diff --git a/pointprocesses/exercises/pointprocesses03.tex b/pointprocesses/exercises/pointprocesses03.tex new file mode 100644 index 0000000..2944430 --- /dev/null +++ b/pointprocesses/exercises/pointprocesses03.tex @@ -0,0 +1,235 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam} + +\usepackage[german]{babel} +\usepackage{pslatex} +\usepackage[mediumspace,mediumqspace,Gray]{SIunits} % \ohm, \micro +\usepackage{xcolor} +\usepackage{graphicx} +\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref} + +%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry} +\pagestyle{headandfoot} +\ifprintanswers +\newcommand{\stitle}{: L\"osungen} +\else +\newcommand{\stitle}{} +\fi +\header{{\bfseries\large \"Ubung 8\stitle}}{{\bfseries\large Punktprozesse}}{{\bfseries\large 6. Dezember, 2016}} +\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email: +jan.benda@uni-tuebingen.de} +\runningfooter{}{\thepage}{} + +\setlength{\baselineskip}{15pt} +\setlength{\parindent}{0.0cm} +\setlength{\parskip}{0.3cm} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.15} + +%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\usepackage{listings} +\lstset{ + language=Matlab, + basicstyle=\ttfamily\footnotesize, + numbers=left, + numberstyle=\tiny, + title=\lstname, + showstringspaces=false, + commentstyle=\itshape\color{darkgray}, + breaklines=true, + breakautoindent=true, + columns=flexible, + frame=single, + xleftmargin=1em, + xrightmargin=1em, + aboveskip=10pt +} + +%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{bm} +\usepackage{dsfont} +\newcommand{\naZ}{\mathds{N}} +\newcommand{\gaZ}{\mathds{Z}} +\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}} +\newcommand{\reZ}{\mathds{R}} +\newcommand{\reZp}{\mathds{R^+}} +\newcommand{\reZpN}{\mathds{R^+_0}} +\newcommand{\koZ}{\mathds{C}} + +%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\newcommand{\continue}{\ifprintanswers% +\else +\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage% +\fi} +\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers% +\newpage +\else +\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage% +\fi} +\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers% +\newpage% +\else +\fi} + +%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\} +\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})} +\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}} +\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\begin{document} + +\input{instructions} + + +\begin{questions} + + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + \question \qt{Statistik von Spiketrains 2} + In Ilias findet ihr die Dateien \code{poisson.mat}, + \code{pifou.mat}, und \code{lifadapt.mat}. Jede dieser Dateien + enth\"alt mehrere Trials von Spiketrains von einer bestimmten Art + von Neuron. Die Spikezeiten sind in Sekunden gemessen. + + Mit den folgenden Aufgaben wollen wir die Statistik der Spiketrains + der drei Neurone miteinander vergleichen. + + Bereits im letzten \"Ubungszettel erstellte Funktionen d\"urfen (sollen!) + wiederverwendet werden. + \begin{parts} + \part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Stelle sie in Rasterplots dar. + + \part Plotte die Interspike-Intervall Verteilungen. + + Annotiere die Plots mit dem Mittelwert, der + Standardabweichung, und dem Variationskoeffizienten der + Interspikeintervalle sowie der mittleren Feuerrate. + + \part Vergleiche die ISI-Histogramme mit der ISI Verteilung eines Poisson Prozesses + der Rate $\lambda$: + \[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .\] + + \part Erstelle Return-Maps, also jedes Interspike-Intervall $T_{i+1}$ gegen + das vorherige Intervall $T_i$ geplottet. + + \part Schreibe eine Funktion, die die seriellen Korrelationen der + Interspikeintervalle f\"ur Lags bis zu \code{maxlag} berechnet und + plottet. Die Seriellen Korrelationen $\rho_k$ f\"ur Lag $k$ der + Interspikeintervalle $T_i$ sind die Korrelationskoeffizienten + zwischen den Interspikeintervallen $T_i$ und den um das Lag $k$ + verschobenen Intervallen $T_{i+k}$: + \[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - + \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T + \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm + var}(T_i)} = {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \] + + Benutze diese Funktion, um die Interspikeintervall-Korrelationen + der drei Neurone zu vergleichen. + \begin{solution} + \lstinputlisting{../code/isiserialcorr.m} + \lstinputlisting{../code/plotserialcorr.m} + \colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorr}} + \end{solution} + + \end{parts} + + \continue + %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + \question \qt{Homogener Poisson Prozess} + Wir wollen den homogenen Poisson Prozess benutzen um Spikes zu + generieren, mit denen wir die Analysfunktionen des vorherigen + Aufgaben \"uberpr\"ufen k\"onnen. + + Ein homogener Poisson Prozess mit der Rate $\lambda$ (gemessen in + Hertz) ist ein Punktprozess, bei dem die Wahrschienlichkeit eines + Ereignisses unabh\"angig von der Zeit $t$ und unabh\"angig von + vorherigen Ereignissen ist. Wenn wir die Zeitachse in kleine Bins + der Breite $\Delta t$ einteilen, dann ist + \[ P = \lambda \cdot \Delta t \] + die Wahrscheinlichkeit $P$ innerhalb eines Bins ein Ereignis (``spike'') + zu erhalten. $\Delta t$ muss daf\"ur klein genug sein, so dass $P<0.1$. + \begin{parts} + + \part Schreibe eine Funktion die $n$ homogene Poisson Spiketrains + einer gegebenen Dauer $T_{max}$ mit Rate $\lambda$ erzeugt. + + Falls das nicht gelingt, benutze f\"ur die folgenden Aufgaben + soweit m\"oglich spikes aus der Datei \code{poisson.mat}. + \begin{solution} + \lstinputlisting{hompoissonspikes.m} + \end{solution} + + \part Benutze diese Funktion um einige Trials von Spikes zu erzeugen + und plotte diese als Spikeraster. + \begin{solution} + \begin{lstlisting} + spikes = hompoissonspikes( 10, 100.0, 0.5 ); + spikeraster( spikes ) + \end{lstlisting} + \mbox{}\\[-3ex] + \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{poissonraster100hz}} + \end{solution} + + \part Berechne Histogramme aus den Interspikeintervallen von $n$ + Poisson Spiketrains mit der Rate $\lambda=100$\,Hz. Wie viele bins + werden f\"ur ein ``sch\"ones'' ISI-Histogramm ungef\"ahr ben\"otigt? + Ver\"andere \"uber die Dauer $T_{max}$ der Spiketrains und die + Anzahl $n$ der Trials die Anzahl der Intervalle. Wieviele + Interspikeintervalle werden ben\"otigt, um ein ``sch\"ones'' + Histogramm zu erhalten? Wie lange m\"usste man also von dem Neuron + ableiten? + \begin{solution} + About 5000 intervals for 25 bins. This corresponds to a $5000 / + 100\,\hertz = 50\,\second$ recording of a neuron firing with + 100\,\hertz. + \end{solution} + + \part Vergleiche Interspike-Intervall Histogramme von Poisson-Spikes + verschiedener Raten $\lambda$ mit der theoretisch zu erwartenden Verteilung + der Intervalle $T$ des Poisson Prozesses + \[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .\] + Achte darauf, dass die Bins des Histograms nicht kleiner als $\Delta t$ sind! + \begin{solution} + \lstinputlisting{hompoissonisih.m} + \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih100hz}} + \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih20hz}} + \end{solution} + + \part \extra Was passiert mit den Histogrammen, wenn die Binbreite + der Histogramme kleiner als das bei der Erzeugung der Poisson + Spiketrains verwendete $\Delta t$ ist? + \begin{solution} + Die Bins zwischen der durch $\Delta t$ vorgegebenen + Diskretisierung haben den Wert 0. Dadurch werden aber die anderen + durch die Normierung h\"oher als sie sein sollten. + \end{solution} + + \part Plotte den Mittelwert der Interspikeintervalle, die + dazugeh\"orige Standardabweichung und den Variationskoeffizienten + als Funktion der Rate $\lambda$ des Poisson Prozesses. Vergleiche + die Ergebnisse mit den theoretischen Erwartungen (siehe Vorlesungsskript). + \begin{solution} + \lstinputlisting{hompoissonisistats.m} + \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{poissonisistats}} + \end{solution} + + \part Plotte die seriellen Korrelationen von Poisson-Spiketrains und + erkl\"are kurz das Ergebniss. + \begin{solution} + \mbox{}\\[-2ex]\hspace*{2cm} + \colorbox{white}{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{poissonserial100hz}}\\ + Alle Korrelationen zwischen Interspikeintervallen sind Null, da + beim Poisson Prozess das Auftreten jedes Spikes unabh\"angig von + den vorherigen Spikes ist. + \end{solution} + + \end{parts} + + +\end{questions} + +\end{document}