From 3aa8eabb6f286fe3e2f1fedbc52504ee48a77093 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jan Benda Date: Tue, 17 Nov 2015 23:50:25 +0100 Subject: [PATCH] Corrected point process chapter --- pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex | 298 ++++++++++++---------- scientificcomputing-script.tex | 2 +- statistics/lecture/diehistograms.py | 2 +- 3 files changed, 165 insertions(+), 137 deletions(-) diff --git a/pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex b/pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex index e0f51b6..aef0fd8 100644 --- a/pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex +++ b/pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex @@ -2,7 +2,23 @@ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Analyse von Spiketrains} -\begin{figure}[t] +\determ{Aktionspotentiale} (\enterm{Spikes}) sind die Tr\"ager der +Information in Nervensystemen. Dabei ist in erster Linie nur der +Zeitpunkt des Auftretens eines Aktionspotentials von Bedeutung. Die +genaue Form des Aktionspotentials spielt keine oder nur eine +untergeordnete Rolle. + +Nach etwas Vorverarbeitung haben elektrophysiologische Messungen +deshalb Listen von Spikezeitpunkten als Ergebniss --- sogenannte +\enterm{Spiketrains}. Diese Messungen k\"onnen wiederholt werden und +es ergeben sich mehrere \enterm{trials} von Spiketrains +(\figref{rasterexamplesfig}). + +Spiketrains sind Zeitpunkte von Ereignissen --- den Aktionspotentialen +--- und deren Analyse f\"allt daher in das Gebiet der Statistik von +sogenannten \determ{Punktprozessen}. + +\begin{figure}[ht] \includegraphics[width=1\textwidth]{rasterexamples} \titlecaption{\label{rasterexamplesfig}Raster-Plot.}{Raster-Plot von jeweils 10 Realisierungen eines station\"arenen Punktprozesses @@ -12,37 +28,14 @@ Rauschen mit Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).} \end{figure} -Aktionspotentiale (``Spikes'') sind die Tr\"ager der Information in -Nervensystemen. Dabei ist in erster Linie nur der Zeitpunkt des -Auftretens eines Aktionspotentials von Bedeutung. Die genaue Form -spielt keine oder nur eine untergeordnete Rolle. - -Nach etwas Vorverarbeitung haben elektrophysiologische Messungen -deshalb Listen von Spikezeitpunkten als Ergebniss - sogenannte -``Spiketrains''. Diese Messungen k\"onnen wiederholt werden und es -ergeben sich mehrere ``trials'' von Spiketrains -(\figref{rasterexamplesfig}). - -Spiketrains sind Zeitpunkte von Ereignissen --- den Aktionspotentialen ---- und deren Analyse f\"allt daher in das Gebiet der Statistik von -sogenannten Punktprozessen. - - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Punktprozesse} -\begin{figure}[t] - \texpicture{pointprocessscetchB} - \titlecaption{\label{pointprocessscetchfig} Statistik von - Punktprozessesen.}{Ein Punktprozess ist eine Abfolge von - Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ - oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben werden kann. } -\end{figure} - -Ein zeitlicher Punktprozess ist ein stochastischer Prozess, der eine -Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten $\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$, -generiert. +Ein zeitlicher Punktprozess (\enterm{point process}) ist ein +stochastischer Prozess, der eine Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten +$\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$, generiert. +\begin{ibox}{Beispiele von Punktprozessen} Jeder Punktprozess wird durch einen sich in der Zeit kontinuierlich entwickelnden Prozess generiert. Wann immer dieser Prozess eine Schwelle \"uberschreitet wird ein Ereigniss des Punktprozesses @@ -56,6 +49,15 @@ erzeugt. Zum Beispiel: \item Zeitpunkt eines Grillen/Frosch/Vogelgesangs: wird durch die Dynamik des Nervensystems und des Muskelapparates erzeugt. \end{itemize} +\end{ibox} + +\begin{figure}[t] + \texpicture{pointprocessscetch} + \titlecaption{\label{pointprocessscetchfig} Statistik von + Punktprozessesen.}{Ein Punktprozess ist eine Abfolge von + Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ + oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben werden kann. } +\end{figure} F\"ur die Neurowissenschaften ist die Statistik der Punktprozesse besonders wichtig, da die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als @@ -77,9 +79,8 @@ Zeitpunkte der Ereignisse durch senkrechte Striche markiert werden. Die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen sind reelle, positive Zahlen. Bei Aktionspotentialen -(``Spikes'') heisen die Intervalle auch -``Interspikeintervalle''. Deren Statistik kann mit den \"ublichen -Gr\"o{\ss}en beschrieben werden. +heisen die Intervalle auch \enterm{Interspikeintervalle}. Deren Statistik +kann mit den \"ublichen Gr\"o{\ss}en beschrieben werden. \begin{figure}[t] \includegraphics[width=1\textwidth]{isihexamples}\hfill @@ -89,21 +90,21 @@ Gr\"o{\ss}en beschrieben werden. \subsection{Intervallstatistik erster Ordnung} \begin{itemize} -\item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$ +\item Wahrscheinlichkeitsdichte $p(T)$ der Intervalle $T$ (\figref{isihexamplesfig}). Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT = 1$. -\item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle = +\item Mittleres Intervall: $\mu_{ISI} = \langle T \rangle = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$. -\item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T +\item Varianz der Intervalle: $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex} -\item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} = +\item Variationskoeffizient (\enterm{coefficient of variation}): $CV_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$. -\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} = +\item Diffusions Koeffizient: $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$. \end{itemize} \subsection{Korrelationen der Intervalle} -In ``return maps'' werden die um das ``Lag'' $k$ verz\"ogerten +In \enterm{return maps} werden die um das \enterm{lag} $k$ verz\"ogerten Intervalle $T_{i+k}$ gegen die Intervalle $T_i$ geplottet. Dies macht m\"ogliche Abh\"angigkeiten von aufeinanderfolgenden Intervallen sichtbar. @@ -118,7 +119,7 @@ sichtbar. Solche Ab\"angigkeiten werden durch die serielle Korrelation der Intervalle quantifiziert. Das ist der Korrelationskoeffizient -zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``Lag'' $k$: +zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch \enterm{lag} $k$: \[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} = {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \] \"Ublicherweise wird die Korrelation $\rho_k$ gegen den Lag $k$ @@ -135,7 +136,7 @@ Intervalls mit sich selber). % \titlecaption{\label{countstatsfig}Count Statistik.}{} % \end{figure} -Die Anzahl der Ereignisse (Spikes) $n_i$ in Zeifenstern $i$ der +Die Anzahl der Ereignisse $n_i$ in Zeifenstern $i$ der L\"ange $W$ ergeben ganzzahlige, positive Zufallsvariablen, die meist durch folgende Sch\"atzer charakterisiert werden: \begin{itemize} @@ -144,8 +145,12 @@ durch folgende Sch\"atzer charakterisiert werden: \item Varianz der Anzahl: $\sigma_n^2 = \langle (n - \langle n \rangle)^2 \rangle$. \item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_n^2}{\mu_n}$. \end{itemize} -Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz -\[ r = \frac{\langle n \rangle}{W} \; . \] +Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (Spikes pro +Zeit, \determ{Feuerrate}) gemessen in Hertz +\begin{equation} + \label{firingrate} + r = \frac{\langle n \rangle}{W} \; . +\end{equation} % \begin{figure}[t] % \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} @@ -165,7 +170,8 @@ Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feue \section{Homogener Poisson Prozess} F\"ur kontinuierliche Me{\ss}gr\"o{\ss}en ist die Normalverteilung u.a. wegen dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine -\"ahnliche Rolle spielt bei Punktprozessen der ``Poisson Prozess''. +\"ahnliche Rolle spielt bei Punktprozessen der \determ{Poisson + Prozess}. Beim homogenen Poisson Prozess treten Ereignisse mit einer festen Rate $\lambda=\text{const.}$ auf und sind unabh\"angig von der Zeit $t$ und @@ -198,8 +204,8 @@ Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften: \item Der Variationskoeffizient ist also immer $CV_{ISI} = 1$ . \item Die seriellen Korrelationen $\rho_k =0$ f\"ur $k>0$, da das Auftreten der Ereignisse unabh\"angig von der Vorgeschichte ist. Ein - solcher Prozess wird auch Erneuerungsprozess genannt (``renewal - process''). + solcher Prozess wird auch \determ{Erneuerungsprozess} genannt (\enterm{renewal + process}). \item Die Anzahl der Ereignisse $k$ innerhalb eines Fensters der L\"ange W ist Poissonverteilt: \[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \] (\figref{hompoissoncountfig}) @@ -215,27 +221,25 @@ Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Zeitabh\"angiger Feuerraten} +\section{Zeitabh\"angige Feuerraten} Bisher haben wir station\"are Spiketrains betrachtet, deren Statistik -innerhlab der Analysezeit nicht ver\"andert. Meistens jedoch \"andert -sich die Statistik der Spiketrains eines Neurons mit der -Zeit. Z.B. kann ein sensorisches Neuron auf einen Reiz hin mit einer -erh\"ohten Feuerrate antworten. Im folgenden Stellen wir drei Methoden -vor, mit denen eine sich zeitlich ver\"andernde Rate des Punktprozesses -abgesch\"atzt werden kann. - -Eine klassische Darstellung zeitabh\"angiger neuronaler Aktivit\"at -ist das sogenannte Peri Stimulus Zeithistogramm (peri stimulus time -histogram, PSTH). Es wird der zeitliche Verlauf der Feuerrate $r(t)$ -dargestellt. Die Einheit der Feuerrate ist Hertz, das heisst, die -Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Es verschiedene Methoden diese -zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung \ref{psthfig} -dargestellt. Alle Methoden haben ihre Berechtigung und ihre Vor- und -Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus Abbildung -\ref{psthfig} n\"aher erl\"autert. - -\begin{figure}[t] +sich innerhalb der Analysezeit nicht ver\"andert (station\"are +Punktprozesse). Meistens jedoch \"andert sich die Statistik der +Spiketrains eines Neurons mit der Zeit. Z.B. kann ein sensorisches +Neuron auf einen Reiz hin mit einer erh\"ohten Feuerrate antworten +(nichtstation\"arer Punktprozess). + +Wie die mittlere Anzahl der Spikes sich mit der Zeit ver\"andert, die +\determ{Feuerrate} $r(t)$, ist die wichtigste Gr\"o{\ss}e bei +nicht-station\"aren Spiketrains. Die Einheit der Feuerrate ist Hertz, +also Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Es gibt verschiedene +Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung +\ref{psthfig} dargestellt. Alle Methoden haben ihre Berechtigung und +ihre Vor- und Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus +Abbildung \ref{psthfig} n\"aher erl\"autert. + +\begin{figure}[tp] \includegraphics[width=\columnwidth]{firingrates} \titlecaption{Verschiedene Methoden die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen.}{A)} Rasterplot einer einzelnen neuronalen @@ -247,22 +251,10 @@ Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus Abbildung \end{figure} -\paragraph{Instantane Feuerrate} -Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist -die sogenannte \textit{instantane Feuerrate}. Dabei wird die Feuerrate -aus dem Kehrwert des \textit{Interspike Intervalls}, der Zeit zwischen -zwei aufeinander folgenden Aktionspotentialen (Abbildung \ref{instrate} -A), bestimmt. Die abgesch\"atzte Feuerrate (Abbildung \ref{instrate} B) -ist g\"ultig f\"ur das gesammte Interspike Intervall -\ref{instrate}. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie sehr einfach zu -berechnen ist und keine Annahme \"uber eine relevante Zeitskala (der -Kodierung oder des Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle) -macht. $r(t)$ ist allerdings keine kontinuierliche Funktion, die -Spr\"unge in der Feuerrate k\"onnen f\"ur manche Analysen nachteilig -sein. Des Weiteren ist die Feuerrate nie null, auch wenn lange keine -Aktionspotentiale generiert wurden. - -\begin{figure}[!htb] +\subsection{Instantane Feuerrate} + + +\begin{figure}[tp] \includegraphics[width=\columnwidth]{isimethod} \titlecaption{Bestimmung des zeitabh\"angigen Feuerrate aus dem Interspike Intervall.}{\textbf{A)} Skizze eines Rasterplots einer @@ -273,24 +265,61 @@ Aktionspotentiale generiert wurden. Intervalls ist die Feuerrate.}\label{instrate} \end{figure} - -\paragraph{Binning Methode} -Bei der Binning Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige +Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist +die sogenannte \determ{instantane Feuerrate}. Dabei wird die Feuerrate +aus dem Kehrwert der Interspikeintervalle, der Zeit zwischen zwei +aufeinander folgenden Aktionspotentialen (\figref{instrate} A), +bestimmt. Die abgesch\"atzte Feuerrate (\figref{instrate} B) ist +g\"ultig f\"ur das gesammte Interspikeintervall. Diese Methode hat den +Vorteil, dass sie sehr einfach zu berechnen ist und keine Annahme +\"uber eine relevante Zeitskala (der Kodierung oder des +Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle) macht. $r(t)$ ist +allerdings keine kontinuierliche Funktion, die Spr\"unge in der +Feuerrate k\"onnen f\"ur manche Analysen nachteilig sein. Au{\ss}erdem +wird die Feuerrate nie gleich Null, auch wenn lange keine Aktionspotentiale +generiert wurden. + + +\subsection{Peri-Stimulus-Zeit-Histogramm} +W\"ahrend die Instantane Rate den Kehrwert der Zeit von einem bis zum +n\"achsten Aktionspotential misst, sch\"atzt das sogenannte +\determ{Peri-Stimulus-Zeit-Histogramm} (\enterm{peri stimulus time + histogram}, PSTH) die Wahrscheinlichkeit ab, zu einem Zeitpunkt +Aktionspotentiale anzutreffen. Es wird versucht die mittlere Rate \eqnref{firingrate} +im Grenzwert kleiner Beobachtungszeiten abzusch\"atzen: +\begin{equation} + \label{psthrate} + r(t) = \lim_{W \to 0} \frac{\langle n \rangle}{W} \; , +\end{equation} +wobei die Anzahl $n$ der Aktionspotentiale, die im Zeitintervall +$(t,t+W)$ aufgetreten sind, \"uber trials gemittelt wird. Eine solche +Rate enspricht der zeitabh\"angigen Rate $\lambda(t)$ des inhomogenen +Poisson-Prozesses. + +Das PSTH \eqnref{psthrate} kann entweder \"uber die Binning-Methode +oder durch Verfaltung mit einem Kern bestimmt werden. Beiden Methoden +gemeinsam ist die Notwendigkeit der Wahl einer zus\"atzlichen Zeitskala, +die der Beobachtungszeit $W$ in \eqnref{psthrate} entspricht. + +\subsubsection{Binning-Methode} +Bei der Binning-Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige Abschnitte (Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in -die jeweiligen Bins fallen, gez\"ahlt (Abbildung \ref{binpsth} A). Um -diese Z\"ahlungen in die Feuerrate umzurechnen muss noch mit der -Binweite normiert werden. Die bestimmte Feuerrate gilt f\"ur das -gesamte Bin (Abbildung \ref{binpsth} B). \textbf{Tipp:} Um die Anzahl -Spikes pro Bin zu berechnen kann die \code{hist} Funktion benutzt -werden. Das so berechnete PSTH hat wiederum eine stufige Form, die von -der Wahl der Binweite anh\"angt. Die Binweite bestimmt die zeitliche -Aufl\"osung der Darstellung. \"Anderungen in der Feuerrate, die -innerhalb eines Bins vorkommen k\"onnen nicht aufgl\"ost werden. Die -Wahl der Binweite stellt somit eine Annahme \"uber die relevante -Zeitskala der Verarbeitung dar. Auch hier ist $r(t)$ keine -koninuierliche Funktion. - -\begin{figure}[h!] +die jeweiligen Bins fallen, gez\"ahlt (\figref{binpsth} A). Um diese +Z\"ahlungen in die Feuerrate umzurechnen muss noch mit der Binweite +normiert werden. Das ist fast so, wie beim Absch\"atzen einer +Wahrscheinlichkeitsdichte. Es kann auch die \code{hist} Funktion zur +Bestimmung des PSTHs verwendet werden. + +Die bestimmte Feuerrate gilt f\"ur das gesamte Bin (\figref{binpsth} +B). Das so berechnete PSTH hat wiederum eine stufige Form, die von der +Wahl der Binweite anh\"angt. $r(t)$ ist also keine stetige +Funktion. Die Binweite bestimmt die zeitliche Aufl\"osung der +Absch\"atzung. \"Anderungen in der Feuerrate, die innerhalb eines Bins +vorkommen k\"onnen nicht aufgl\"ost werden. Mit der Wahl der Binweite +wird somit eine Annahme \"uber die relevante Zeitskala des Spiketrains +gemacht. + +\begin{figure}[tp] \includegraphics[width=\columnwidth]{binmethod} \titlecaption{Bestimmung des PSTH mit der Binning Methode.}{\textbf{A)} Skizze eines Rasterplots einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder @@ -302,28 +331,24 @@ koninuierliche Funktion. \end{figure} -\paragraph{Faltungsmethode} -Bei der Faltungsmethode geht wird etwas anders vorgegangen um die -Feuerrate zeitaufgel\"ost zu berechnen. Die Aktionspotentialfolge wird -zun\"achst ``bin\"ar'' dargestellt. Das heisst, dass eine Antwort als -(Zeit-)Vektor dargestellt wird, in welchem die Zeitpunkte der +\subsubsection{Faltungsmethode} +Bei der Faltungsmethode werden die harten Kanten der Bins der +Binning-Methode vermieden. Der Spiketrain wird mit einem Kern +verfaltet, d.h. jedes Aktionspotential wird durch den Kern ersetzt. +Zur Berechnung wird die Aktionspotentialfolge zun\"achst +``bin\"ar'' dargestellt. Dabei wird ein Spiketrain als +(Zeit-)Vektor dargestellt, in welchem die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle anderen Elemente des Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser bin\"are Spiketrain mit -einem Gauss Kern bestimmter Breite gefaltet. - -\[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty}d\tau \omega(\tau)\rho(t-\tau) \], +einem Gau{\ss}-Kern bestimmter Breite verfaltet: + \[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \omega(\tau) \, \rho(t-\tau) \, {\rm d}\tau \; , \] wobei $\omega(\tau)$ der Filterkern und $\rho(t)$ die bin\"are Antwort -ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $rho(t)$ durch den Filterkern +ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $\rho(t)$ durch den Filterkern ersetzt (Abbildung \ref{convrate} A). Wenn der Kern richtig normiert -wurde (Integral 1), ergibt sich die Feuerrate direkt aus der -\"Uberlagerung der Kerne (Abb. \ref{convrate} B). Die Faltungsmethode -f\"uhrt, anders als die anderen Methoden, zu einer kontinuierlichen -Funktion was f\"ur spektrale Analysen von Vorteil sein kann. Die Wahl -der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur Binweite, die zeitliche -Aufl\"osung von $r(t)$. Man macht also eine Annahme \"uber die -relevante Zeitskala. - -\begin{figure}[h!] +wurde (Integral gleich Eins), ergibt sich die Feuerrate direkt aus der +\"Uberlagerung der Kerne (Abb. \ref{convrate} B). + +\begin{figure}[tp] \includegraphics[width=\columnwidth]{convmethod} \titlecaption{Schematische Darstellung der Faltungsmethode.}{\textbf{A)} Rasterplot einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale @@ -334,28 +359,31 @@ relevante Zeitskala. Kerne.}\label{convrate} \end{figure} +Die Faltungsmethode f\"uhrt, anders als die anderen Methoden, zu einer +kontinuierlichen Funktion was insbesondere f\"ur spektrale Analysen +von Vorteil sein kann. Die Wahl der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur +Binweite, die zeitliche Aufl\"osung von $r(t)$. Die Breite des Kerns +macht also auch wieder eine Annahme \"uber die relevante Zeitskala des Spiketrains. - -\section{Spike triggered Average} +\section{Spike-triggered Average} Die graphischer Darstellung der Feuerrate allein reicht nicht aus um den Zusammenhang zwischen neuronaler Antwort und einem Stimulus zu -analysieren. Eine Methode mehr \"uber diesen Zusammenhang zu erfahren -ist der Spike triggered average (STA). Der STA ist der mittlere -Stimulus, der zu einem Aktionspotential in der neuronalen Antwort -f\"uhrt. - +analysieren. Eine Methode um mehr \"uber diesen Zusammenhang zu erfahren, +ist der \enterm{Spike-triggered average} (STA). Der STA \begin{equation} - STA(\tau) = \frac{1}{\langle n \rangle} \left\langle \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{s(t_i - \tau)} \right\rangle + STA(\tau) = \langle s(t - \tau) \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} s(t_i - \tau) \end{equation} +der $N$ Aktionspotentiale zu den Zeiten $t_i$ in Anwort auf den +Stimulus $s(t)$ ist der mittlere Stimulus, der zu einem +Aktionspotential in der neuronalen Antwort f\"uhrt. Der STA l\"a{\ss}t sich relativ einfach berechnen, indem aus dem Stimulus f\"ur jeden beobachteten Spike ein entsprechender Abschnitt -ausgeschnitten wird und diese dann mittelt (Abbildung -\ref{stafig}). +ausgeschnitten wird und diese dann gemittelt werde (\figref{stafig}). -\begin{figure} +\begin{figure}[t] \includegraphics[width=0.5\columnwidth]{sta} - \titlecaption{Spike Triggered Average eines P-Typ + \titlecaption{Spike-triggered Average eines P-Typ Elektrorezeptors.}{Der Rezeptor wurde mit einem ``white-noise'' Stimulus getrieben. Zeitpunkt 0 ist der Zeitpunkt des beobachteten Aktionspotentials.}\label{stafig} @@ -364,23 +392,23 @@ ausgeschnitten wird und diese dann mittelt (Abbildung Aus dem STA k\"onnen verschiedene Informationen \"uber den Zusammenhang zwischen Stimulus und neuronaler Antwort gewonnen werden. Die Breite des STA repr\"asentiert die zeitliche Pr\"azision, -mit der Stimulus und Antwort zusammenh\"angen und wie weit das neuron +mit der Stimulus und Antwort zusammenh\"angen und wie weit das Neuron zeitlich integriert. Die Amplitude des STA (gegeben in der gleichen -Einheit, wie der Stimulus) deutet auf die Empfindlichkeit des Neurons +Einheit wie der Stimulus) deutet auf die Empfindlichkeit des Neurons bez\"uglich des Stimulus hin. Eine hohe Amplitude besagt, dass es -einen starken Stimulus ben\"otigt um ein Aktionspotential +einen starken Stimulus ben\"otigt, um ein Aktionspotential hervorzurufen. Aus dem zeitlichen Versatz des STA kann die Zeit -abgelesen werden, die das System braucht um auf den Stimulus zu +abgelesen werden, die das System braucht, um auf den Stimulus zu antworten. Der STA kann auch dazu benutzt werden, aus den Antworten der Zelle den -Stimulus zu rekonstruieren (Abbildung -\ref{reverse_reconstruct_fig}). Bei der \textit{invertierten - Rekonstruktion} wird die Zellantwort mit dem STA gefaltet. +Stimulus zu rekonstruieren (\figref{reverse_reconstruct_fig}). Bei der +\determ{invertierten Rekonstruktion} wird die Zellantwort mit dem STA +verfaltet. -\begin{figure} +\begin{figure}[t] \includegraphics[width=\columnwidth]{reconstruction} \titlecaption{Rekonstruktion des Stimulus mittels STA.}{Die - Zellantwort wird mit dem STA gefaltet um eine Rekonstruktion des + Zellantwort wird mit dem STA verfaltet, um eine Rekonstruktion des Stimulus zu erhalten.}\label{reverse_reconstruct_fig} \end{figure} diff --git a/scientificcomputing-script.tex b/scientificcomputing-script.tex index 304d5ef..36c8cb2 100644 --- a/scientificcomputing-script.tex +++ b/scientificcomputing-script.tex @@ -14,7 +14,7 @@ \listoffigures \lstlistoflistings \listofiboxfs -\listofimportantfs +%\listofimportantfs %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \part{Grundlagen des Programmierens} diff --git a/statistics/lecture/diehistograms.py b/statistics/lecture/diehistograms.py index 1288e52..ad53c38 100644 --- a/statistics/lecture/diehistograms.py +++ b/statistics/lecture/diehistograms.py @@ -32,7 +32,7 @@ ax.set_xticks( range(1, 7) ) ax.set_xlabel( 'x' ) ax.set_ylim(0, 0.23) ax.set_ylabel( 'Probability' ) -ax.plot([0.2, 6.8], [1.0/6.0, 1.0/6.0], '-r', lw=2, zorder=1) +ax.plot([0.2, 6.8], [1.0/6.0, 1.0/6.0], '-b', lw=2, zorder=1) ax.hist([x2, x1], bins, normed=True, color=['#FFCC00', '#FFFF66' ], zorder=10) plt.tight_layout() fig.savefig( 'diehistograms.pdf' )