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TeX
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\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage{natbib}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[small]{caption}
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\usepackage{sidecap}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\setlength{\marginparwidth}{2cm}
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\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref}
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%%%%% text size %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
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\pagestyle{headandfoot}
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\header{{\bfseries\large \"Ubung 1}}{{\bfseries\large Deskriptive Statistik}}{{\bfseries\large 19. Oktober, 2015}}
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\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
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jan.grewe@uni-tuebingen.de}
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\runningfooter{}{\thepage}{}
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\setlength{\baselineskip}{15pt}
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\setlength{\parindent}{0.0cm}
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\setlength{\parskip}{0.3cm}
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\renewcommand{\baselinestretch}{1.15}
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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
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\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
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\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
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\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}
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\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
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\newpage
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\else
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\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
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\fi}
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\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
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\newpage%
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\else
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\fi}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}
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\vspace*{-6.5ex}
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\begin{center}
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\textbf{\Large Einf\"uhrung in die wissenschaftliche Datenverarbeitung}\\[1ex]
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{\large Jan Grewe, Jan Benda}\\[-3ex]
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Abteilung Neuroethologie \hfill --- \hfill Institut f\"ur Neurobiologie \hfill --- \hfill \includegraphics[width=0.28\textwidth]{UT_WBMW_Black_RGB} \\
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\end{center}
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% Die folgenden Aufgaben dienen der Wiederholung, \"Ubung und
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% Selbstkontrolle und sollten eigenst\"andig bearbeitet und gel\"ost
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% werden. Die L\"osung soll in Form eines einzelnen Skriptes (m-files)
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% im ILIAS hochgeladen werden. Jede Aufgabe sollte in einer eigenen
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% ``Zelle'' gel\"ost sein. Die Zellen \textbf{m\"ussen} unabh\"angig
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% voneinander ausf\"uhrbar sein. Das Skript sollte nach dem Muster:
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% ``variablen\_datentypen\_\{nachname\}.m'' benannt werden
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% (z.B. variablen\_datentypen\_mueller.m).
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\begin{itemize}
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\item \"Uberzeuge dich von jeder einzelnen Zeile deines Codes, dass sie
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auch wirklich das macht, was sie machen soll! Teste dies mit kleinen
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Beispielen direkt in der Kommandozeile.
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\item Versuche die L\"osungen der folgenden Aufgaben m\"oglichst in
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sinnvolle kleine Funktionen herunterzubrechen.
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\item Sobald etwas \"ahnliches mehr als einmal berechnet werden soll,
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lohnt es sich eine Funktion daraus zu schreiben!
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\item Teste rechenintensive \code{for} Schleifen zuerst mit einer kleinen
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Anzahl von Wiederholungen, und benutze erst am Ende, wenn alles
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stimmt, eine gro{\ss}e Anzahl von Wiederholungen, um eine gute
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Statistik zu bekommen.
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\item Benutze die Hilfsfunktion von matlab und das Internet, um
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herauszufinden wie bestimmte \code{matlab} Funktionen zu verwenden
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sind und was f\"ur M\"oglichkeiten sie bieten.
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\item Auch zu inhaltlichen Konzepten bietet das Internet oft viele Antworten!
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\end{itemize}
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\begin{questions}
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten eines W\"urfels I}
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Der Computer kann auch als W\"urfel verwendet werden!
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\begin{parts}
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\part Simuliere 10000 W\"urfe mit dem W\"urfel durch Erzeugung von
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ganzzahligen Zufallszahlen mit den Augenzahlen $x_i = 1, 2, \ldots 6$ .
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\part Berechne die Wahrscheinlichkeit $P(3)$
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des Auftretens der Augenzahl drei durch Bestimmung der Anzahl der Dreien im Datensatz.\\
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Entspricht das Ergebnis deiner Erwartung?\\
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\"Uberpr\"ufe auch die Wahrscheinlichkeit $P(x_i)$ der anderen Zahlen.\\
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Ist das ein fairer W\"urfel?
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\part Speicher die berechneten Wahrscheinlichkeiten $P(x_i)$ f\"ur das Auftreten der
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gew\"urfelten Zahlen in einem Vektor und benutze die \code{bar} Funktion,
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um diese Wahrscheinlichkeiten als Funktion der Augenzahl zu plotten.
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\part Erstelle in einem weiterem Plot ein entsprechendes normiertes Histogramm
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mit der \code{hist} Funktion.
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\part \extra Wie k\"onnte man einen gezinkten W\"urfel simulieren, bei dem die sechs
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dreimal so h\"aufig wie die anderen Zahlen gew\"urfelt wird?\\
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Fertige von diesem W\"urfel ein Histogram aus 10000 W\"urfen an.
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\end{parts}
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\continue
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten eines W\"urfels II}
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Wir werten nun das Verhalten mehrerer W\"urfel aus.
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\begin{parts}
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\part Simuliere 20 W\"urfel, von denen jeder 100 mal geworfen wird
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(jeder W\"urfel wird mit dem gleichen Zufallsgenerator simuliert).
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\part Berechne aus diesem Datensatz f\"ur jeden W\"urfel ein normiertes Histogramm.
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\part Bestimme den Mittelwert und die Standardabweichung f\"ur jede
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Augenzahl gemittelt \"uber die W\"urfel.
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\part Stelle das Ergebnis mit einem S\"aulenplot mit Fehlerbalken dar
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(\code{bar} mit \code{errorbar} Funktionen).
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\end{parts}
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\question \qt{Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung}
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Mit den folgenden Aufgaben wollen wir bestimmen, welcher Anteil eines
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normalverteilten Datensatzes in bestimmten Grenzen symmetrisch um den
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Mittelwert enthalten ist.
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\begin{parts}
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\part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
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$n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
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Standardabweichung $\sigma=1$.
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\part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
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D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
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Wie gro{\ss} ist also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
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Wert in diesem Interval zu erhalten?
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\part \label{probintegral} Berechne numerisch diese
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Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral
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\[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \]
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\"uber die Normalverteilung
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\[ p_g(x) =
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\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
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\"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich
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\[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
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Warum muss das so sein?
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\part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm2\sigma$ sowie $\pm3\sigma$
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enthalten?
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\part \label{givenfraction} Finde heraus in welchem Interval symmetrisch um den Mittelwert
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50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten sind.
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\part Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit eine Zahl in einem bestimmten Interval
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zu ziehen, wenn dieses Intervall immer kleiner wird?\\
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Schreibe ein Programm, das dies illustriert.\\
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Wie gro{\ss} ist die Wahrscheinlichkeit $P(x_i=0.1234)$?
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\part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
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-- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
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beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
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Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
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Wie bekommt man mit \code{randn} Zufallszahlen mit beliebiger
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Standardabweichung und Mittelwerten?
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\end{parts}
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\end{questions}
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\end{document} |