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\chapter{\tr{Maximum likelihood estimation}{Maximum-Likelihood-Sch\"atzer}}
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\label{maximumlikelihoodchapter}
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\selectlanguage{english}
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There are situations in which we want to estimate one or more
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parameters $\theta$ of a probability distribution that best describe
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the data $x_1, x_2, \ldots x_n$. \enterm{Maximum likelihood
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estimators} (\determ{Maximum-Likelihood-Sch\"atzer},
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\determ[mle|see{Maximum-Likelihood-Sch\"atzer}]{mle}) choose the
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parameters such that it maximizes the likelihood of $x_1, x_2, \ldots
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x_n$ originating from the distribution.
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\section{Maximum Likelihood}
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Let $p(x|\theta)$ (to be read as ``Probability(density) of $x$ given
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$\theta$.'') the probability (density) distribution of $x$ given the
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parameters $\theta$. This could be the normal distribution
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\begin{equation}
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\label{normpdfmean}
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p(x|\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
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\end{equation}
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defined by the mean ($\mu$) and the standard deviation $\sigma$ as
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parameters $\theta$. If the $n$ independent observations of $x_1,
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x_2, \ldots x_n$ originate from the same probability density
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distribution (\enterm{i.i.d.} independent and identically distributed)
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then is the conditional probability $p(x_1,x_2, \ldots x_n|\theta)$ of
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observing $x_1, x_2, \ldots x_n$ given the a specific $\theta$,
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\begin{equation}
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p(x_1,x_2, \ldots x_n|\theta) = p(x_1|\theta) \cdot p(x_2|\theta)
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\ldots p(x_n|\theta) = \prod_{i=1}^n p(x_i|\theta) \; .
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\end{equation}
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Vice versa, is the \enterm{likelihood} of the parameters $\theta$
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given the observed data $x_1, x_2, \ldots x_n$,
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\begin{equation}
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{\cal L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n) = p(x_1,x_2, \ldots x_n|\theta) \; .
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\end{equation}
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Note: the likelihood ${\cal L}$ is not a probability in the
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classic sense since it does not integrate to unity ($\int {\cal
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L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n) \, d\theta \ne 1$).
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When applying maximum likelihood estimations we are interested in the
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parameters $\theta$ that maximize the likelihood (``mle''):
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\begin{equation}
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\theta_{mle} = \text{argmax}_{\theta} {\cal L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n)
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\end{equation}
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$\text{argmax}_xf(x)$ denotes the values of the argument $x$ of the
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function $f(x)$ at which the function $f(x)$ reaches its global
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maximum. Thus, we search the value of $\theta$ at which the
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likelihood ${\cal L}(\theta)$ reaches its maximum.
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The position of a function's maximum does not change when the values
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of the function are transformed by a strictly monotonously rising
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function such as the logarithm. For numerical and reasons that we will
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discuss below, we commonly search for the maximum of the logarithm of
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the likelihood (\enterm{log-likelihood}):
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\begin{eqnarray}
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\theta_{mle} & = & \text{argmax}_{\theta}\; {\cal L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n) \nonumber \\
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& = & \text{argmax}_{\theta}\; \log {\cal L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n) \nonumber \\
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& = & \text{argmax}_{\theta}\; \log \prod_{i=1}^n p(x_i|\theta) \nonumber \\
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& = & \text{argmax}_{\theta}\; \sum_{i=1}^n \log p(x_i|\theta) \label{loglikelihood}
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\end{eqnarray}
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\subsection{Example: the arithmetic mean}
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Wenn die Me{\ss}daten $x_1, x_2, \ldots x_n$ der Normalverteilung
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\eqnref{normpdfmean} entstammen, und wir den Mittelwert $\mu=\theta$ als
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einzigen Parameter der Verteilung betrachten, welcher Wert von
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$\theta$ maximiert dessen Likelihood?
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{mlemean}
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\titlecaption{\label{mlemeanfig} Maximum Likelihood Sch\"atzung des
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Mittelwerts.}{Oben: Die Daten zusammen mit drei m\"oglichen
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Normalverteilungen mit unterschiedlichen Mittelwerten (Pfeile) aus
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denen die Daten stammen k\"onnten. Unten links: Die Likelihood
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in Abh\"angigkeit des Mittelwerts als Parameter der
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Normalverteilungen. Unten rechts: die entsprechende
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Log-Likelihood. An der Position des Maximums bei $\theta=2$
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\"andert sich nichts (Pfeil).}
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\end{figure}
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Die Log-Likelihood \eqnref{loglikelihood} ist
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\begin{eqnarray*}
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\log {\cal L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n)
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& = & \sum_{i=1}^n \log \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x_i-\theta)^2}{2\sigma^2}} \\
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& = & \sum_{i=1}^n - \log \sqrt{2\pi \sigma^2} -\frac{(x_i-\theta)^2}{2\sigma^2} \; .
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\end{eqnarray*}
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Der Logarithmus hat die sch\"one Eigenschaft, die Exponentialfunktion
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der Normalverteilung auszul\"oschen, da der Logarithmus die
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Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist ($\log(e^x)=x$).
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Zur Bestimmung des Maximums der Log-Likelihood berechnen wir deren Ableitung
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nach dem Parameter $\theta$ und setzen diese gleich Null:
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\begin{eqnarray*}
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\frac{\text{d}}{\text{d}\theta} \log {\cal L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n) & = & \sum_{i=1}^n - \frac{2(x_i-\theta)}{2\sigma^2} \;\; = \;\; 0 \\
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\Leftrightarrow \quad \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n \theta & = & 0 \\
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\Leftrightarrow \quad n \theta & = & \sum_{i=1}^n x_i \\
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\Leftrightarrow \quad \theta & = & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \;\; = \;\; \bar x
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\end{eqnarray*}
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Der Maximum-Likelihood-Sch\"atzer ist das arithmetische Mittel $\bar
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x$ der Daten. D.h. das arithmetische Mittel maximiert die
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Wahrscheinlichkeit, dass die Daten aus einer Normalverteilung mit
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diesem Mittelwert gezogen worden sind (\figref{mlemeanfig}).
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\begin{exercise}{mlemean.m}{mlemean.out}
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Ziehe $n=50$ normalverteilte Zufallsvariablen mit einem Mittelwert $\ne 0$
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und einer Standardabweichung $\ne 1$.
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Plotte die Likelihood (aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten) und
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die Log-Likelihood (aus der Summe der logarithmierten
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Wahrscheinlichkeiten) f\"ur den Mittelwert als Parameter. Vergleiche
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die Position der Maxima mit dem aus den Daten berechneten
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Mittelwert.
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\pagebreak[4]
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\end{exercise}
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\pagebreak[4]
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\section{Kurvenfit als Maximum-Likelihood Sch\"atzung}
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Beim \determ{Kurvenfit} soll eine Funktion $f(x;\theta)$ mit den Parametern
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$\theta$ an die Datenpaare $(x_i|y_i)$ durch Anpassung der Parameter
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$\theta$ gefittet werden. Wenn wir annehmen, dass die $y_i$ um die
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entsprechenden Funktionswerte $f(x_i;\theta)$ mit einer
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Standardabweichung $\sigma_i$ normalverteilt streuen, dann lautet die
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Log-Likelihood
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\begin{eqnarray*}
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\log {\cal L}(\theta|(x_1,y_1,\sigma_1), \ldots, (x_n,y_n,\sigma_n))
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& = & \sum_{i=1}^n \log \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_i^2}}e^{-\frac{(y_i-f(x_i;\theta))^2}{2\sigma_i^2}} \\
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& = & \sum_{i=1}^n - \log \sqrt{2\pi \sigma_i^2} -\frac{(y_i-f(x_i;\theta))^2}{2\sigma_i^2} \\
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\end{eqnarray*}
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Der einzige Unterschied zum vorherigen Beispiel ist, dass die
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Mittelwerte der Normalverteilungen nun durch die Funktionswerte
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gegeben sind.
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Der Parameter $\theta$ soll so gew\"ahlt werden, dass die
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Log-Likelihood maximal wird. Der erste Term der Summe ist
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unabh\"angig von $\theta$ und kann deshalb bei der Suche nach dem
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Maximum weggelassen werden:
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\begin{eqnarray*}
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& = & - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i-f(x_i;\theta)}{\sigma_i} \right)^2
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\end{eqnarray*}
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Anstatt nach dem Maximum zu suchen, k\"onnen wir auch das Vorzeichen der Log-Likelihood
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umdrehen und nach dem Minimum suchen. Dabei k\"onnen wir auch den Faktor $1/2$ vor der Summe vernachl\"assigen --- auch das \"andert nichts an der Position des Minimums:
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\begin{equation}
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\label{chisqmin}
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\theta_{mle} = \text{argmin}_{\theta} \; \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i-f(x_i;\theta)}{\sigma_i} \right)^2 \;\; = \;\; \text{argmin}_{\theta} \; \chi^2
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\end{equation}
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Die Summe der quadratischen Abst\"ande normiert auf die jeweiligen
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Standardabweichungen wird auch mit $\chi^2$ bezeichnet. Der Wert des
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Parameters $\theta$, welcher den quadratischen Abstand minimiert, ist
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also identisch mit der Maximierung der Wahrscheinlichkeit, dass die
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Daten tats\"achlich aus der Funktion stammen k\"onnen. Minimierung des
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$\chi^2$ ist also eine Maximum-Likelihood Sch\"atzung.
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An der Herleitung sehen wir aber auch, dass die Minimierung des
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quadratischen Abstands nur dann eine Maximum-Likelihood Absch\"atzung
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ist, wenn die Daten normalverteilt um die Funktion streuen. Bei
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anderen Verteilungen m\"usste man die Log-Likelihood entsprechend
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\eqnref{loglikelihood} ausrechnen und maximieren.
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{mlepropline}
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\titlecaption{\label{mleproplinefig} Maximum-Likelihood Sch\"atzung der
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Steigung einer Ursprungsgeraden.}{}
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\end{figure}
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\subsection{Beispiel: einfache Proportionalit\"at}
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Als Funktion nehmen wir die Ursprungsgerade
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\[ f(x) = \theta x \]
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mit Steigung $\theta$. Die $\chi^2$-Summe lautet damit
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\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i-\theta x_i}{\sigma_i} \right)^2 \; . \]
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Zur Bestimmung des Minimums berechnen wir wieder die erste Ableitung nach $\theta$
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und setzen diese gleich Null:
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\begin{eqnarray}
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\frac{\text{d}}{\text{d}\theta}\chi^2 & = & \frac{\text{d}}{\text{d}\theta} \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i-\theta x_i}{\sigma_i} \right)^2 \nonumber \\
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& = & \sum_{i=1}^n \frac{\text{d}}{\text{d}\theta} \left( \frac{y_i-\theta x_i}{\sigma_i} \right)^2 \nonumber \\
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& = & -2 \sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\sigma_i} \left( \frac{y_i-\theta x_i}{\sigma_i} \right) \nonumber \\
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& = & -2 \sum_{i=1}^n \left( \frac{x_iy_i}{\sigma_i^2} - \theta \frac{x_i^2}{\sigma_i^2} \right) \;\; = \;\; 0 \nonumber \\
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\Leftrightarrow \quad \theta \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{\sigma_i^2} & = & \sum_{i=1}^n \frac{x_iy_i}{\sigma_i^2} \nonumber \\
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\Leftrightarrow \quad \theta & = & \frac{\sum_{i=1}^n \frac{x_iy_i}{\sigma_i^2}}{ \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{\sigma_i^2}} \label{mleslope}
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\end{eqnarray}
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Damit haben wir nun einen anlytischen Ausdruck f\"ur die Bestimmung
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der Steigung $\theta$ der Regressionsgeraden gewonnen
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(\figref{mleproplinefig}).
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Ein Gradientenabstieg ist f\"ur das Fitten der Geradensteigung also
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gar nicht n\"otig. Das gilt allgemein f\"ur das Fitten von
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Koeffizienten von linear kombinierten Basisfunktionen. Wie z.B.
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die Steigung $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ einer Geradengleichung
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\[ y = m \cdot x +b \]
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oder allgemeiner die Koeffizienten $a_k$ eines Polynoms
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\[ y = \sum_{k=0}^N a_k x^k = a_o + a_1x + a_2x^2 + a_3x^4 + \ldots \]
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\matlabfun{polyfit()}.
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Parameter, die nichtlinear in einer Funktion enthalten sind, k\"onnen
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im Gegensatz dazu nicht analytisch aus den Daten berechnet
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werden. z.B. die Rate $\lambda$ eines exponentiellen Zerfalls
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\[ y = c \cdot e^{\lambda x} \quad , \quad c, \lambda \in \reZ \; . \]
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F\"ur diesen Fall bleibt dann nur auf numerische Verfahren zur
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Optimierung der Kostenfunktion, wie z.B. der Gradientenabstieg,
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zur\"uckzugreifen \matlabfun{lsqcurvefit()}.
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\section{Fits von Wahrscheinlichkeitsverteilungen}
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Jetzt betrachten wir noch den Fall, bei dem wir die Parameter einer
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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (z.B. den shape-Parameter einer
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\determ{Gamma-Verteilung}) an ein Datenset fitten wollen.
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Ein erster Gedanke k\"onnte sein, die
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\determ[Wahrscheinlichkeitsdichte]{Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion}
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durch Minimierung des quadratischen Abstands an ein Histogramm der
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Daten zu fitten. Das ist aber aus folgenden Gr\"unden nicht die
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Methode der Wahl: (i) Wahrscheinlichkeitsdichten k\"onnen nur positiv
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sein. Darum k\"onnen insbesondere bei kleinen Werten die Daten nicht
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symmetrisch streuen, wie es bei normalverteilten Daten der Fall
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ist. (ii) Die Datenwerte sind nicht unabh\"angig, da das normierte
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Histogram sich zu Eins aufintegriert. Die beiden Annahmen
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normalverteilte und unabh\"angige Daten, die die Minimierung des
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quadratischen Abstands \eqnref{chisqmin} zu einem Maximum-Likelihood
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Sch\"atzer machen, sind also verletzt. (iii) Das Histogramm h\"angt
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von der Wahl der Klassenbreite ab (\figref{mlepdffig}).
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{mlepdf}
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\titlecaption{\label{mlepdffig} Maximum-Likelihood Sch\"atzung einer
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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.}{Links: die 100 Datenpunkte, die
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aus der Gammaverteilung 2. Ordnung (rot) gezogen worden sind. Der
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Maximum-Likelihood-Fit ist orange dargestellt. Rechts: das
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normierte Histogramm der Daten zusammen mit dem \"uber Minimierung
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des quadratischen Abstands zum Histogramm berechneten Fit.}
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\end{figure}
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Den direkten Weg, eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion an ein
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Datenset zu fitten, haben wir oben schon bei dem Beispiel zur
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Absch\"atzung des Mittelwertes einer Normalverteilung gesehen ---
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Maximum Likelihood! Wir suchen einfach die Parameter $\theta$ der
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gesuchten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bei der die Log-Likelihood
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\eqnref{loglikelihood} maximal wird. Das ist im allgemeinen ein
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nichtlinieares Optimierungsproblem, das mit numerischen Verfahren, wie
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z.B. dem Gradientenabstieg, gel\"ost wird \matlabfun{mle()}.
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\begin{exercise}{mlegammafit.m}{mlegammafit.out}
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Erzeuge Gammaverteilte Zufallszahlen und benutze Maximum-Likelihood,
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um die Parameter der Gammafunktion aus den Daten zu bestimmen.
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\pagebreak
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\end{exercise}
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\section{Neuronale Kodierung}
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In sensorischen Systemen kodieren Populationen von Neuronen mit ihrer
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Aktivit\"at Eigenschaften von sensorischen Stimuli. z.B. im visuellen
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Kortex V1 die Orientierung eines Balkens. Traditionell wird die
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Antwort der Neurone f\"ur verschiedene Stimuli (z.B. verschiedene
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Orientierungen des Balkens) gemessen. Die mittlere Antwort der Neurone
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als Funktion eines Stimulusparameters ist dann die
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\enterm{Tuning-curve} (deutsch \determ{Abstimmkurve}, z.B. Feuerrate
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als Funktion des Orientierungswinkels).
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\begin{figure}[tp]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{mlecoding}
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\titlecaption{\label{mlecodingfig} Maximum Likelihood Sch\"atzung
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eines Stimulusparameters aus neuronaler Aktivit\"at.}{Oben:
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Die Tuning-Kurve eines einzelnen Neurons in Abh\"angigkeit von der
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Orientierung eines Balkens. Der Stimulus der die st\"akste
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Aktivit\"at in diesem Neuron hervorruft ist ein senkrechter Balken
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(Pfeil, $\phi_i=90$\,\degree. Die rote Fl\"ache deutet die
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Variabilit\"at $p(r)$ der Aktivit\"at $r$ um die Tuning-Kurve
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herum an. Mitte: Jedes Neuron in der Population hat eine andere
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bevorzugte Orientierung des Stimulus (farbige Linien). Ein
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Stimulus einer bestimmten Orientierung aktiviert die Neurone in
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spezifischer Weise (Punkte). Unten: Die Log-Likelihood dieser
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Aktivit\"aten wird in der N\"ahe der wahren Orientierung
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des Stimulus maximiert.}
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\end{figure}
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Das Gehirn ist aber mit dem umgekehrten Problem konfrontiert: gegeben
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eine bestimmte Aktivit\"at der Neurone in der Population, was war der
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Stimulus (die Orientierung des Balkens)? Eine m\"ogliche Antwort ist
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im Sinne von Maximum-Likelihood: es war der Stimulus f\"ur den das
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Aktivit\"atsmuster am wahrscheinlichsten ist.
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Bleiben wir mit einem Beispiel bei den orientierungssensitiven Zellen
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des V1. Das Tuning $\Omega_i(\phi)$ der Zellen $i$ auf ihre bevorzugte
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Orientierung $\phi_i$ l\"asst sich gut mit einer van-Mises Funktion
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(entspricht der Gaussfunktion auf einer zyklischen x-Achse)
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beschreiben (\figref{mlecodingfig}):
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\[ \Omega_i(\phi) = c \cdot e^{\cos(2(\phi-\phi_i))} \quad , \quad c
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\in \reZ \]
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Die Aktivit\"at der Neurone approximieren wir hier mit einer
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Normalverteilung um die Tuning-Kurve mit Standardabweichung
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$\sigma=\Omega/4$ proportional zu $\Omega$, so dass die
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Wahrscheinlichkeit $p_i(r|\phi)$ des $i$-ten Neurons die Aktivit\"at $r$ zu
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haben, wenn ein Stimulus mit Orientierung $\phi$ anliegt, gegeben ist durch
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\[ p_i(r|\phi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\Omega_i(\phi)/4} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{r-\Omega_i(\phi)}{\Omega_i(\phi)/4}\right)^2} \; . \]
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Die Log-Likelihood der Stimulusorientierung $\phi$ gegeben die
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Aktivit\"aten $r_1$, $r_2$, ... $r_n$ ist damit
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\[ {\cal L}(\phi|r_1, r_2, \ldots r_n) = \sum_{i=1}^n \log p_i(r_i|\phi) \]
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\selectlanguage{english}
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