182 lines
6.6 KiB
TeX
182 lines
6.6 KiB
TeX
\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
|
|
|
|
\usepackage[german]{babel}
|
|
\usepackage{pslatex}
|
|
\usepackage[mediumspace,mediumqspace,Gray]{SIunits} % \ohm, \micro
|
|
\usepackage{xcolor}
|
|
\usepackage{graphicx}
|
|
\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref}
|
|
|
|
%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
|
|
\pagestyle{headandfoot}
|
|
\ifprintanswers
|
|
\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
|
|
\else
|
|
\newcommand{\stitle}{}
|
|
\fi
|
|
\header{{\bfseries\large \"Ubung 2\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 20. Oktober, 2015}}
|
|
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
|
|
jan.benda@uni-tuebingen.de}
|
|
\runningfooter{}{\thepage}{}
|
|
|
|
\setlength{\baselineskip}{15pt}
|
|
\setlength{\parindent}{0.0cm}
|
|
\setlength{\parskip}{0.3cm}
|
|
\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
|
|
|
|
%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\usepackage{listings}
|
|
\lstset{
|
|
language=Matlab,
|
|
basicstyle=\ttfamily\footnotesize,
|
|
numbers=left,
|
|
numberstyle=\tiny,
|
|
title=\lstname,
|
|
showstringspaces=false,
|
|
commentstyle=\itshape\color{darkgray},
|
|
breaklines=true,
|
|
breakautoindent=true,
|
|
columns=flexible,
|
|
frame=single,
|
|
xleftmargin=1em,
|
|
xrightmargin=1em,
|
|
aboveskip=10pt
|
|
}
|
|
|
|
%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\usepackage{amsmath}
|
|
\usepackage{amssymb}
|
|
\usepackage{bm}
|
|
\usepackage{dsfont}
|
|
\newcommand{\naZ}{\mathds{N}}
|
|
\newcommand{\gaZ}{\mathds{Z}}
|
|
\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}}
|
|
\newcommand{\reZ}{\mathds{R}}
|
|
\newcommand{\reZp}{\mathds{R^+}}
|
|
\newcommand{\reZpN}{\mathds{R^+_0}}
|
|
\newcommand{\koZ}{\mathds{C}}
|
|
|
|
%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
|
|
\else
|
|
\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
|
|
\fi}
|
|
\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
|
|
\newpage
|
|
\else
|
|
\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
|
|
\fi}
|
|
\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
|
|
\newpage%
|
|
\else
|
|
\fi}
|
|
|
|
%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
|
|
\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
|
|
\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
|
|
\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
|
|
|
|
|
|
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\input{instructions}
|
|
|
|
|
|
\begin{questions}
|
|
|
|
\question \qt{Zentraler Grenzwertsatz}
|
|
Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabh\"angigen
|
|
und identisch verteilten (i.i.d. = independent and identically
|
|
distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert.
|
|
|
|
Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Versuche dir klar zu machen, was der Zentrale Grenzwertsatz
|
|
bedeutet, und wie du vorgehen k\"onntest ein Programm zu
|
|
schreiben, das den Grenzwertsatz illustriert.
|
|
\part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen
|
|
(Funktion \code{rand}).
|
|
\part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram).
|
|
\part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und
|
|
addiere diese zu den bereits vorhandenen auf.
|
|
\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten
|
|
Zufallszahlen.
|
|
\part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male.
|
|
\part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der
|
|
aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion
|
|
\[ p_g(x) =
|
|
\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
|
|
mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der
|
|
aufsummierten Zufallszahlen.
|
|
\part Wie \"andert sich der Mittelwert und die
|
|
Standardabweichung/Varianz
|
|
der aufsummierten Zufallszahlen?\\
|
|
Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung
|
|
zusammen?
|
|
\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit exponentiell
|
|
verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
|
|
\end{parts}
|
|
\begin{solution}
|
|
\lstinputlisting{centrallimit.m}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist01}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist02}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist03}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-hist05}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{centrallimit-samples}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
|
|
\question \qt{Random Walk}
|
|
Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
|
|
Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
|
|
einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.
|
|
\part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
|
|
f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).\\
|
|
Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die Standardabweichung
|
|
des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich entwickelt.
|
|
\part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
|
|
Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
|
|
jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
|
|
\"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.\\
|
|
Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
|
|
ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
|
|
gro{\ss}e Anzahl von Schritten?
|
|
\part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position eines Random Walkers
|
|
zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
|
|
\end{parts}
|
|
\begin{solution}
|
|
\lstinputlisting{randomwalk.m}
|
|
\lstinputlisting{randomwalkstatistics.m}
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{randomwalk-traces}\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-stdev}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-hists}
|
|
\end{solution}
|
|
|
|
|
|
\question \qt{\extra 2D Random Walk}
|
|
Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt
|
|
(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
|
|
In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
|
|
Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
|
|
rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
|
|
sind unabh\"angig voneinander.
|
|
\begin{parts}
|
|
\part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
|
|
eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
|
|
simuliert werden?
|
|
\part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
|
|
Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
|
|
\part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
|
|
\part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
|
|
sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
|
|
mit einem Farbcode plotten.
|
|
\end{parts}
|
|
|
|
\end{questions}
|
|
|
|
\end{document} |