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TeX
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\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage{pslatex}
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\usepackage[mediumspace,mediumqspace,Gray]{SIunits} % \ohm, \micro
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref}
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%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
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\pagestyle{headandfoot}
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\ifprintanswers
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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
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\else
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\newcommand{\stitle}{}
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\fi
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\header{{\bfseries\large Exercise 7\stitle}}{{\bfseries\large Statistics}}{{\bfseries\large 21. November, 2017}}
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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
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jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\runningfooter{}{\thepage}{}
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\setlength{\baselineskip}{15pt}
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\setlength{\parindent}{0.0cm}
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\setlength{\parskip}{0.3cm}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
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%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{listings}
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\lstset{
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language=Matlab,
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basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
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numbers=left,
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numberstyle=\tiny,
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title=\lstname,
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commentstyle=\itshape\color{darkgray},
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columns=flexible,
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frame=single,
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xleftmargin=1em,
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xrightmargin=1em,
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aboveskip=10pt
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}
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%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{bm}
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\usepackage{dsfont}
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\newcommand{\naZ}{\mathds{N}}
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\newcommand{\gaZ}{\mathds{Z}}
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\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}}
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\newcommand{\reZ}{\mathds{R}}
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\newcommand{\reZp}{\mathds{R^+}}
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\newcommand{\reZpN}{\mathds{R^+_0}}
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\newcommand{\koZ}{\mathds{C}}
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%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
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|
\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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|
\fi}
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\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
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\newpage
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|
\else
|
|
\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
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|
\newpage%
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|
\else
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\fi}
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%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
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\graphicspath{{../../pointprocesses/exercises/}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\input{instructions}
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\begin{questions}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung}
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Mit den folgenden Aufgaben wollen wir bestimmen, welcher Anteil eines
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normalverteilten Datensatzes in bestimmten Grenzen symmetrisch um den
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Mittelwert enthalten ist.
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\begin{parts}
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\part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
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$n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
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|
Standardabweichung $\sigma=1$ (\code{randn() Funktion}).
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\part Bestimme und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser
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Zufallszahlen (normiertes Histogramm) und plotte zum Vergleich in
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den gleichen Plot die Normalverteilung
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\[ p_g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
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\part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten $X$ sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
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D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
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Wie gro{\ss} ist dann also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
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Wert in diesem Interval zu erhalten?
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\part \label{probintegral} Berechne numerisch diese
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Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral
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\[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \]
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\"uber die Normalverteilung.
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\"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich
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\[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
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Warum muss das so sein?
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\part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm 2\sigma$
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sowie $\pm 3\sigma$ enthalten?
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Vergleiche die Ergebnisse jeweils mit dem entsprechenden Integral
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\"uber die Wahrscheinlichkeitsdichte.
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\part \label{givenfraction} Finde durch numerische Integration der
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Wahrscheinlichkeitsdichte heraus, in welchem Interval symmetrisch um
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den Mittelwert 50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten
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sind.
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% \part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
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% -- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
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% beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
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|
% Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
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|
% Wie bekommt man mit \code{randn()} Zufallszahlen mit beliebiger
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|
% Standardabweichung und Mittelwerten?
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\end{parts}
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|
\begin{solution}
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\lstinputlisting{normprobs.m}
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|
\end{solution}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\question \qt{Zentraler Grenzwertsatz}
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|
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabh\"angigen
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und identisch verteilten (i.i.d. = independent and identically
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distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert.
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Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
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\begin{parts}
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\part Bevor du die weiteren Teilaufgaben liest, versuche dir klar zu
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machen, was der Zentrale Grenzwertsatz bedeutet, und wie du vorgehen
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k\"onntest ein Programm zu schreiben, das den Grenzwertsatz
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illustriert.
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\part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen
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(Funktion \code{rand}).
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\part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram).
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\part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und
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addiere diese zu den bereits vorhandenen auf.
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\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten
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Zufallszahlen.
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\part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male.
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\part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der
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aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion
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\[ p_g(x) =
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\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
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|
mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der
|
|
aufsummierten Zufallszahlen.
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\part Wie \"andert sich der Mittelwert und die
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|
Standardabweichung/Varianz
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der aufsummierten Zufallszahlen?
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Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung
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|
zusammen?
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\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit
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|
exponentiell verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
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\end{parts}
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\begin{solution}
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\lstinputlisting{centrallimit.m}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist01}
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist02}
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|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist03}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist05}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-samples}
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|
\end{solution}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\question \qt{Intervallstatistik von Spiketrains}
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In Ilias findet ihr die Dateien \code{poisson.mat},
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\code{pifou.mat}, und \code{lifadapt.mat}. Jede dieser Dateien
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enth\"alt mehrere Trials von Spiketrains von einer bestimmten Art
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von Neuron. Die Spikezeiten sind in Sekunden gemessen.
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Mit den folgenden Aufgaben wollen wir die Intervallstatistik der
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|
Spiketrains der drei Neurone miteinander vergleichen.
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\begin{parts}
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\part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Achte darauf,
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|
dass sie verschiedene Variablen\-namen bekommen.
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|
In welchem Datentyp liegen die Daten vor? Wie kann auf einzelne
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|
Spiketrains zugegriffen werden? Wie auf einzelne Spikezeiten?
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\begin{solution}
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\begin{lstlisting}
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clear all
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% not so good:
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load poisson.mat
|
|
whos
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poissonspikes = spikes;
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load pifou.mat;
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|
pifouspikes = spikes;
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load lifadapt.mat;
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|
lifadaptspikes = spikes;
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clear spikes;
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|
% better:
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|
clear all
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x = load('poisson.mat');
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|
poissonspikes = x.spikes;
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|
x = load('pifou.mat');
|
|
pifouspikes = x.spikes;
|
|
x = load('lifadapt.mat');
|
|
lifadaptspikes = x.spikes;
|
|
\end{lstlisting}
|
|
\end{solution}
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|
\part Schreibe eine Funktion, die die Spikezeiten der ersten
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|
$t_{max}$ Sekunden in einem Rasterplot visualisiert. In jeder
|
|
Zeile des Rasterplots wird ein Spiketrain dargestellt. Jeder
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|
einzelne Spike wird als senkrechte Linie zu der Zeit des
|
|
Auftretens des Spikes geplottet. Benutze die Funktion, um die
|
|
Spikeraster der ersten 1\,s der drei Neurone nebeneinander zu plotten.
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\begin{solution}
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|
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/spikeraster.m}
|
|
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotspikeraster.m}
|
|
\mbox{}\\[-3ex]
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|
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{spikeraster}}
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|
\end{solution}
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|
|
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzigen Vektor mit den
|
|
Interspikeintervallen aller Trials von Spikezeiten zur\"uckgibt.
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|
\begin{solution}
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|
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isis.m}
|
|
\end{solution}
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|
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|
\part Schreibe eine Funktion, die ein normiertes Histogramm aus
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|
einem Vektor von Interspikeintervallen, gegeben in Sekunden,
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|
berechnet und dieses mit richtiger Achsenbeschriftung plottet.
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Die Interspikeintervalle sollen dabei in Millisekunden angegeben
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werden. Die Funktion soll zus\"atzlich den Mittelwert, die
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Standardabweichung, und den Variationskoeffizienten der
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Interspikeintervalle berechnen und diese im Plot mit angeben.
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|
|
Benutze die vorherige und diese Funktion, um die
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|
Interspikeintervall Verteilung der drei Neurone zu vergleichen.
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\begin{solution}
|
|
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/isihist.m}
|
|
\lstinputlisting{../../pointprocesses/code/plotisih.m}
|
|
\mbox{}\\[-3ex]
|
|
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{isihist}}
|
|
\end{solution}
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\end{questions}
|
|
|
|
\end{document}
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