiteren Teilaufgaben liest, versuche dir klar zu
machen, was der Zentrale Grenzwertsatz bedeutet, und wie du vorgehen
k\"onntest ein Programm zu schreiben, das den Grenzwertsatz
illustriert.
\part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen
(Funktion \code{rand}).
\part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram).
\part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und
addiere diese zu den bereits vorhandenen auf.
\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten
Zufallszahlen.
\part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male.
\part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der
aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion
\[ p_g(x) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der
aufsummierten Zufallszahlen.
\part Wie \"andert sich der Mittelwert und die
Standardabweichung/Varianz
der aufsummierten Zufallszahlen?
Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung
zusammen?
\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit
exponentiell verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
\end{parts}
\begin{solution}
\lstinputlisting{centrallimit.m}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist01}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist02}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist03}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist05}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-samples}
\end{solution}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Intervallstatistik von Spiketrains}
In Ilias findet ihr die Dateien \code{poisson.mat},
\code{pifou.mat}, und \code{lifadapt.mat}. Jede dieser Dateien
enth\"alt mehrere Trials von Spiketrains von einer bestimmten Art
von Neuron. Die Spikezeiten sind in Sekunden gemessen.
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir die Intervallstatistik der
Spiketrains der drei Neurone miteinander vergleichen.
\begin{parts}
\part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Achte darauf,
dass sie verschiedene Variablen\-namen bekommen.
In welchem Datentyp liegen die Daten vor? Wie kann auf einzelne
Spiketrains zugegriffen werden? Wie auf einzelne Spikezeiten?
\begin{solution}
\begin{lstlisting}
clear all
% not so good:
load poisson.mat
whos
poissonspikes = spikes;
load pifou.mat;
pifouspikes = spikes;
load lifadapt.mat;
lifadaptspikes = spikes;
clear spikes;
% better:
clear all
x = load('poisson.mat');
poissonspikes = x.spikes;
x = load('pifou.mat');
pifouspikes = x.spikes;
x = load('lifadapt.mat');
lifadaptspikes = x.spikes;
\end{lstlisting}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die die Spikezeiten der ersten
$t_{max}$ Sekunden in einem Rasterplot visualisiert. In jeder
Zeile des Rasterplots wird ein Spiketrain dargestellt. Jeder
einzelne Spike wird als senkrechte Linie zu der Zeit des
Auftretens des Spikes geplottet. Benutze die Funktion, um die
Spikeraster der ersten 1\,s der drei Neurone nebeneinander zu plotten.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/spikeraster.m}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotspikeraster.m}
\mbox{}\\[-3ex]
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{spikeraster}}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzigen Vektor mit den
Interspikeintervallen aller Trials von Spikezeiten zur\"uckgibt.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isis.m}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die ein normiertes Histogramm aus
einem Vektor von Interspikeintervallen, gegeben in Sekunden,
berechnet und dieses mit richtiger Achsenbeschriftung plottet.
Die Interspikeintervalle sollen dabei in Millisekunden angegeben
werden. Die Funktion soll zus\"atzlich den Mittelwert, die
Standardabweichung, und den Variationskoeffizienten der
Interspikeintervalle berechnen und diese im Plot mit angeben.
Benutze die vorherige und diese Funktion, um die
Interspikeintervall Verteilung der drei Neurone zu vergleichen.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isihist.m}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotisih.m}
\mbox{}\\[-3ex]
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{isihist}}
\end{solution}
\end{parts}
\end{questions}
\end{document}

186
statistics/exercises/exercises02.tex
View File

@ -15,7 +15,7 @@
\else \else
\newcommand{\stitle}{} \newcommand{\stitle}{}
\fi \fi
\header{{\bfseries\large \"Ubung 7\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 29. November, 2016}} \header{{\bfseries\large Exercise 7\stitle}}{{\bfseries\large Statistics}}{{\bfseries\large 21. November, 2017}}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email: \firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
jan.benda@uni-tuebingen.de} jan.benda@uni-tuebingen.de}
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@ -90,49 +90,46 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
\begin{questions} \begin{questions}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung} \question \qt{Probabilities of a normal distribution}
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir bestimmen, welcher Anteil eines Which fraction of a normally distributed data set is contained in ranges
normalverteilten Datensatzes in bestimmten Grenzen symmetrisch um den that are symmetric around the mean?
Mittelwert enthalten ist.
\begin{parts} \begin{parts}
\part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus \part Generate a data set $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ of
$n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und $n=10000$ normally distributed numbers with mean $\mu=0$ and
Standardabweichung $\sigma=1$ (\code{randn() Funktion}). standard deviation $\sigma=1$ (\code{randn() Funktion}).
\part Bestimme und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser \part Estimate and plot the probability density of this data set (normalized histogram).
Zufallszahlen (normiertes Histogramm) und plotte zum Vergleich in For a comparison plot the normal distribution
den gleichen Plot die Normalverteilung \[ p_g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \]
\[ p_g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \] into the same plot.
\part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten $X$ sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\ \part \label{onesigma} How many data values are at maximum one standard deviation
D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\ away from the mean?\\
Wie gro{\ss} ist dann also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen That is, how many data values $x_i$ have the value $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
Wert in diesem Interval zu erhalten? What is the probability $P_{\pm\sigma}$ to get a value in this range?
\part \label{probintegral} Berechne numerisch diese \part \label{probintegral} Compute the probability of
Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral $-\sigma < x_i < +\sigma$ by numerically integrating over the
\[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \] probability density of the normal distribution
\"uber die Normalverteilung. \[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \; .\]
\"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich First check whether
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \] \[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
Warum muss das so sein? Why is this the case?
\part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm 2\sigma$ \part What fraction of the data is contained in the intervals $\pm 2\sigma$
sowie $\pm 3\sigma$ enthalten? and $\pm 3\sigma$?
Vergleiche die Ergebnisse jeweils mit dem entsprechenden Integral Compare the results with the corresponding integrals over the normal distribution.
\"uber die Wahrscheinlichkeitsdichte.
\part \label{givenfraction} Finde durch numerische Integration der \part \label{givenfraction} Find out which intervals, that are
Wahrscheinlichkeitsdichte heraus, in welchem Interval symmetrisch um symmetric with respect to the mean, contain 50\,\%, 90\,\%, 95\,\% and 99\,\%
den Mittelwert 50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten of the data by means of numeric integration of the normal
sind. distribution.
% \part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma} \part \extra Modify the code of questions \pref{onesigma} -- \pref{givenfraction} such
% -- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit that it works for data sets with arbitrary mean and arbitrary standard deviation.\\
% beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\ Check your code with different sets of random numbers.\\
% Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\ How do you generate random numbers of a given mean and standard
% Wie bekommt man mit \code{randn()} Zufallszahlen mit beliebiger deviation using the \code{randn()} function?
% Standardabweichung und Mittelwerten?
\end{parts} \end{parts}
\begin{solution} \begin{solution}
\lstinputlisting{normprobs.m} \lstinputlisting{normprobs.m}
@ -140,47 +137,41 @@ Mittelwert enthalten ist.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Zentraler Grenzwertsatz} \question \qt{Central limit theorem}
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabh\"angigen According to the central limit theorem the sum of independent and
und identisch verteilten (i.i.d. = independent and identically identically distributed (i.i.d.) random variables converges toward a
distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert. normal distribution, although the distribution of the randmon
variables might not be normally distributed.
Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen. With the following questions we want to illustrate the central limit theorem.
\begin{parts} \begin{parts}
\part Bevor du die weiteren Teilaufgaben liest, versuche dir klar zu \part Before you continue reading, try to figure out yourself what
machen, was der Zentrale Grenzwertsatz bedeutet, und wie du vorgehen the central limit theorem means and what you would need to do for
k\"onntest ein Programm zu schreiben, das den Grenzwertsatz illustrating this theorem.
illustriert.
\part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen \part Draw 10000 random numbers that are uniformly distributed between 0 and 1
(Funktion \code{rand}). (\code{rand} function).
\part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram). \part Plot their probability density (normalized histogram).
\part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und \part Draw another set of 10000 uniformly distributed random numbers
addiere diese zu den bereits vorhandenen auf. and add them to the first set of numbers.
\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten \part Plot the probability density of the summed up random numbers.
Zufallszahlen.
\part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male. \part Repeat steps (d) and (e) many times.
\part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der \part Compare in a plot the probability density of the summed up
aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion numbers with the normal distribution
\[ p_g(x) = \[ p_g(x) =
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\] \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der with mean $\mu$ and standard deviation $\sigma$ of the summed up random numbers.
aufsummierten Zufallszahlen.
\part Wie \"andert sich der Mittelwert und die \part How do the mean and the standard deviation change with the
Standardabweichung/Varianz number of summed up data sets?
der aufsummierten Zufallszahlen?
Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung \part \extra Check the central limit theorem in the same way using
zusammen? exponentially distributed random numbers (\code{rande} function).
\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit
exponentiell verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
\end{parts} \end{parts}
\begin{solution} \begin{solution}
\lstinputlisting{centrallimit.m} \lstinputlisting{centrallimit.m}
@ -193,20 +184,20 @@ Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Intervallstatistik von Spiketrains} \question \qt{Statistics of interspike intervals}
In Ilias findet ihr die Dateien \code{poisson.mat}, Download the files \code{poisson.mat},
\code{pifou.mat}, und \code{lifadapt.mat}. Jede dieser Dateien \code{pifou.mat}, and \code{lifadapt.mat} from Ilias.
enth\"alt mehrere Trials von Spiketrains von einer bestimmten Art Each of these files contains several trials of spike trains
von Neuron. Die Spikezeiten sind in Sekunden gemessen. of a specific type of neuron. The spike times are measured in seconds.
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir die Intervallstatistik der We want to compare the statistics of the interspike intervals of the
Spiketrains der drei Neurone miteinander vergleichen. three neurons.
\begin{parts} \begin{parts}
\part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Achte darauf, \part Load the spike trains from the three files.
dass sie verschiedene Variablen\-namen bekommen. Make sure that data are assigned to different variables.
In welchem Datentyp liegen die Daten vor? Wie kann auf einzelne What is the type of the data? How can you access individual spike trains?
Spiketrains zugegriffen werden? Wie auf einzelne Spikezeiten? How do you access single spike times?
\begin{solution} \begin{solution}
\begin{lstlisting} \begin{lstlisting}
clear all clear all
@ -230,12 +221,11 @@ Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
\end{lstlisting} \end{lstlisting}
\end{solution} \end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die die Spikezeiten der ersten \part Write a function that illustrated the spike times of the
$t_{max}$ Sekunden in einem Rasterplot visualisiert. In jeder first $t_{max}$ seconds in a raster plot. Each spike train is one
Zeile des Rasterplots wird ein Spiketrain dargestellt. Jeder row in the raster plot. Each spike is a vertical line at the time
einzelne Spike wird als senkrechte Linie zu der Zeit des of the spike. Use this function to plot the first second of the
Auftretens des Spikes geplottet. Benutze die Funktion, um die spike rasters of the three neurons.
Spikeraster der ersten 1\,s der drei Neurone nebeneinander zu plotten.
\begin{solution} \begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/spikeraster.m} \lstinputlisting{../../pointprocesses/code/spikeraster.m}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotspikeraster.m} \lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotspikeraster.m}
@ -243,22 +233,22 @@ Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{spikeraster}} \colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{spikeraster}}
\end{solution} \end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzigen Vektor mit den \part Write a function that returns a single vector containing the
Interspikeintervallen aller Trials von Spikezeiten zur\"uckgibt. interspike intervals of aall trials of spike times.
\begin{solution} \begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isis.m} \lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isis.m}
\end{solution} \end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die ein normiertes Histogramm aus \part Write a function that computes and plots an estimate of the
einem Vektor von Interspikeintervallen, gegeben in Sekunden, probability density of interspike intervals from a vector of
berechnet und dieses mit richtiger Achsenbeschriftung plottet. interspike intervals. The interspike intervals are given in
Die Interspikeintervalle sollen dabei in Millisekunden angegeben seconds, but the plot should mark the interspike intervals in
werden. Die Funktion soll zus\"atzlich den Mittelwert, die milliseconds. In addition, the function should compute the mean,
Standardabweichung, und den Variationskoeffizienten der the standard deviation and the coefficient of variation
Interspikeintervalle berechnen und diese im Plot mit angeben. and display them in the plot as well.
Benutze die vorherige und diese Funktion, um die Use this and the previous functions to compare the
Interspikeintervall Verteilung der drei Neurone zu vergleichen. interspike interval statistics of the three neurons.
\begin{solution} \begin{solution}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isihist.m} \lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isihist.m}
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotisih.m} \lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotisih.m}