new exercises for pint processes

pointprocesses/exercises/pointprocesses03.tex

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+\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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+\fi
+\header{{\bfseries\large \"Ubung 8\stitle}}{{\bfseries\large Punktprozesse}}{{\bfseries\large 6. Dezember, 2016}}
+\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
+jan.benda@uni-tuebingen.de}
+\runningfooter{}{\thepage}{}
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+
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{document}
+
+\input{instructions}
+
+
+\begin{questions}
+  
+  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
+  \question \qt{Statistik von Spiketrains 2}
+  In Ilias findet ihr die Dateien \code{poisson.mat},
+  \code{pifou.mat}, und \code{lifadapt.mat}.  Jede dieser Dateien
+  enth\"alt mehrere Trials von Spiketrains von einer bestimmten Art
+  von Neuron. Die Spikezeiten sind in Sekunden gemessen.
+
+  Mit den folgenden Aufgaben wollen wir die Statistik der Spiketrains
+  der drei Neurone miteinander vergleichen.
+
+  Bereits im letzten \"Ubungszettel erstellte Funktionen d\"urfen (sollen!)
+  wiederverwendet werden.
+  \begin{parts}
+    \part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Stelle sie in Rasterplots dar.
+    
+    \part Plotte die Interspike-Intervall Verteilungen.
+
+    Annotiere die Plots mit dem Mittelwert, der
+    Standardabweichung, und dem Variationskoeffizienten der
+    Interspikeintervalle sowie der mittleren Feuerrate.
+
+    \part Vergleiche die ISI-Histogramme mit der ISI Verteilung eines Poisson Prozesses
+    der Rate $\lambda$:
+    \[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .\]
+
+    \part Erstelle Return-Maps, also jedes Interspike-Intervall $T_{i+1}$ gegen
+    das vorherige Intervall $T_i$ geplottet.
+  
+    \part Schreibe eine Funktion, die die seriellen Korrelationen der
+    Interspikeintervalle f\"ur Lags bis zu \code{maxlag} berechnet und
+    plottet.  Die Seriellen Korrelationen $\rho_k$ f\"ur Lag $k$ der
+    Interspikeintervalle $T_i$ sind die Korrelationskoeffizienten
+    zwischen den Interspikeintervallen $T_i$ und den um das Lag $k$
+    verschobenen Intervallen $T_{i+k}$:
+    \[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i -
+      \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T
+      \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm
+        var}(T_i)} = {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \] 
+
+    Benutze diese Funktion, um die Interspikeintervall-Korrelationen
+    der drei Neurone zu vergleichen.
+    \begin{solution}
+      \lstinputlisting{../code/isiserialcorr.m}
+      \lstinputlisting{../code/plotserialcorr.m}
+      \colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorr}}
+    \end{solution}
+    
+  \end{parts}
+
+  \continue
+  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
+  \question \qt{Homogener Poisson Prozess}
+  Wir wollen den homogenen Poisson Prozess benutzen um Spikes zu
+  generieren, mit denen wir die Analysfunktionen des vorherigen
+  Aufgaben \"uberpr\"ufen k\"onnen.
+
+  Ein homogener Poisson Prozess mit der Rate $\lambda$ (gemessen in
+  Hertz) ist ein Punktprozess, bei dem die Wahrschienlichkeit eines
+  Ereignisses unabh\"angig von der Zeit $t$ und unabh\"angig von
+  vorherigen Ereignissen ist.  Wenn wir die Zeitachse in kleine Bins
+  der Breite $\Delta t$ einteilen, dann ist
+  \[ P = \lambda \cdot \Delta t \]
+  die Wahrscheinlichkeit $P$ innerhalb eines Bins ein Ereignis (``spike'')
+  zu erhalten. $\Delta t$ muss daf\"ur klein genug sein, so dass $P<0.1$.
+  \begin{parts}
+    
+    \part Schreibe eine Funktion die $n$ homogene Poisson Spiketrains
+    einer gegebenen Dauer $T_{max}$ mit Rate $\lambda$ erzeugt.
+
+    Falls das nicht gelingt, benutze f\"ur die folgenden Aufgaben
+    soweit m\"oglich spikes aus der Datei \code{poisson.mat}.
+    \begin{solution}
+      \lstinputlisting{hompoissonspikes.m}
+    \end{solution}
+    
+    \part Benutze diese Funktion um einige Trials von Spikes zu erzeugen
+    und plotte diese als Spikeraster.
+    \begin{solution}
+      \begin{lstlisting}
+        spikes = hompoissonspikes( 10, 100.0, 0.5 );
+        spikeraster( spikes )
+      \end{lstlisting}
+      \mbox{}\\[-3ex]
+      \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{poissonraster100hz}}
+    \end{solution}
+    
+    \part Berechne Histogramme aus den Interspikeintervallen von $n$
+    Poisson Spiketrains mit der Rate $\lambda=100$\,Hz. Wie viele bins
+    werden f\"ur ein ``sch\"ones'' ISI-Histogramm ungef\"ahr ben\"otigt?
+    Ver\"andere \"uber die Dauer $T_{max}$ der Spiketrains und die
+    Anzahl $n$ der Trials die Anzahl der Intervalle. Wieviele
+    Interspikeintervalle werden ben\"otigt, um ein ``sch\"ones''
+    Histogramm zu erhalten? Wie lange m\"usste man also von dem Neuron
+    ableiten?
+    \begin{solution}
+      About 5000 intervals for 25 bins. This corresponds to a $5000 /
+      100\,\hertz = 50\,\second$ recording of a neuron firing with
+      100\,\hertz.
+    \end{solution}
+    
+    \part Vergleiche Interspike-Intervall Histogramme von Poisson-Spikes
+    verschiedener Raten $\lambda$ mit der theoretisch zu erwartenden Verteilung
+    der Intervalle $T$ des Poisson Prozesses
+    \[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .\]
+    Achte darauf, dass die Bins des Histograms nicht kleiner als $\Delta t$ sind!
+    \begin{solution}
+      \lstinputlisting{hompoissonisih.m}
+      \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih100hz}}
+      \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih20hz}}
+    \end{solution}
+    
+    \part \extra Was passiert mit den Histogrammen, wenn die Binbreite
+    der Histogramme kleiner als das bei der Erzeugung der Poisson
+    Spiketrains verwendete $\Delta t$ ist?
+    \begin{solution}
+      Die Bins zwischen der durch $\Delta t$ vorgegebenen
+      Diskretisierung haben den Wert 0. Dadurch werden aber die anderen
+      durch die Normierung h\"oher als sie sein sollten.
+    \end{solution}
+    
+    \part Plotte den Mittelwert der Interspikeintervalle, die
+    dazugeh\"orige Standardabweichung und den Variationskoeffizienten
+    als Funktion der Rate $\lambda$ des Poisson Prozesses. Vergleiche
+    die Ergebnisse mit den theoretischen Erwartungen (siehe Vorlesungsskript).
+    \begin{solution}
+      \lstinputlisting{hompoissonisistats.m}
+      \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{poissonisistats}}
+    \end{solution}
+    
+    \part Plotte die seriellen Korrelationen von Poisson-Spiketrains und
+    erkl\"are kurz das Ergebniss.
+    \begin{solution}
+      \mbox{}\\[-2ex]\hspace*{2cm}
+      \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{poissonserial100hz}}\\
+      Alle Korrelationen zwischen Interspikeintervallen sind Null, da
+      beim Poisson Prozess das Auftreten jedes Spikes unabh\"angig von
+      den vorherigen Spikes ist.
+    \end{solution}
+    
+  \end{parts}
+
+
+\end{questions}
+
+\end{document}