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TeX
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\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage{pslatex}
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\usepackage[mediumspace,mediumqspace,Gray]{SIunits} % \ohm, \micro
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref}
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%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
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\pagestyle{headandfoot}
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\ifprintanswers
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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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\else
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\newcommand{\stitle}{}
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\fi
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\header{{\bfseries\large \"Ubung 6\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 22. November, 2016}}
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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
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jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\runningfooter{}{\thepage}{}
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\setlength{\baselineskip}{15pt}
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\setlength{\parindent}{0.0cm}
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\setlength{\parskip}{0.3cm}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
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%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{listings}
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\lstset{
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language=Matlab,
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basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
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numbers=left,
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numberstyle=\tiny,
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title=\lstname,
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showstringspaces=false,
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commentstyle=\itshape\color{darkgray},
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breaklines=true,
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breakautoindent=true,
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columns=flexible,
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frame=single,
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xleftmargin=1em,
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xrightmargin=1em,
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aboveskip=10pt
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}
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%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{bm}
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\usepackage{dsfont}
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\newcommand{\naZ}{\mathds{N}}
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\newcommand{\gaZ}{\mathds{Z}}
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\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}}
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\newcommand{\reZ}{\mathds{R}}
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\newcommand{\reZp}{\mathds{R^+}}
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\newcommand{\reZpN}{\mathds{R^+_0}}
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\newcommand{\koZ}{\mathds{C}}
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%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
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|
\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
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\newpage
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
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|
\newpage%
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|
\else
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\fi}
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%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\input{instructions}
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\ifprintanswers%
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\else
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\begin{itemize}
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\item \"Uberzeuge dich von jeder einzelnen Zeile deines Codes, dass
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sie auch wirklich das macht, was sie machen soll! Teste dies mit
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kleinen Beispielen direkt in der Kommandozeile.
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\item Versuche die L\"osungen der Aufgaben m\"oglichst in
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sinnvolle kleine Funktionen herunterzubrechen.
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Sobald etwas \"ahnliches mehr als einmal berechnet werden soll,
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lohnt es sich eine Funktion daraus zu schreiben!
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\item Teste rechenintensive \code{for} Schleifen, Vektoren, Matrizen
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zuerst mit einer kleinen Anzahl von Wiederholungen oder kleiner
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Gr\"o{\ss}e, und benutze erst am Ende, wenn alles \"uberpr\"uft
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ist, eine gro{\ss}e Anzahl von Wiederholungen oder Elementen, um eine gute
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Statistik zu bekommen.
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\item Benutze die Hilfsfunktion von \code{matlab} (\code{help
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command} oder \code{doc command}) und das Internet, um
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herauszufinden, wie bestimmte \code{matlab} Funktionen zu verwenden
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sind und was f\"ur M\"oglichkeiten sie bieten.
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Auch zu inhaltlichen Konzepten bietet das Internet oft viele
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Antworten!
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\item Die L\"osung bitte als zip-Archiv mit dem Namen
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``probabilities\_\{nachname\}\_\{vorname\}.zip'' auf ILIAS hochladen.
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\end{itemize}
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\fi
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\begin{questions}
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\question \textbf{Lies im Skript das Kapitel 3 ``Programmierstil''!}
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten eines W\"urfels I}
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Der Computer kann mit W\"urfeln w\"urfeln die mehr als 6 Seiten haben!
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\begin{parts}
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\part Simuliere 10000 W\"urfe mit einem W\"urfel mit acht Seiten
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durch Erzeugung von ganzzahligen Zufallszahlen mit den Augenzahlen
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$x_i = 1, 2, \ldots 8$ .
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\part Berechne die Wahrscheinlichkeit $P(5)$ des Auftretens der
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Augenzahl f\"unf durch Bestimmung der Anzahl der F\"unfen im
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Datensatz.
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Entspricht das Ergebnis deiner Erwartung?
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\"Uberpr\"ufe auch die Wahrscheinlichkeit $P(x_i)$ der anderen
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Zahlen.
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Ist das ein fairer W\"urfel?
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\part Speicher die berechneten Wahrscheinlichkeiten $P(x_i)$ f\"ur
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das Auftreten der gew\"urfelten Zahlen in einem Vektor und benutze
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die \code{bar()} Funktion, um diese Wahrscheinlichkeiten als
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Funktion der Augenzahl zu plotten.
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\part Erstelle in einem weiterem Plot ein entsprechendes normiertes Histogramm
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mit Hilfe der \code{hist()} und \code{bar()} Funktionen.
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\part \extra Wie k\"onnte man einen gezinkten sechsseitigen W\"urfel
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simulieren, bei dem die sechs dreimal so h\"aufig wie die anderen
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Zahlen gew\"urfelt wird?
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Fertige von diesem W\"urfel ein normiertes Histogram aus 10000
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W\"urfen an.
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{rollthedie.m}
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\lstinputlisting{diehist.m}
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\lstinputlisting{die1.m}
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\includegraphics[width=1\textwidth]{die1}
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\end{solution}
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\continue
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten eines W\"urfels II}
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Wir werten nun das Verhalten mehrerer W\"urfel aus.
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\begin{parts}
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\part Simuliere 20 W\"urfel, von denen jeder 100 mal geworfen wird
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(jeder W\"urfel wird mit dem gleichen Zufallsgenerator simuliert).
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\part Berechne aus diesem Datensatz f\"ur jeden W\"urfel ein normiertes Histogramm.
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\part Bestimme den Mittelwert und die Standardabweichung f\"ur jede
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Augenzahl gemittelt \"uber die W\"urfel.
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\part Stelle das Ergebnis in einem S\"aulenplot mit Fehlerbalken dar
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(\code{bar()} mit \code{errorbar()} Funktionen).
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{die2.m}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{die2}
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\end{solution}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\question \qt{Histogramm der Normalverteilung}
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\vspace{-3ex}
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\begin{parts}
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\part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
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$n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
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Standardabweichung $\sigma=1$ (\code{randn()} Funktion).
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\part Berechne aus diesem Datensatz die Wahrscheinlichkeit $P(0\le
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x<0.5)$.
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\part Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit eine Zahl in einem
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bestimmten Interval zu ziehen (z.B. $P(0\le x<a)$), wenn dieses
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Intervall immer kleiner wird ($a \to 0$)?
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Schreibe ein Programm, das dies illustriert indem es $P(0\le x<a)$
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als Funktion von $a$ plottet ($0 \le a \le 4$).
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\part \label{manualpdf} Bestimme und plotte die
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Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Zufallszahlen (das normierte
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Histogramm). Lege dazu zun\"achst die Positionen der bins (Breite
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von 0.5) in einem Vektor fest. Bestimme dann mit einer \code{for}
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Schleife f\"ur jedes dieser bins die Anzahl der Datenelemente, die
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in diese bin fallen. Normiere anschliessend das so erhaltene
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Histogram und plotte es mit der \code{bar()} Funktion.
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\part \label{gaussianpdf} Plotte zum Vergleich in den gleichen Plot
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die Normalverteilung
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\[ p_g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
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\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der Daten wie in
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(\ref{manualpdf}) und (\ref{gaussianpdf}), aber mit Hilfe der
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\code{hist()} Funktion.
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{normhist.m}
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\includegraphics[width=1\textwidth]{normhist}
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\end{solution}
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\end{questions}
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\end{document} |