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scientificComputing/pointprocesses/exercises/pointprocesses-2.tex

127 lines
5.1 KiB
TeX

\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
\newcommand{\exercisetopic}{Point Processes}
\newcommand{\exercisenum}{X2}
\newcommand{\exercisedate}{January 19th, 2021}
\input{../../exercisesheader}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{}{jan.benda@uni-tuebingen.de}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\input{../../exercisestitle}
\begin{questions}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Homogener Poisson Prozess}
Wir wollen den homogenen Poisson Prozess benutzen um Spikes zu generieren,
mit denen wir die Analysfunktionen des vorherigen \"Ubungszettel \"uberpr\"ufen k\"onnen.
Ein homogener Poisson Prozess mit der Rate $\lambda$ (gemessen in Hertz) ist ein Punktprozess,
bei dem die Wahrschienlichkeit eines Ereignisses unabh\"angig von der Zeit $t$ und
unabh\"angig von vorherigen Ereignissen ist.
Die Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ereignisses innerhalb eines Bins der Breite $\Delta t$ ist
\[ P = \lambda \cdot \Delta t \]
f\"ur gen\"ugend kleine $\Delta t$.
\begin{parts}
\part Schreibe eine Funktion die $n$ homogene Poisson Spiketrains
einer gegebenen Dauer $T_{max}$ mit Rate $\lambda$ erzeugt.
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonspikes.m}
\end{solution}
\part Benutze diese Funktion um einige Trials von Spikes zu erzeugen
und plotte diese als Spikeraster.
\begin{solution}
\begin{lstlisting}
spikes = hompoissonspikes( 10, 100.0, 0.5 );
spikeraster( spikes )
\end{lstlisting}
\mbox{}\\[-3ex]
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{poissonraster100hz}}
\end{solution}
\part Berechne Histogramme aus den Interspikeintervallen von $n$
Poisson Spiketrains mit der Rate $\lambda=100$\,Hz. Ver\"andere
\"uber die Dauer $T_{max}$ der Spiketrains und die Anzahl $n$ der
Trials die Anzahl der Intervalle und ver\"andere auch die Binbreite
des Histograms (fang mit 1\,ms an). Wieviele Interspikeintervalle
werden ben\"otigt, um ein ``sch\"ones'' Histogramm zu erhalten? Wie
lange m\"usste man also von dem Neuron ableiten?
\begin{solution}
About 5000 intervals for 25 bins. This corresponds to a $5000 /
100\,\hertz = 50\,\second$ recording of a neuron firing with
100\,\hertz.
\end{solution}
\part Vergleiche Interspike-Intervall Histogramme von Poisson-Spikes
verschiedener Raten $\lambda$ mit der theoretisch zu erwartenden Verteilung
der Intervalle $T$ des Poisson Prozesses
\[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .\]
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonisih.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih100hz}}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih20hz}}
\end{solution}
\part \extra Was pasiert mit den Histogrammen, wenn die Binbreite
der Histogramme kleiner als das bei der Erzeugung der Poisson
Spiketrains verwendete $\Delta t$ ist?
\begin{solution}
Die Bins zwischen der durch $\Delta t$ vorgegebenen
Diskretisierung haben den Wert 0. Dadurch werden aber die anderen
durch die Normierung h\"oher als sie sein sollten.
\end{solution}
\part Plotte den Mittelwert der Interspikeintervalle, die
dazugeh\"orige Standardabweichung und den Variationskoeffizienten
als Funktion der Rate $\lambda$ des Poisson Prozesses. Vergleiche
die Ergebnisse mit den theoretischen Erwartungen (siehe Vorlesungsskript).
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonisistats.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{poissonisistats}}
\end{solution}
\part Plotte die seriellen Korrelationen von Poisson-Spiketrains und
erkl\"are kurz das Ergebniss.
\begin{solution}
\mbox{}\\[-2ex]\hspace*{2cm}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{poissonserial100hz}}\\
Alle Korrelationen zwischen Interspikeintervallen sind Null, da
beim Poisson Prozess das Auftreten jedes Spikes unabh\"angig von
den vorherigen Spikes ist.
\end{solution}
\part Vergleiche Histogramme von Spikecounts gez\"ahlt in Fenstern
der Breite $W$ mit der Poisson Verteilung
\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \; , \]
wobei die Rate $\lambda$ aus den Daten bestimmt werden
soll. Hinweis: es gibt eine \code{matlab} Funktion, die die
Fakult\"at $n!$ berechnet.
\begin{solution}
%\lstinputlisting{counthist.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms}}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die die mittlere Anzahl, die Varianz
und den Fano-Faktor der Anzahl der Spikes in einem Fenster der
Breite $W$ bestimmt. Benutze die Funktion, um diese Parameter f\"ur
verschiedene Fensterbreiten $W$ zu bestimmen. Zwei Plots sollen aus
den Ergebnissen angefertigt werden: (i) Varianz gegen Mittelwert der counts.
(ii) Fano Faktor als Funktion der Fensterbreite.
\begin{solution}
\lstinputlisting{fanoplot.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{poissonfano100hz}}
\end{solution}
\end{parts}
\end{questions}
\end{document}