Corrected point process chapter

pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex

@@ -2,7 +2,23 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \chapter{Analyse von Spiketrains}
 
-\begin{figure}[t]
+\determ{Aktionspotentiale} (\enterm{Spikes}) sind die Tr\"ager der
+Information in Nervensystemen.  Dabei ist in erster Linie nur der
+Zeitpunkt des Auftretens eines Aktionspotentials von Bedeutung. Die
+genaue Form des Aktionspotentials spielt keine oder nur eine
+untergeordnete Rolle.
+
+Nach etwas Vorverarbeitung haben elektrophysiologische Messungen
+deshalb Listen von Spikezeitpunkten als Ergebniss --- sogenannte
+\enterm{Spiketrains}. Diese Messungen k\"onnen wiederholt werden und
+es ergeben sich mehrere \enterm{trials} von Spiketrains
+(\figref{rasterexamplesfig}).
+
+Spiketrains sind Zeitpunkte von Ereignissen --- den Aktionspotentialen
+--- und deren Analyse f\"allt daher in das Gebiet der Statistik von
+sogenannten \determ{Punktprozessen}.
+
+\begin{figure}[ht]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{rasterexamples}
   \titlecaption{\label{rasterexamplesfig}Raster-Plot.}{Raster-Plot von
     jeweils 10 Realisierungen eines station\"arenen Punktprozesses
@@ -12,37 +28,14 @@
     Rauschen mit Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).}
 \end{figure}
 
-Aktionspotentiale (``Spikes'') sind die Tr\"ager der Information in
-Nervensystemen.  Dabei ist in erster Linie nur der Zeitpunkt des
-Auftretens eines Aktionspotentials von Bedeutung. Die genaue Form
-spielt keine oder nur eine untergeordnete Rolle.
-
-Nach etwas Vorverarbeitung haben elektrophysiologische Messungen
-deshalb Listen von Spikezeitpunkten als Ergebniss - sogenannte
-``Spiketrains''. Diese Messungen k\"onnen wiederholt werden und es
-ergeben sich mehrere ``trials'' von Spiketrains
-(\figref{rasterexamplesfig}).
-
-Spiketrains sind Zeitpunkte von Ereignissen --- den Aktionspotentialen
---- und deren Analyse f\"allt daher in das Gebiet der Statistik von
-sogenannten Punktprozessen.
-
-
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Punktprozesse}
 
-\begin{figure}[t]
+Ein zeitlicher Punktprozess (\enterm{point process}) ist ein
-  \texpicture{pointprocessscetchB}
+stochastischer Prozess, der eine Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten
-  \titlecaption{\label{pointprocessscetchfig} Statistik von
+$\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$, generiert.
-    Punktprozessesen.}{Ein Punktprozess ist eine Abfolge von
-    Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$
-    oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben werden kann. }
-\end{figure}
-
-Ein zeitlicher Punktprozess ist ein stochastischer Prozess, der eine
-Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten $\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$,
-generiert.
 
+\begin{ibox}{Beispiele von Punktprozessen}
 Jeder Punktprozess wird durch einen sich in der Zeit kontinuierlich
 entwickelnden Prozess generiert. Wann immer dieser Prozess eine
 Schwelle \"uberschreitet wird ein Ereigniss des Punktprozesses
@@ -56,6 +49,15 @@ erzeugt. Zum Beispiel:
 \item Zeitpunkt eines Grillen/Frosch/Vogelgesangs: wird durch die
   Dynamik des Nervensystems und des Muskelapparates erzeugt.
 \end{itemize}
+\end{ibox}
+
+\begin{figure}[t]
+  \texpicture{pointprocessscetch}
+  \titlecaption{\label{pointprocessscetchfig} Statistik von
+    Punktprozessesen.}{Ein Punktprozess ist eine Abfolge von
+    Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$
+    oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben werden kann. }
+\end{figure}
 
 F\"ur die Neurowissenschaften ist die Statistik der Punktprozesse
 besonders wichtig, da die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als
@@ -77,9 +79,8 @@ Zeitpunkte der Ereignisse durch senkrechte Striche markiert werden.
 
 Die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ zwischen aufeinanderfolgenden
 Ereignissen sind reelle, positive Zahlen. Bei Aktionspotentialen
-(``Spikes'') heisen die Intervalle auch
+heisen die Intervalle auch \enterm{Interspikeintervalle}. Deren Statistik
-``Interspikeintervalle''. Deren Statistik kann mit den \"ublichen
+kann mit den \"ublichen Gr\"o{\ss}en beschrieben werden.
-Gr\"o{\ss}en beschrieben werden.
 
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{isihexamples}\hfill
@@ -89,21 +90,21 @@ Gr\"o{\ss}en beschrieben werden.
 
 \subsection{Intervallstatistik erster Ordnung}
 \begin{itemize}
-\item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$
+\item Wahrscheinlichkeitsdichte $p(T)$ der Intervalle $T$
   (\figref{isihexamplesfig}). Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT
   = 1$.
-\item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle =
+\item Mittleres Intervall: $\mu_{ISI} = \langle T \rangle =
   \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$.
-\item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T
+\item Varianz der Intervalle: $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T
   \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex}
-\item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} =
+\item Variationskoeffizient (\enterm{coefficient of variation}): $CV_{ISI} =
   \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$.
-\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} =
+\item Diffusions Koeffizient: $D_{ISI} =
   \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
 \end{itemize}
 
 \subsection{Korrelationen der Intervalle}
-In ``return maps'' werden die um das ``Lag'' $k$ verz\"ogerten
+In \enterm{return maps} werden die um das \enterm{lag} $k$ verz\"ogerten
 Intervalle $T_{i+k}$ gegen die Intervalle $T_i$ geplottet. Dies macht
 m\"ogliche Abh\"angigkeiten von aufeinanderfolgenden Intervallen
 sichtbar.
@@ -118,7 +119,7 @@ sichtbar.
 
 Solche Ab\"angigkeiten werden durch die serielle Korrelation der
 Intervalle quantifiziert.  Das ist der Korrelationskoeffizient
-zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``Lag'' $k$:
+zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch \enterm{lag} $k$:
 \[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} 
 = {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \]
 \"Ublicherweise wird die Korrelation $\rho_k$ gegen den Lag $k$
@@ -135,7 +136,7 @@ Intervalls mit sich selber).
 %   \titlecaption{\label{countstatsfig}Count Statistik.}{}
 % \end{figure}
 
-Die Anzahl der Ereignisse (Spikes) $n_i$ in Zeifenstern $i$ der
+Die Anzahl der Ereignisse $n_i$ in Zeifenstern $i$ der
 L\"ange $W$ ergeben ganzzahlige, positive Zufallsvariablen, die meist
 durch folgende Sch\"atzer charakterisiert werden:
 \begin{itemize}
@@ -144,8 +145,12 @@ durch folgende Sch\"atzer charakterisiert werden:
 \item Varianz der Anzahl: $\sigma_n^2 = \langle (n - \langle n \rangle)^2 \rangle$.
 \item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_n^2}{\mu_n}$.
 \end{itemize}
-Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz
+Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (Spikes pro
-\[ r = \frac{\langle n \rangle}{W} \; . \]
+Zeit, \determ{Feuerrate}) gemessen in Hertz
+\begin{equation}
+  \label{firingrate}
+  r = \frac{\langle n \rangle}{W} \; .
+\end{equation}
 
 % \begin{figure}[t]
 %   \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
@@ -165,7 +170,8 @@ Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feue
 \section{Homogener Poisson Prozess}
 F\"ur kontinuierliche Me{\ss}gr\"o{\ss}en ist die Normalverteilung
 u.a. wegen dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine
-\"ahnliche Rolle spielt bei Punktprozessen der ``Poisson Prozess''.
+\"ahnliche Rolle spielt bei Punktprozessen der \determ{Poisson
+  Prozess}.
 
 Beim homogenen Poisson Prozess treten Ereignisse mit einer festen Rate
 $\lambda=\text{const.}$ auf und sind unabh\"angig von der Zeit $t$ und
@@ -198,8 +204,8 @@ Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften:
 \item Der Variationskoeffizient ist also immer $CV_{ISI} = 1$ .
 \item Die seriellen Korrelationen $\rho_k =0$ f\"ur $k>0$, da das
   Auftreten der Ereignisse unabh\"angig von der Vorgeschichte ist. Ein
-  solcher Prozess wird auch Erneuerungsprozess genannt (``renewal
+  solcher Prozess wird auch \determ{Erneuerungsprozess} genannt (\enterm{renewal
-  process'').
+  process}).
 \item Die Anzahl der Ereignisse $k$ innerhalb eines Fensters der L\"ange W ist Poissonverteilt:
 \[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]
  (\figref{hompoissoncountfig})
@@ -215,27 +221,25 @@ Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften:
 
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Zeitabh\"angiger Feuerraten}
+\section{Zeitabh\"angige Feuerraten}
 
 Bisher haben wir station\"are Spiketrains betrachtet, deren Statistik
-innerhlab der Analysezeit nicht ver\"andert.  Meistens jedoch \"andert
+sich innerhalb der Analysezeit nicht ver\"andert (station\"are
-sich die Statistik der Spiketrains eines Neurons mit der
+Punktprozesse).  Meistens jedoch \"andert sich die Statistik der
-Zeit. Z.B. kann ein sensorisches Neuron auf einen Reiz hin mit einer
+Spiketrains eines Neurons mit der Zeit. Z.B. kann ein sensorisches
-erh\"ohten Feuerrate antworten. Im folgenden Stellen wir drei Methoden
+Neuron auf einen Reiz hin mit einer erh\"ohten Feuerrate antworten
-vor, mit denen eine sich zeitlich ver\"andernde Rate des Punktprozesses
+(nichtstation\"arer Punktprozess).
-abgesch\"atzt werden kann.
+
-
+Wie die mittlere Anzahl der Spikes sich mit der Zeit ver\"andert, die
-Eine klassische Darstellung zeitabh\"angiger neuronaler Aktivit\"at
+\determ{Feuerrate} $r(t)$, ist die wichtigste Gr\"o{\ss}e bei
-ist das sogenannte Peri Stimulus Zeithistogramm (peri stimulus time
+nicht-station\"aren Spiketrains.  Die Einheit der Feuerrate ist Hertz,
-histogram, PSTH). Es wird der zeitliche Verlauf der Feuerrate $r(t)$
+also Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Es gibt verschiedene
-dargestellt. Die Einheit der Feuerrate ist Hertz, das heisst, die
+Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung
-Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Es verschiedene Methoden diese
+\ref{psthfig} dargestellt. Alle Methoden haben ihre Berechtigung und
-zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung \ref{psthfig}
+ihre Vor- und Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus
-dargestellt. Alle Methoden haben ihre Berechtigung und ihre Vor- und
+Abbildung \ref{psthfig} n\"aher erl\"autert.
-Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus Abbildung
+
-\ref{psthfig} n\"aher erl\"autert.
+\begin{figure}[tp]
-
-\begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=\columnwidth]{firingrates}
   \titlecaption{Verschiedene Methoden die zeitabh\"angige Feuerrate
       zu bestimmen.}{A)} Rasterplot einer einzelnen neuronalen
@@ -247,22 +251,10 @@ Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus Abbildung
 \end{figure}
 
 
-\paragraph{Instantane Feuerrate}
+\subsection{Instantane Feuerrate}
-Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist
+
-die sogenannte \textit{instantane Feuerrate}. Dabei wird die Feuerrate
+
-aus dem Kehrwert des \textit{Interspike Intervalls}, der Zeit zwischen
+\begin{figure}[tp]
-zwei aufeinander folgenden Aktionspotentialen (Abbildung \ref{instrate}
-A), bestimmt. Die abgesch\"atzte Feuerrate (Abbildung \ref{instrate} B)
-ist g\"ultig f\"ur das gesammte Interspike Intervall
-\ref{instrate}. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie sehr einfach zu
-berechnen ist und keine Annahme \"uber eine relevante Zeitskala (der
-Kodierung oder des Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle)
-macht. $r(t)$ ist allerdings keine kontinuierliche Funktion, die
-Spr\"unge in der Feuerrate k\"onnen f\"ur manche Analysen nachteilig
-sein. Des Weiteren ist die Feuerrate nie null, auch wenn lange keine
-Aktionspotentiale generiert wurden.
-
-\begin{figure}[!htb]
   \includegraphics[width=\columnwidth]{isimethod}
   \titlecaption{Bestimmung des zeitabh\"angigen Feuerrate aus dem
       Interspike Intervall.}{\textbf{A)} Skizze eines Rasterplots einer
@@ -273,24 +265,61 @@ Aktionspotentiale generiert wurden.
     Intervalls ist die Feuerrate.}\label{instrate}
 \end{figure}
 
-
+Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist
-\paragraph{Binning Methode}
+die sogenannte \determ{instantane Feuerrate}. Dabei wird die Feuerrate
-Bei der Binning Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige
+aus dem Kehrwert der Interspikeintervalle, der Zeit zwischen zwei
+aufeinander folgenden Aktionspotentialen (\figref{instrate} A),
+bestimmt. Die abgesch\"atzte Feuerrate (\figref{instrate} B) ist
+g\"ultig f\"ur das gesammte Interspikeintervall. Diese Methode hat den
+Vorteil, dass sie sehr einfach zu berechnen ist und keine Annahme
+\"uber eine relevante Zeitskala (der Kodierung oder des
+Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle) macht. $r(t)$ ist
+allerdings keine kontinuierliche Funktion, die Spr\"unge in der
+Feuerrate k\"onnen f\"ur manche Analysen nachteilig sein. Au{\ss}erdem
+wird die Feuerrate nie gleich Null, auch wenn lange keine Aktionspotentiale
+generiert wurden.
+
+
+\subsection{Peri-Stimulus-Zeit-Histogramm}
+W\"ahrend die Instantane Rate den Kehrwert der Zeit von einem bis zum
+n\"achsten Aktionspotential misst, sch\"atzt das sogenannte
+\determ{Peri-Stimulus-Zeit-Histogramm} (\enterm{peri stimulus time
+  histogram}, PSTH) die Wahrscheinlichkeit ab, zu einem Zeitpunkt
+Aktionspotentiale anzutreffen. Es wird versucht die mittlere Rate \eqnref{firingrate}
+im Grenzwert kleiner Beobachtungszeiten abzusch\"atzen:
+\begin{equation}
+  \label{psthrate}
+  r(t) = \lim_{W \to 0} \frac{\langle n \rangle}{W} \; ,
+\end{equation}
+wobei die Anzahl $n$ der Aktionspotentiale, die im Zeitintervall
+$(t,t+W)$ aufgetreten sind, \"uber trials gemittelt wird.  Eine solche
+Rate enspricht der zeitabh\"angigen Rate $\lambda(t)$ des inhomogenen
+Poisson-Prozesses. 
+
+Das PSTH \eqnref{psthrate} kann entweder \"uber die Binning-Methode
+oder durch Verfaltung mit einem Kern bestimmt werden. Beiden Methoden
+gemeinsam ist die Notwendigkeit der Wahl einer zus\"atzlichen Zeitskala,
+die der Beobachtungszeit $W$ in \eqnref{psthrate} entspricht.
+
+\subsubsection{Binning-Methode}
+Bei der Binning-Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige
 Abschnitte (Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in
-die jeweiligen Bins fallen, gez\"ahlt (Abbildung \ref{binpsth} A). Um
+die jeweiligen Bins fallen, gez\"ahlt (\figref{binpsth} A). Um diese
-diese Z\"ahlungen in die Feuerrate umzurechnen muss noch mit der
+Z\"ahlungen in die Feuerrate umzurechnen muss noch mit der Binweite
-Binweite normiert werden. Die bestimmte Feuerrate gilt f\"ur das
+normiert werden. Das ist fast so, wie beim Absch\"atzen einer
-gesamte Bin (Abbildung \ref{binpsth} B). \textbf{Tipp:} Um die Anzahl
+Wahrscheinlichkeitsdichte. Es kann auch die \code{hist} Funktion zur
-Spikes pro Bin zu berechnen kann die \code{hist} Funktion benutzt
+Bestimmung des PSTHs verwendet werden.
-werden. Das so berechnete PSTH hat wiederum eine stufige Form, die von
+
-der Wahl der Binweite anh\"angt. Die Binweite bestimmt die zeitliche
+Die bestimmte Feuerrate gilt f\"ur das gesamte Bin (\figref{binpsth}
-Aufl\"osung der Darstellung. \"Anderungen in der Feuerrate, die
+B). Das so berechnete PSTH hat wiederum eine stufige Form, die von der
-innerhalb eines Bins vorkommen k\"onnen nicht aufgl\"ost werden. Die
+Wahl der Binweite anh\"angt.  $r(t)$ ist also keine stetige
-Wahl der Binweite stellt somit eine Annahme \"uber die relevante
+Funktion. Die Binweite bestimmt die zeitliche Aufl\"osung der
-Zeitskala der Verarbeitung dar. Auch hier ist $r(t)$ keine
+Absch\"atzung. \"Anderungen in der Feuerrate, die innerhalb eines Bins
-koninuierliche Funktion.
+vorkommen k\"onnen nicht aufgl\"ost werden. Mit der Wahl der Binweite
-
+wird somit eine Annahme \"uber die relevante Zeitskala des Spiketrains
-\begin{figure}[h!]
+gemacht.
+
+\begin{figure}[tp]
   \includegraphics[width=\columnwidth]{binmethod}
   \titlecaption{Bestimmung des PSTH mit der Binning Methode.}{\textbf{A)}
     Skizze eines Rasterplots einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder
@@ -302,28 +331,24 @@ koninuierliche Funktion.
 \end{figure}
 
 
-\paragraph{Faltungsmethode}
+\subsubsection{Faltungsmethode}
-Bei der Faltungsmethode geht wird etwas anders vorgegangen um die
+Bei der Faltungsmethode werden die harten Kanten der Bins der
-Feuerrate zeitaufgel\"ost zu berechnen. Die Aktionspotentialfolge wird
+Binning-Methode vermieden. Der Spiketrain wird mit einem Kern
-zun\"achst ``bin\"ar'' dargestellt. Das heisst, dass eine Antwort als
+verfaltet, d.h.  jedes Aktionspotential wird durch den Kern ersetzt.
-(Zeit-)Vektor dargestellt wird, in welchem die Zeitpunkte der
+Zur Berechnung wird die Aktionspotentialfolge zun\"achst
+``bin\"ar'' dargestellt. Dabei wird ein Spiketrain als
+(Zeit-)Vektor dargestellt, in welchem die Zeitpunkte der
 Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle anderen Elemente des
 Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser bin\"are Spiketrain mit
-einem Gauss Kern bestimmter Breite gefaltet.
+einem Gau{\ss}-Kern bestimmter Breite verfaltet:
- 
+ \[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \omega(\tau) \, \rho(t-\tau) \, {\rm d}\tau \; , \]
-\[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty}d\tau \omega(\tau)\rho(t-\tau) \],
 wobei $\omega(\tau)$ der Filterkern und $\rho(t)$ die bin\"are Antwort
-ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $rho(t)$ durch den Filterkern
+ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $\rho(t)$ durch den Filterkern
 ersetzt (Abbildung \ref{convrate} A). Wenn der Kern richtig normiert
-wurde (Integral 1), ergibt sich die Feuerrate direkt aus der
+wurde (Integral gleich Eins), ergibt sich die Feuerrate direkt aus der
-\"Uberlagerung der Kerne (Abb. \ref{convrate} B). Die Faltungsmethode
+\"Uberlagerung der Kerne (Abb. \ref{convrate} B). 
-f\"uhrt, anders als die anderen Methoden, zu einer kontinuierlichen
+
-Funktion was f\"ur spektrale Analysen von Vorteil sein kann. Die Wahl
+\begin{figure}[tp]
-der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur Binweite, die zeitliche
-Aufl\"osung von $r(t)$. Man macht also eine Annahme \"uber die
-relevante Zeitskala.
-
-\begin{figure}[h!]
   \includegraphics[width=\columnwidth]{convmethod}
   \titlecaption{Schematische Darstellung der Faltungsmethode.}{\textbf{A)}
     Rasterplot einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale
@@ -334,28 +359,31 @@ relevante Zeitskala.
     Kerne.}\label{convrate}
 \end{figure}
 
+Die Faltungsmethode f\"uhrt, anders als die anderen Methoden, zu einer
+kontinuierlichen Funktion was insbesondere f\"ur spektrale Analysen
+von Vorteil sein kann. Die Wahl der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur
+Binweite, die zeitliche Aufl\"osung von $r(t)$. Die Breite des Kerns
+macht also auch wieder eine Annahme \"uber die relevante Zeitskala des Spiketrains.
 
-
+\section{Spike-triggered Average}
-\section{Spike triggered Average}
 Die graphischer Darstellung der Feuerrate allein reicht nicht aus um
 den Zusammenhang zwischen neuronaler Antwort und einem Stimulus zu
-analysieren.  Eine Methode mehr \"uber diesen Zusammenhang zu erfahren
+analysieren.  Eine Methode um mehr \"uber diesen Zusammenhang zu erfahren,
-ist der Spike triggered average (STA). Der STA ist der mittlere
+ist der \enterm{Spike-triggered average} (STA). Der STA 
-Stimulus, der zu einem Aktionspotential in der neuronalen Antwort
-f\"uhrt.
-
 \begin{equation}
-  STA(\tau) = \frac{1}{\langle n \rangle} \left\langle  \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{s(t_i - \tau)} \right\rangle
+  STA(\tau) = \langle s(t - \tau) \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} s(t_i - \tau)
 \end{equation}
+der $N$ Aktionspotentiale zu den Zeiten $t_i$ in Anwort auf den
+Stimulus $s(t)$ ist der mittlere Stimulus, der zu einem
+Aktionspotential in der neuronalen Antwort f\"uhrt.
 
 Der STA l\"a{\ss}t sich relativ einfach berechnen, indem aus dem
 Stimulus f\"ur jeden beobachteten Spike ein entsprechender Abschnitt
-ausgeschnitten wird und diese dann mittelt (Abbildung
+ausgeschnitten wird und diese dann gemittelt werde (\figref{stafig}). 
-\ref{stafig}). 
 
-\begin{figure}
+\begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=0.5\columnwidth]{sta}
-  \titlecaption{Spike Triggered Average eines P-Typ
+  \titlecaption{Spike-triggered Average eines P-Typ
       Elektrorezeptors.}{Der Rezeptor wurde mit einem ``white-noise''
     Stimulus getrieben. Zeitpunkt 0 ist der Zeitpunkt des beobachteten
     Aktionspotentials.}\label{stafig}
@@ -364,23 +392,23 @@ ausgeschnitten wird und diese dann mittelt (Abbildung
 Aus dem STA k\"onnen verschiedene Informationen \"uber den
 Zusammenhang zwischen Stimulus und neuronaler Antwort gewonnen
 werden. Die Breite des STA repr\"asentiert die zeitliche Pr\"azision,
-mit der Stimulus und Antwort zusammenh\"angen und wie weit das neuron
+mit der Stimulus und Antwort zusammenh\"angen und wie weit das Neuron
 zeitlich integriert. Die Amplitude des STA (gegeben in der gleichen
-Einheit, wie der Stimulus) deutet auf die Empfindlichkeit des Neurons
+Einheit wie der Stimulus) deutet auf die Empfindlichkeit des Neurons
 bez\"uglich des Stimulus hin. Eine hohe Amplitude besagt, dass es
-einen starken Stimulus ben\"otigt um ein Aktionspotential
+einen starken Stimulus ben\"otigt, um ein Aktionspotential
 hervorzurufen. Aus dem zeitlichen Versatz des STA kann die Zeit
-abgelesen werden, die das System braucht um auf den Stimulus zu
+abgelesen werden, die das System braucht, um auf den Stimulus zu
 antworten.
 
 Der STA kann auch dazu benutzt werden, aus den Antworten der Zelle den
-Stimulus zu rekonstruieren (Abbildung
+Stimulus zu rekonstruieren (\figref{reverse_reconstruct_fig}). Bei der
-\ref{reverse_reconstruct_fig}). Bei der \textit{invertierten
+\determ{invertierten Rekonstruktion} wird die Zellantwort mit dem STA
-  Rekonstruktion} wird die Zellantwort mit dem STA gefaltet.
+verfaltet.
 
-\begin{figure}
+\begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=\columnwidth]{reconstruction}
   \titlecaption{Rekonstruktion des Stimulus mittels STA.}{Die
-    Zellantwort wird mit dem STA gefaltet um eine Rekonstruktion des
+    Zellantwort wird mit dem STA verfaltet, um eine Rekonstruktion des
     Stimulus zu erhalten.}\label{reverse_reconstruct_fig}
 \end{figure}

scientificcomputing-script.tex

@@ -14,7 +14,7 @@
 \listoffigures
 \lstlistoflistings
 \listofiboxfs
-\listofimportantfs
+%\listofimportantfs
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \part{Grundlagen des Programmierens}

statistics/lecture/diehistograms.py

@@ -32,7 +32,7 @@ ax.set_xticks( range(1, 7) )
 ax.set_xlabel( 'x' )
 ax.set_ylim(0, 0.23)
 ax.set_ylabel( 'Probability' )
-ax.plot([0.2, 6.8], [1.0/6.0, 1.0/6.0], '-r', lw=2, zorder=1)
+ax.plot([0.2, 6.8], [1.0/6.0, 1.0/6.0], '-b', lw=2, zorder=1)
 ax.hist([x2, x1], bins, normed=True, color=['#FFCC00', '#FFFF66' ], zorder=10)
 plt.tight_layout()
 fig.savefig( 'diehistograms.pdf' )