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TeX
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\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage{natbib}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[small]{caption}
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\usepackage{sidecap}
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\usepackage{pslatex}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\setlength{\marginparwidth}{2cm}
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\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref}
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%%%%% text size %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
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\pagestyle{headandfoot}
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\header{{\bfseries\large \"Ubung 2}}{{\bfseries\large Deskriptive Statistik}}{{\bfseries\large 19. Oktober, 2015}}
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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
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jan.grewe@uni-tuebingen.de}
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\runningfooter{}{\thepage}{}
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\setlength{\baselineskip}{15pt}
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\setlength{\parindent}{0.0cm}
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\setlength{\parskip}{0.3cm}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
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\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
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\newpage
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
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\newpage%
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\else
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\fi}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\vspace*{-6.5ex}
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\begin{center}
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\textbf{\Large Einf\"uhrung in die wissenschaftliche Datenverarbeitung}\\[1ex]
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{\large Jan Grewe, Jan Benda}\\[-3ex]
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Abteilung Neuroethologie \hfill --- \hfill Institut f\"ur Neurobiologie \hfill --- \hfill \includegraphics[width=0.28\textwidth]{UT_WBMW_Black_RGB} \\
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\end{center}
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% Die folgenden Aufgaben dienen der Wiederholung, \"Ubung und
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% Selbstkontrolle und sollten eigenst\"andig bearbeitet und gel\"ost
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% werden. Die L\"osung soll in Form eines einzelnen Skriptes (m-files)
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% im ILIAS hochgeladen werden. Jede Aufgabe sollte in einer eigenen
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% ``Zelle'' gel\"ost sein. Die Zellen \textbf{m\"ussen} unabh\"angig
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% voneinander ausf\"uhrbar sein. Das Skript sollte nach dem Muster:
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% ``variablen\_datentypen\_\{nachname\}.m'' benannt werden
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% (z.B. variablen\_datentypen\_mueller.m).
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\begin{itemize}
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\item \"Uberzeuge dich von jeder einzelnen Zeile deines Codes, dass sie
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auch wirklich das macht, was sie machen soll! Teste dies mit kleinen
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Beispielen direkt in der Kommandozeile.
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\item Versuche die L\"osungen der folgenden Aufgaben m\"oglichst in
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sinnvolle kleine Funktionen herunterzubrechen.
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\item Sobald etwas \"ahnliches mehr als einmal berechnet werden soll,
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lohnt es sich eine Funktion daraus zu schreiben!
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\item Teste rechenintensive \code{for} Schleifen zuerst mit einer kleinen
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Anzahl von Wiederholungen, und benutze erst am Ende, wenn alles
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stimmt, eine gro{\ss}e Anzahl von Wiederholungen, um eine gute
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Statistik zu bekommen.
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\item Benutze die Hilfsfunktion von matlab und das Internet, um
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herauszufinden wie bestimmte \code{matlab} Funktionen zu verwenden
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sind und was f\"ur M\"oglichkeiten sie bieten.
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\item Auch zu inhaltlichen Konzepten bietet das Internet oft viele Antworten!
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\end{itemize}
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\begin{questions}
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\question \qt{Zentraler Grenzwertsatz}
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Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe von unabh\"angigen
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und identisch verteilten (i.i.d. = independent and identically
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distributed) Zufallsvariablen gegen die Normalverteilung konvergiert.
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Den Zentralen Grenzwertsatz wollen wir uns im Folgenden veranschaulichen.
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\begin{parts}
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\part Versuche dir klar zu machen, was der Zentrale Grenzwertsatz
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bedeutet, und wie du vorgehen k\"onntest ein Programm zu
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schreiben, das den Grenzwertsatz illustriert.
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\part Erzeuge 10000 zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen
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(Funktion \code{rand}).
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\part Plotte deren Wahrscheinlichkeitsdichte (normiertes Histogram).
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\part Erzeuge weitere 10000 gleichverteilte Zufallszahlen und
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addiere diese zu den bereits vorhandenen auf.
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\part Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der aufsummierten
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Zufallszahlen.
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\part Wiederhole Schritt (d) und (e) viele Male.
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\part Vergleiche in einer Grafik die Wahrscheinlichkeitsdichte der
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aufsummierten Zufallszahlen mit der Gaussfunktion
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\[ p_g(x) =
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\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]
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mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ der
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aufsummierten Zufallszahlen.
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\part Wie \"andert sich der Mittelwert und die
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Standardabweichung/Varianz
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der aufsummierten Zufallszahlen?\\
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Wie h\"angen diese mit den Werten der urspr\"unglichen Verteilung
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zusammen?
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\part \extra \"Uberpr\"ufe den Grenzwertsatz in gleicher Weise mit exponentiell
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verteilten Zufallszahlen (Funktion \code{rande}).
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\end{parts}
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\question \qt{Random Walk}
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Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen.
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\begin{parts}
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\part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit
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Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur
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einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt.
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\part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot
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f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots).\\
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Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die Standardabweichung
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des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich entwickelt.
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\part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur
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Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur
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jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung
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\"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest.\\
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Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte
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ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr
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gro{\ss}e Anzahl von Schritten?
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\part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position eines Random Walkers
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zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt.
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\end{parts}
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\question \qt{\extra 2D Random Walk}
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Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt
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(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\
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In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere
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Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder
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rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts
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sind unabh\"angig voneinander.
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\begin{parts}
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\part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den
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eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk
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simuliert werden?
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\part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random
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Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren.
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\part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl.
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\part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man
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sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und
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mit einem Farbcode plotten.
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document} |