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\chapter{\tr{Programming basics}{Programmierung in \matlab}}
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\section{Variablen und Datentypen}
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\subsection{Variablen}
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Eine Variable ist ein Zeiger auf eine Stelle im Speicher. Dieser
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Zeiger hat einen Namen, den Variablennamen, und einen Datentyp
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(Abbildung \ref{variablefig}). Im Speicher wird der Wert der Variablen
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bin\"ar gespeichert. Wird auf den Wert der Variable zugegriffen, wird
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dieses Bitmuster je nach Datentyp interpretiert. Das Beispiel in
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Abbildung \ref{variablefig} zeigt, dass das gleiche Bitmuster im einen
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Fall als 8-Bit Integer Datentyp zur Zahl 38 interpretiert wird und im
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anderen Fall als Character zum kaufm\"annischen ``und'' ausgewertet
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wird. In \matlab{} sind Datentypen nicht von sehr zentraler
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Bedeutung. Wir werden uns dennoch sp\"ater etwas genauer mit ihnen
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befassen.
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{subfigure}{.5\textwidth}
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\includegraphics[width=0.8\textwidth]{variable}
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\label{variable:a}
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\end{subfigure}%
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\begin{subfigure}{.5\textwidth}
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\includegraphics[width=.8\textwidth]{variableB}
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\label{variable:b}
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\end{subfigure}
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\titlecaption{Variablen.}{Variablen sind Zeiger auf eine Adresse
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im Speicher, die einen Namen und einen Datentypen beinhalten. Im
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Speicher ist der Wert der Variable bin\"ar gespeichert. Abh\"angig
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vom Datentyp wird dieses Bitmuster unterschiedlich
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interpretiert.}\label{variablefig}
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\end{figure}
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\subsection{Erzeugen von Variablen}
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In \matlab{} kann eine Variable auf der Kommandozeile, in einem Skript
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oder einer Funktion an beliebiger Stelle erzeugt werden. Listing
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\ref{varListing1} zeigt zwei M\"oglichkeiten dies zu tun:
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\begin{lstlisting}[label=varListing1, caption={Erzeugen von Variablen.}]
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>> y = []
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y =
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[]
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>>
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>> x = 38
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x =
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38
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\end{lstlisting}
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Die Zeile 1 kann etwa so gelesen werden:''Erzeuge eine Variable mit
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dem Namen y und weise ihr einen leeren Wert zu''. Das
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Gleichheitszeichen ist der sogenannte
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\codeterm{Zuweisungsoperator}. Zeile 5 definiert eine Variable x, der
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nun der Zahlenwert 38 zugewiesen wird. Da \matlab{}, wenn nicht anders
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angegeben, immer den ``double'' Datentypen benutzt, haben beide
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Variablen diesen Datentyp.
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\begin{lstlisting}[label=varListing2, caption={Erfragen des Datentyps einer Variable, Listen aller definierten Variablen.}]
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>>disp(class(x))
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double
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>>
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>> who % oder whos um mehr Information zu bekommen
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\end{lstlisting}
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\begin{important}[Namen von Variablen]
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Bei der Namensgebung ist zu beachten, dass \matlab{} auf Gro{\ss}-
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und Kleinschreibung achtet und ein Variablennane mit einem
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alphabetischen Zeichen beginnen muss. Des Weiteren sind Umlaute,
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Sonder- und Leerzeichen in Variablennamen nicht erlaubt.
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\end{important}
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\subsection{Arbeiten mit Variablen}
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Nat\"urlich kann mit den Variablen auch gearbeitet, bzw. gerechnet
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werden. \matlab{} kennt alle normalen
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\codeterm[Operator!arithmetischer]{arithmetischen Operatoren} wie
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\code[Operator!arithmetischer!1add@+]{+},
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\code[Operator!arithmetischer!2sub@-]{-},
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\code[Operator!arithmetischer!3mul@*]{*} und
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\code[Operator!arithmetischer!4div@/]{/}. Die Potenz wird \"uber das
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Dachsymbol \code[Operator!arithmetischer!5pow@\^{}]{\^{}}
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dargestellt. Listing \ref{varListing3} zeigt, wie sie benutzt werden.
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\begin{lstlisting}[label=varListing3, caption={Rechnen mit Variablen.}]
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>> x = 1;
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>> x + 10
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ans =
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11
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>>
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>> x % x wurde nicht veraendert
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ans =
|
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1
|
|
>>
|
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>> y = 2;
|
|
>>
|
|
>> x + y
|
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ans =
|
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3
|
|
>>
|
|
>> z = x + y
|
|
z =
|
|
3
|
|
>>
|
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>> z = z * 5;
|
|
>> z
|
|
z =
|
|
15
|
|
>>
|
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>> clear z
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\end{lstlisting}
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Beachtenswert ist z.B. in Zeilen 3 und 6, dass mit dem Inhalt einer
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Variablen gerechnet werden kann, ohne dass dadurch ihr Wert
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ver\"andert wird. Wenn der Wert einer Variablen ver\"andert werden
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soll, dann muss der Variable der neue Wert explizit zugewiesen werden
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(mit dem \code[Operator!Zuweisung!=]{=} Zuweisungsoperator,
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z.B. Zeilen 16, 20). Zeile 25 zeigt wie eine einzelne Variable
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gel\"oscht wird.
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\subsection{Datentypen}
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Der Datentyp bestimmt, wie die im Speicher abgelegten Bitmuster
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interpretiert werden. Die wichtigsten Datentpyen sind:
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\begin{itemize}
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\item \codeterm{integer} - Ganze Zahlen. Hier gibt es mehrere
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Unterarten, die wir in \matlab{} (meist) ignorieren k\"onnen.
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\item \codeterm{double} - Flie{\ss}kommazahlen. Im Gegensatz zu den reelen Zahlen, die durch diesen Datentyp dargestellt werden, sind sie abz\"ahlbar.
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\item \codeterm{complex} - Komplexe Zahlen.
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\item \codeterm{logical} - Boolesche Werte, die als wahr
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(\code{true}) oder falsch (\code{false}) interpretiert werden.
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\item \codeterm{char} - ASCII Zeichen
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\end{itemize}
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Unter den numerischen Datentypen gibt es verschiedene Arten mit
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unterschiedlichem Speicherbedarf und Wertebreich.
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\begin{table}[!h]
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\centering
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\titlecaption{Grundlegende numerische Datentypen und ihr Wertebereich.}{}
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\label{dtypestab}
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\begin{tabular}{llcl}\hline
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Datentyp & Speicherbedarf & Wertebereich & Beispiel \erh \\ \hline
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double & 64 bit & $\approx -10^{308}$ bis $\approx 10^{308} $& Flie{\ss}kommazahlen.\erb\\
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int & 64 bit & $-2^{31}$ bis $2^{31}-1$ & Ganzzahlige Werte \\
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int16 & 16 bit & $-2^{15}$ bis $2^{15}-1$ & Digitalisierte Spannungen. \\
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uint8 & 8 bit & $0$ bis $255$ & Digitalisierte Imaging Daten. \\ \hline
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\end{tabular}
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\end{table}
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\matlab{} arbeitet meist mit dem ``double'' Datentyp wenn numerische
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Daten gespeichert werden. Dennoch lohnt es sich, sich ein wenig mit
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den Datentypen auseinanderzusetzen (Box \ref{daqbox}).
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\begin{ibox}[t]{\label{daqbox}Digitalisierung von Messdaten}
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Szenario: Die elektrische Aktivit\"at (z.B. die Membranspannung)
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einer Nervenzelle wird gemessen. Die gemessene Spannung wird mittels
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Messkarte digitalisiert und auf dem Computer f\"ur weitere Analysen
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gespeichert. Typischerweise k\"onnen mit solchen Messkarten
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Spannungen im Bereich $\pm 10$\,V gemessen werden. Die Aufl\"osung
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der Analog-Digitalwandler betr\"agt heutzutage meistens 16 bit. Das
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heisst, dass der gesamte Spannungsbereich in $2^{16}$ Schritte
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eingeteilt ist. Die gemessenene Spannung wird auf digitalisierte
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Werte abgebildet.\vspace{0.25cm}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\includegraphics[width=0.9\columnwidth]{data_acquisition}
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|
\end{minipage}
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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|
Um die Spannung auf den \code{int16} Datentyp abzubilden:
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\[ y = x \cdot 2^{16}/20\] mit $x$ der gemessenen Spannung und $y$
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dem digitalisierten Wert bei einem Spannungsbereich von
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$\pm10$\,V. Das ergibt ganzzahlige Werte zwischen $-2^{15}=-32768$
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und $2^{15}-1 = 32767$.
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Durch Umkehrung kann der digitalisierte Wert wieder
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in eine Spannung zur\"uckgewandelt werden:
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\[ x = y \cdot 20/2^{16} \]
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\end{minipage}\vspace{0.25cm}
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|
Um Speicherplatz zu sparen ist es sinnvoll, die gemessenen Daten als
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``int16'' anstelle der ``double'' Werte im Rechner abzulegen. Die
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Daten als ``echte'' Spannungen, also als Flie{\ss}kommawerte,
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abzulegen ben\"otigt den 4-fachen Speicherplatz (8 statt 2 Bytes)
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und bietet keine zus\"atzliche Information.
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\end{ibox}
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\section{Vektoren und Matrizen}
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Vektoren und Matrizen sind die wichtigsten Datenstrukturen in
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\matlab{}. In anderen Programmiersprachen hei{\ss}en sie ein-
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bzw. mehrdimensionalen Felder. Felder sind Datenstrukturen, die
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mehrere Werte des gleichen Datentyps in einer Variablen vereinen. Da
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\matlab{} seinen Ursprung in der Verarbeitung von mathematischen
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Vektoren und Matrizen hat, werden sie hier auch so genannt. Dabei
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macht \matlab{} intern keinen Unterschied zwischen Vektoren und
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Matrizen. Vektoren sind 2--dimensionale Matrizen, bei denen eine
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Dimension die Gr\"o{\ss}e 1 hat.
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\subsection{Vektoren}
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Im Gegensatz zu Variablen, die einzelene Werte beinhalten
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(Skalare), kann ein Vektor mehrere Werte des gleichen Datentyps
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beinhalten (Abbildung \ref{vectorfig} B). Die Variable \varcode{a}
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enth\"alt im Beispiel in Abbildung \ref{vectorfig} vier ganzzahlige Werte.
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\begin{figure}
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\includegraphics[width=0.8\columnwidth]{scalarArray}
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\titlecaption{Skalare und Vektoren.}{\textbf{A)} Eine skalare Variable kann
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genau einen Wert tragen. \textbf{B)} Ein Vektor kann mehrer
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Werte des gleichen Datentyps (z.B. ganzzahlige Integer Werte)
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beinhalten. \matlab{} kennt den Zeilen- (row-) und Spaltenvektoren
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(columnvector).}\label{vectorfig}
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\end{figure}
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Das folgende Listing \ref{arrayListing1} zeigt, wie einfache Vektoren erstellt werden
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k\"onnen.
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\begin{lstlisting}[label=arrayListing1, caption={Erstellen einfacher Zeilenvektoren.}]
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>> a = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] % Erstellen eines Zeilenvektors
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a =
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
|
>>
|
|
>> b = (0:9) % etwas bequemer
|
|
b =
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
|
>>
|
|
>> c = (0:2:10)
|
|
c =
|
|
0 2 4 6 8 10
|
|
\end{lstlisting}
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Die L\"ange eines Vektors, d.h. die Anzahl der Elemente des Vektors,
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|
kann mithilfe der Funktionen \code{length()} und \code{numel()} bestimmt
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werden. \"Ahnliche Information kann \"uber die Funktion \code{size()}
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erhalten werden (Listing \ref{arrayListing2}). Im Falle des Vektors
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\varcode{a} von oben erh\"alt man folgende Ausgabe:
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\begin{lstlisting}[label=arrayListing2, caption={Gr\"o{\ss}e von Vektoren.}]
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|
>> length(a)
|
|
ans =
|
|
10
|
|
>> size(a)
|
|
ans =
|
|
1 10
|
|
\end{lstlisting}
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Diese Ausgabe zeigt, dass Vektoren im Grunde 2-dimensional sind. Bei
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|
einem Zeilenvektor hat die erste Dimension die Gr\"o{\ss}e
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|
1. \code[length()]{length(a)} gibt die l\"angste Ausdehnung an. Der \code[Operator!Matrix!']{'}-
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Operator transponiert den Spaltenvektor zu einem Zeilenvektor (Zeilen 14 ff.).
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\begin{lstlisting}[label=arrayListing3, caption={Spaltenvektoren.}]
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>> b = [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10] % Erstellen eines Spaltenvektors
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|
b =
|
|
1
|
|
2
|
|
...
|
|
9
|
|
10
|
|
>> length(b)
|
|
ans =
|
|
10
|
|
>> size(b)
|
|
ans =
|
|
10 1
|
|
>> b = b'; % Transponieren
|
|
>> size(b)
|
|
ans =
|
|
1 10
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Zugriff auf Inhalte von Vektoren}
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\begin{figure}
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\includegraphics[width=0.4\columnwidth]{arrayIndexing}
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\titlecaption{Indices von Vektoren.}{Jedes Feld eines Vektors hat
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|
einen Index mit dem auf den jeweiligen Inhalt zugegriffen werden
|
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kann.}\label{vectorindexingfig}
|
|
\end{figure}
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|
Der Zugriff auf die Inhalte eines Vektors erfolgt \"uber den Index
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|
(Abbildung \ref{vectorindexingfig}). Jedes Feld in einem Vektor hat
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einen fortlaufenden \codeterm{Index}, \"uber den auf die Werte des
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|
Vektors zugegriffen werden kann. Dabei spielt es keine Rolle, ob es
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sich um einen Zeilen- oder Spaltenvektor handelt.
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\begin{important}[Indizieren]
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Anders als viele andere Programmiersprachen beginnt \matlab{} mit
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dem Index 1 an zu z\"ahlen. Der Zugriff auf Inhalte eines Vektors
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mittels seines Indexes wird Indizieren genannnt.
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\end{important}
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Die Listings \ref{arrayListing4} und \ref{arrayListing5} zeigen wie
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mit Indexen auf die Inhalte eines Vektors zugegriffen werden kann.
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\begin{lstlisting}[label=arrayListing4, caption={Zugriff auf den Inhalt von Vektoren: einzelne Elemente}]
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>> a = (11:20)
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a = 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
|
|
>> a(1) % das 1. Element
|
|
ans = 11
|
|
>> a(5) % das 5. Element
|
|
ans = 15
|
|
>> a(end) % das letzte Element
|
|
ans = 20
|
|
\end{lstlisting}
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|
Hierbei kann auf einzelne Werte zugegriffen werden oder, analog zur
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Erzeugung von Vektoren, die \code[Operator!Matrix!:]{:} Notation verwendet werden, um auf mehrere
|
|
Element gleichzeitig zuzugreifen.
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\begin{lstlisting}[caption={Zugriff auf den Inhalt von Vektoren: Bereiche}, label=arrayListing5]
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>> a([1 3 5]) % das 1., 3. und 5. Element
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|
ans =
|
|
11 13 15
|
|
>> a(2:4) % alle Elemente von Index 2 bis einschliesslich 4
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ans =
|
|
12 13 14
|
|
>> a(1:2:end) % jedes zweite Element
|
|
ans =
|
|
11 13 15 17 19
|
|
>> a(:) % alle Elemente
|
|
ans =
|
|
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
\begin{exercise}{vectorsize.m}{vectorsize.out}
|
|
Der R\"uckgabewert von \code[size()]{size(a)} ist wieder ein Vektor der
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|
L\"ange 2. Wie k\"onnte man also die Gr\"o{\ss}e von \varcode{a} in der
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zweiten Dimension herausfinden?
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\end{exercise}
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|
\subsubsection{Operationen auf Vektoren}
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Mit Vektoren kann sehr einfach gerechnet werden. Listing
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|
\ref{arrayListing6} zeigt Rechnungen mit Vektoren.
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|
\begin{lstlisting}[caption={Rechnen mit Vektoren.},label=arrayListing6]
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|
>> a = (0:2:8);
|
|
>> a + 5 % addiere einen Skalar
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|
ans =
|
|
5 7 9 11 13
|
|
|
|
>> a - 5 % subtrahiere einen Skalar
|
|
ans =
|
|
-5 -3 -1 1 3
|
|
|
|
>> a .* 2 % Multiplikation
|
|
ans =
|
|
0 4 8 12 16
|
|
|
|
>> a ./ 2 % Division
|
|
ans =
|
|
0 1 2 3 4
|
|
|
|
>> a(1:3) + a(2:4) % Addieren von 2 Vektoren
|
|
ans =
|
|
2 6 10
|
|
>>
|
|
>> a(1:2) + a(2:4) % Vektoren muessen gleich gross sein!
|
|
??? Error using ==> plus
|
|
Matrix dimensions must agree.
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Wird ein Vektor mit einem skalaren Wert verrechnet, dann ist das
|
|
problemlos m\"oglich. Bei der Multiplikation (Zeile 10), der Division
|
|
(Zeile 14) und auch der Potenzierung mu{\ss} mit vorangestellem '.'
|
|
klar gemacht werden, dass es sich um eine \emph{elementweise}
|
|
Verarbeitung handeln soll. F\"ur diese elementweisen Operationen kennt
|
|
\matlab{} die Operatoren \code[Operator!arithmetischer!3mule@.*]{.*},
|
|
\code[Operator!arithmetischer!4dive@./]{./} und
|
|
\code[Operator!arithmetischer!5powe@.\^{}]{.\^{}}. Die einfachen Operatoren
|
|
\code[Operator!arithmetischer!3mul@*]{*},
|
|
\code[Operator!arithmetischer!4div@/]{/} und
|
|
\code[Operator!arithmetischer!5pow@\^{}]{\^{}} sind mit den entsprechenden
|
|
Matrixoperationen aus der linearen Algebrar belegt (Box
|
|
\ref{matrixmultiplication}).
|
|
|
|
Zu Beachten ist des Weiteren noch die Fehlermeldung am Schluss von
|
|
Listing \ref{arrayListing6}. Wenn zwei Vektoren (elementweise)
|
|
miteinander verrechnet werden sollen, muss nicht nur die Anzahl der Elemente
|
|
\"ubereinstimmen, sondern es muss auch das Layout (Zeilen- oder
|
|
Spaltenvektoren) \"ubereinstimmen.
|
|
|
|
|
|
Will man Elemente aus einem Vektor entfernen, dann weist man den
|
|
entsprechenden Zellen einen leeren Wert (\code[Operator!Matrix!{[]}]{[]}) zu.
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[label=arrayListing7, caption={L\"oschen von Elementen aus einem Vektor.}]
|
|
>> a = (0:2:8);
|
|
>> length(a)
|
|
ans =
|
|
5
|
|
|
|
>> a(1) = [] % loesche das erste Element
|
|
a = 2 4 6 8
|
|
|
|
>> a([1 3]) = []
|
|
a = 4 8
|
|
|
|
>> length(a)
|
|
ans =
|
|
2
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Neben dem L\"oschen von Vektorinhalten k\"onnen Vektoren auch
|
|
erweitert oder zusammengesetzt werden. Auch hier muss das Layout der Vektoren
|
|
\"ubereinstimmen (Listing \ref{arrayListing8}, Zeile 12). Will man
|
|
einen Vektor erweitern, kann man \"uber das Ende hinaus
|
|
zuweisen. \matlab{} erweitert dann die Variable. Dieser Vorgang ist
|
|
``rechenintensiv'' und sollte, soweit m\"oglich, vermieden werden.
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[caption={Zusammenf\"ugen und Erweitern von Vektoren.}, label=arrayListing8]
|
|
>> a = (0:2:8);
|
|
>> b = (10:2:19);
|
|
>> c = [a b] % erstelle einen Vektor aus einer Liste von Vektoren
|
|
c =
|
|
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
|
|
>> length(c)
|
|
ans =
|
|
10
|
|
>> length(a) + length(b)
|
|
ans =
|
|
10
|
|
>> c = [a b'];
|
|
Error using horzcat
|
|
Dimensions of matrices being concatenated are not consistent.
|
|
|
|
>> b(6:8) = [1 2 3 4];
|
|
In an assignment A(:) = B, the number of elements in A and B must be the same.
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Matrizen}
|
|
|
|
Im Gegesatz zu den 1-dimensionalen Vektoren k\"onnen Martizen
|
|
n-dimensional sein, das hei{\ss}t, dass sie beliebig viele Dimensionen
|
|
haben k\"onnen. Von praktischer Bedeutung sind allerdings nur Matrizen
|
|
mit bis zu vier Dimensionen. Meist beschr\"ankt es sich jedoch auf 2-
|
|
bis 3-d Matrizen (Abbildung \ref{matrixfig} A,B).
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\includegraphics[width=0.5\columnwidth]{matrices}
|
|
\titlecaption{Matrizen.}{\textbf{A)} Eine Variable (``test'') die eine
|
|
2-dimensionale Matrize ist. \textbf{B)} Illustration einer
|
|
3-dimensionalen Matrize. Die Pfeile zeigen den Rang der
|
|
Dimensionen an.}\label{matrixfig}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Erzeugt werden Matrizen sehr \"ahnlich zu den Vektoren (Listing
|
|
\ref{matrixListing}). Die Definition einer Matrize wird, wie beim
|
|
Vektor, durch \code[Operator!Matrix!{[]}]{[]} eingeschlossen. Das
|
|
\code[Operator!Matrix!;]{;} trennt die einzelnen Zeilen der
|
|
Matrize.
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[label=matrixListing, caption={Erzeugen von Matrizen.}]
|
|
>> a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
|
|
>> a =
|
|
1 2 3
|
|
4 5 6
|
|
7 8 9
|
|
>>
|
|
>> b = ones(3,3,2);
|
|
>> b
|
|
|
|
b(:,:,1) =
|
|
1 1 1
|
|
1 1 1
|
|
1 1 1
|
|
|
|
b(:,:,2) =
|
|
1 1 1
|
|
1 1 1
|
|
1 1 1
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Zur Defintion von mehr-dimensionalen Matrizen ist die Notation in
|
|
Zeile 1 nicht geeignet. Es gibt allerdings eine Reihe von
|
|
Helferfunktionen, die n-dimensionale Matrizen erstellen k\"onnen
|
|
(z.B. \code{ones()}, Zeile 7). Sollte sich die Notwendigkeit ergeben
|
|
mehrdimensionale Matrizen zusammenzuf\"ugen hilft die \code{cat()}
|
|
Funktion.
|
|
|
|
Um Informationen \"uber die Gr\"o{\ss}e einer Matrize zu bekommen ist
|
|
die Funktion \code{length()} nicht geeignet. Wie oben erw\"ahnt gibt sie
|
|
die Gr\"o{\ss}e der l\"angsten Dimension aus. Wann immer es um
|
|
Matrizen geht, wird \code{size()} benutzt.
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\includegraphics[width=0.9\columnwidth]{matrixIndexing}
|
|
\titlecaption{Indices von Matrizen.}{Jedes Feld einer Matrize
|
|
wird durch einen Index individuell angesprochen. Der Index setzt
|
|
sich aus so vielen Zahlen zusammen wie es Dimensionen gibt (links
|
|
2, rechts 3). Dabei steht die 1. Stelle immer f\"ur die Zeile, die
|
|
2. f\"ur die Spalte und die dritte f\"ur das Blatt,
|
|
etc.. }\label{matrixindexingfig}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Der Zugriff auf Inhalte von Matrizen erfolgt \"uber den Index
|
|
(Abbildung \ref{matrixindexingfig}, Listing
|
|
\ref{matrixIndexing}). \"Ahnlich zu den Positionen in einem
|
|
Koordinatensystem wird jede Zelle einer Matrize mit einem Index
|
|
angesprochen, der aus $n$ Zahlen besteht wobei $n$ die
|
|
Dimensionalit\"at der Matrize ist. Diese Art des Zugriffs wird
|
|
\codeterm{subscript indexing} genannt.
|
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|
|
\begin{lstlisting}[caption={Zugriff auf Inhalte von Matrizen,
|
|
Indizierung.}, label=matrixIndexing]
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|
>> x = randi(100, [3, 4, 5]); % 3-D Matrix mit Zufallszahlen
|
|
>> size(x)
|
|
ans =
|
|
3 4 5
|
|
>> x(1,1,1); % obere linke Ecke
|
|
ans(1,1,1) =
|
|
14
|
|
>>
|
|
>> x(1,1,:) % obere linke Ecke entlang der 3. Dimension
|
|
ans(1,1,:) =
|
|
14
|
|
ans(:,:,2) =
|
|
58
|
|
ans(:,:,3) =
|
|
4
|
|
ans(:,:,4) =
|
|
93
|
|
ans(:,:,5) =
|
|
56
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Alternativ zum \codeterm{subscript indexing} k\"onnen die Zellen einer
|
|
Matrize auch \emph{linear} angesprochen werden (Abbildung
|
|
\ref{matrixlinearindexingfig}). Diese Art der Adressierung ist nicht
|
|
so intuitiv verst\"andlich, kann aber sehr hilfreich sein. Der
|
|
``linare'' Index einer Zelle reicht von 1 bis \code[numel()]{numel(M)}
|
|
Elemente. Wobei dieser erst entlang der 1. Dimension, dann der 2.,
|
|
3. etc. Dimension ansteigt. Listing \ref{matrixLinearIndexing} zeigt
|
|
ein Beispiel f\"ur den Einsatz des linearen Indizierens z.B. wenn man
|
|
den Minimalwert aller Elemente einer Matrize ermitteln m\"ochte.
|
|
|
|
\begin{figure}
|
|
\includegraphics[width=0.9\columnwidth]{matrixLinearIndexing}
|
|
\titlecaption{Lineares Indizieren von Matrizen.}{Der Index steigt
|
|
linear von 1 bis zur Anzahl Elemente in der Matrize an. Dabei
|
|
steigt der Index zuerst entlang der ersten, zweiten, dritten und
|
|
weiterer Dimensionen an.}\label{matrixlinearindexingfig}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[label=matrixLinearIndexing, caption={Lineares Indizieren in Matrizen.}]
|
|
>> x = randi(100, [3, 4, 5]); % 3-D Matrix mit Zufallszahlen
|
|
>> size(x)
|
|
ans =
|
|
3 4 5
|
|
>> numel(x)
|
|
ans =
|
|
60
|
|
>> min(min(min(x))) % Minumum uber die Zeilen, Spalten, Blaetter...
|
|
ans =
|
|
4
|
|
>> min(x(:)) % oder so
|
|
ans =
|
|
4
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
|
|
Beim Rechnen mit Matrizen gelten die gleichen Regeln wie bei
|
|
Vektoren. Matrizen k\"onnen solange elementweise miteinander
|
|
verrechnet werden, wie die Dimensionalit\"aten
|
|
\"ubereinstimmen. Besondere Vorsicht sollte man immer dann walten
|
|
lassen, wenn man Matrizen miteinander multiplizieren, dividieren oder
|
|
potenzieren will. Hier ist es wichtig sich klarzumachen was man will:
|
|
Eine elementweise Multiplikation
|
|
(\code[Operator!arithmetischer!3mule@.*]{.*} Operator, Listing
|
|
\ref{matrixOperations} Zeile 18) oder ob eine Matrixmultiplikation
|
|
(\code[Operator!arithmetischer!3mul@*]{*} Operator, Listing
|
|
\ref{matrixOperations} Zeile 12, Box \ref{matrixmultiplication})
|
|
durchgef\"uhrt werden soll.
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[label=matrixOperations, caption={Zwei Arten der Multiplikation von Matrizen.}]
|
|
>> A = randi(10, [3, 3]) % 2-D Matrix
|
|
A =
|
|
3 8 2
|
|
2 10 3
|
|
10 7 1
|
|
>> B = randi(10, [3, 3]) % dto
|
|
B =
|
|
2 1 7
|
|
1 5 9
|
|
5 10 5
|
|
>>
|
|
>> A * B % Matrixmultiplikation
|
|
ans =
|
|
24 63 103
|
|
29 82 119
|
|
32 55 138
|
|
>>
|
|
>> A .* B % Elementweise Multiplikation
|
|
ans =
|
|
6 8 14
|
|
2 50 27
|
|
50 70 5
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
\begin{ibox}[t]{\label{matrixmultiplication} Matrixmultiplikation.}
|
|
Die Matrixmuliplikation aus der linearen Algebra ist nicht eine
|
|
elementweise Multiplikation. Die Matrixmultiplikation ist nur
|
|
dann m\"oglich, wenn die Anzahl Spalten der ersten Matrize gleich
|
|
der Anzahl Zeilen in der zweiten Matrize ist. Formaler: zwei
|
|
Matrizen A, B k\"onnen mulipiziert $(A \cdot B)$ werden, wenn A die
|
|
Gr\"o{\ss}e $(m \times n)$ und B die Gr\"o{\ss}e $(n \times k)$
|
|
hat. Die Mulitplikation ist m\"oglich wenn die ``inneren''
|
|
Dimensionen $n$ gleich sind. Daraus
|
|
erkl\"art sich auch die folgende Fehlermeldung in \matlab{}:
|
|
\begin{lstlisting}[caption={Fehlermeldung bei Matrixmultiplikation}]
|
|
>> A = [1 2 3; 4 5 6];
|
|
>> B = [2 4; 6 7];
|
|
>> A * B
|
|
Error using *
|
|
Inner matrix dimensions must agree.
|
|
>> size(A)
|
|
ans =
|
|
2 3
|
|
>> size(B)
|
|
ans =
|
|
2 2
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Als Beispiel betrachten wir die beiden Matrizen
|
|
\[A_{(3 \times 2)} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
|
|
\quad \text{und} \quad
|
|
B_{(2 \times 2)} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \; . \]
|
|
Die ``inneren'' Dimensionen der Matrizen stimmen \"uberein ($(3
|
|
\times 2) \cdot (2 \times 2)$), die Matrixmultiplikation ist
|
|
also m\"oglich. Das Produkt wird aus dem Skalarprodukt
|
|
jeder Zeile von $A$ mit jeder Spalte aus $B$ berechnet. Nachdem
|
|
$A$ drei Zeilen und $B$ zwei Spalten hat, hat das Ergebnis von $A
|
|
\cdot B$ die Gr\"o{\ss}e $(3 \times 2)$:
|
|
\[A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot -1 + 2 \cdot -2 & 1 \cdot 2 + 2\cdot 5 \\
|
|
5 \cdot -1 + 4 \cdot -2 & 5 \cdot 2 + 4 \cdot 5\\
|
|
-2 \cdot -1 + 3 \cdot -2 & -2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 \end{pmatrix}
|
|
= \begin{pmatrix} -5 & 12 \\ -13 & 30 \\ -4 & 11\end{pmatrix} \; . \]
|
|
\end{ibox}
|
|
|
|
\section{Boolesche Operationen}
|
|
|
|
Boolesche Ausdr\"ucke sind Anweisungen, die zu \codeterm{wahr} oder
|
|
\codeterm{falsch} ausgewertet werden. Man kennt sie z.B. aus der
|
|
Mengenlehre. In der Programmierung werden sie eingesetzt, um z.B. die
|
|
Beziehung zwischen Entit\"aten zu testen. Hierzu werden die
|
|
\codeterm{relationalen Operatoren} (\code[Operator!relationaler!>]{>},
|
|
\code[Operator!relationaler!<]{<},
|
|
\code[Operator!relationaler!==]{==},
|
|
\code[Operator!relationaler!"!]{!}, gr\"o{\ss}er als, kleiner als,
|
|
gleich und nicht) eingesetzt. Mehrere Ausdr\"ucke werden mittels der
|
|
\codeterm[Operator!logischer]{logischen Operatoren}
|
|
(\code[Operator!logischer!and1@\&]{\&}, \code[Operator!logischer!or1@{"|} {}]{|},
|
|
UND, ODER ) verkn\"upft. Sie sind f\"ur uns nicht nur wichtig um
|
|
Codeabschnitte bedingt auszuf\"uhren (Verzweigungen,
|
|
\ref{controlstructsec}) sondern auch um aus Vektoren und Matrizen
|
|
bequem Elemente auszuw\"ahlen (logisches Indizieren,
|
|
\ref{logicalindexingsec}). Die Tabellen \ref{logicalandor} zeigen die
|
|
Wahrheitstabellen f\"ur das logische UND (Tabelle \ref{logicalandor},
|
|
links) und das logische ODER (Tabelle \ref{logicalandor}, rechts). Es
|
|
werden die Aussagen A und B mit dem Operator verkn\"upft. Beim
|
|
logischen UND ist der gesamte Ausdruck nur dann wahr, wenn beide
|
|
Ausdr\"ucke sich zu wahr auswerten lassen.
|
|
|
|
\begin{table}[tp]
|
|
\titlecaption{Wahrheitstabellen logisches UND (links) und logisches ODER (rechts).}{}\label{logicalandor}
|
|
\begin{tabular}{llll}
|
|
\multicolumn{2}{l}{\multirow{2}{*}{}} & \multicolumn{2}{c}{\textbf{B}} \\
|
|
\multicolumn{2}{l}{} & \multicolumn{1}{|c}{wahr} & falsch \\ \cline{2-4}
|
|
\multirow{2}{*}{\textbf{A}} & \multicolumn{1}{l|}{wahr} & \multicolumn{1}{c}{\textcolor{mygreen}{wahr}} & \textcolor{red}{falsch} \erb \\
|
|
& \multicolumn{1}{l|}{falsch} & \multicolumn{1}{l}{\textcolor{red}{falsch}} & \textcolor{red}{falsch}
|
|
\end{tabular}
|
|
\hspace{0.1\textwidth}
|
|
\begin{tabular}{llll}
|
|
\multicolumn{2}{l}{\multirow{2}{*}{}} & \multicolumn{2}{c}{\textbf{B}} \\
|
|
\multicolumn{2}{l}{} & \multicolumn{1}{|c}{wahr} & falsch \\ \cline{2-4}
|
|
\multirow{2}{*}{\textbf{A}} & \multicolumn{1}{l|}{wahr} & \multicolumn{1}{c}{\textcolor{mygreen}{wahr}} & \textcolor{mygreen}{wahr} \erb \\
|
|
& \multicolumn{1}{l|}{falsch} & \multicolumn{1}{l}{\textcolor{mygreen}{wahr}} & \textcolor{red}{falsch}
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
Anders ist das beim logischen ODER. Hier ist der gesamte Ausdruck
|
|
wahr, wenn sich der eine \emph{oder} der andere Ausdruck zu wahr
|
|
auswerten l\"a{\ss}t. Tabelle \ref{logicaloperators} zeigt die
|
|
logischen Operatoren, die in \matlab{} definiert sind. Zu bemerken
|
|
sind hier noch die \code[Operator!logischer!and2@\&\&]{\&\&} und
|
|
\code[Operator!logischer!or2@{"|}{"|} {}]{||} Operatoren. Man kann beliebige
|
|
Ausdr\"ucke verkn\"upfen und h\"aufig kann schon anhand des ersten
|
|
Ausdrucks entschieden werden, ob der gesamte Boolesche Ausdruck zu
|
|
wahr oder falsch ausgewertet werden wird. Wenn zwei Aussagen mit einem
|
|
UND verkn\"upft werden und der erste zu falsch ausgewertet wird, muss
|
|
der zweite gar nicht mehr gepr\"uft werden. Die Verwendung der
|
|
\enterm{short-circuit} Versionen spart Rechenzeit. Das auschlie{\ss}ende
|
|
ODER (XOR) ist in \matlab{} nur als Funktion \code[xor()]{xor(A, B)}
|
|
verf\"ugbar.
|
|
|
|
\begin{table}[th]
|
|
\titlecaption{\label{logicaloperators}
|
|
Logische Operatoren in \matlab.}{}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{cc}
|
|
\hline
|
|
\textbf{Operator} & \textbf{Beschreibung} \erh \\ \hline
|
|
$\sim$ & logisches NICHT \erb \\
|
|
$\&$ & logisches UND\\
|
|
$|$ & logisches ODER\\
|
|
$\&\&$ & short-circuit logisches UND\\
|
|
$\|$ & short-circuit logisches ODER\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
Um Werte miteinander zu vergleichen gibt es die
|
|
\codeterm[Operator!relationaler]{relationalen Operatoren} (Tabelle
|
|
\ref{relationaloperators}). Mit ihnen kann man auf Dinge wie
|
|
Gleichheit (\varcode{==}) gr\"o{\ss}er oder kleiner als (\varcode{>},
|
|
\varcode{<}) testen.
|
|
|
|
\begin{table}[th]
|
|
\titlecaption{\label{relationaloperators}
|
|
Relationale Operatoren in \matlab.}{}
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabular}{cc}
|
|
\hline
|
|
\textbf{Operator} & \textbf{Beschreibung} \erh \\ \hline
|
|
$<$ & kleiner als \erb \\
|
|
$>$ & gr\"o{\ss}er als \\
|
|
$==$ & gleich \\
|
|
$>=$ & gr\"o{\ss}er oder gleich \\
|
|
$<=$ & kleiner oder gleich \\
|
|
$\sim=$ & ungleich\\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
|
|
\end{table}
|
|
|
|
Das Ergebnis eines Booleschen Ausdrucks ist immer vom Datentyp
|
|
\codeterm{logical}. Man kann jede beliebige Variable zu wahr oder falsch
|
|
auswerten indem man in den Typ \code{logical} umwandelt. Dabei
|
|
werden von \matlab{} alle Werte, die nicht 0 sind als wahr
|
|
eingesch\"atzt. Listing \ref{booleanexpressions} zeigt einige
|
|
Beispiele. \matlab{} kennt die Schl\"usselworte \code{true} und
|
|
\code{false}. Diese sind jedoch nur Synonyme f\"ur die
|
|
\code{logical} Werte 1 und 0.
|
|
|
|
\begin{important}[Zuweisungs- und Gleichheitsoperator]
|
|
Der Zuweisungsoperator \code[Operator!Zuweisung!=]{=} und der
|
|
logische Operator \code[Operator!logischer!==]{==} sind zwei
|
|
grundverschiedene Dinge. Da sie umgangsprachlich gleich sind
|
|
k\"onnen sie leider leicht verwechselt werden.
|
|
\end{important}
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[caption={Boolesche Ausdr\"ucke.}, label=booleanexpressions]
|
|
>> true
|
|
ans =
|
|
1
|
|
>> false
|
|
ans =
|
|
0
|
|
>> logical(1)
|
|
ans =
|
|
1
|
|
>> 1 == true
|
|
ans =
|
|
1
|
|
>> 1 == false
|
|
ans =
|
|
0
|
|
>> logical('test')
|
|
ans =
|
|
1 1 1 1
|
|
|
|
>> 1 > 2
|
|
ans =
|
|
0
|
|
>> 1 < 2
|
|
ans =
|
|
1
|
|
>> x = [2 0 0 5 0] & [1 0 3 2 0]
|
|
x =
|
|
1 0 0 1 0
|
|
|
|
>> ~([2 0 0 5 0] & [1 0 3 2 0])
|
|
ans =
|
|
0 1 1 0 1
|
|
|
|
>> [2 0 0 5 0] | [1 0 3 2 0]
|
|
ans =
|
|
1 0 1 1 0
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
|
|
\section{Logisches Indizieren}\label{logicalindexingsec}
|
|
|
|
Einer der wichtigsten Einsatzorte f\"ur Boolesche Ausdr\"ucke ist das
|
|
logische Indizieren. Das logische Indizieren ist eines der
|
|
Schl\"usselkonzepte in \matlab{}. Nur mit diesem k\"onnen
|
|
Filteroperationen auf Vektoren und Matrizen effizient durchgef\"uhrt
|
|
werden. Es ist sehr m\"achtig und, wenn es einmal verstanden wurde,
|
|
sehr intuitiv zu benuzten.
|
|
|
|
Das Grundkonzept hinter der logischen Indizierung ist, dass man durch
|
|
die Verwendung eines Booleschen Ausdrucks auf z.B. einen Vektor einen
|
|
logischen Vektor gleicher Gr\"o{\ss}e erh\"alt. Dieser wird
|
|
benutzt um auf den urspr\"unglichen Vektor zuzugreifen. \matlab{} gibt
|
|
nur die Werte an den Stellen zur\"uck, an denen der logische Vektor
|
|
\codeterm{wahr} ist (Listing \ref{logicalindexing1}).
|
|
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[caption={Beispiel logisches Indizieren.}, label=logicalindexing1]
|
|
>> x = randn(10, 1);
|
|
>> % in zwei Schritten
|
|
>> x_smaller_zero = x < 0; % logischer vektor
|
|
>> elements_smaller_zero = x(x_smaller_zero); % benutzen, um zuzugreifen
|
|
>> % oder in einem Schritt
|
|
>> elements_smaller_zero = x(x < 0);
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
\begin{exercise}{logicalVector.m}{logicalVector.out}
|
|
Erstelle einen Vektor \varcode{x} mit den Werten 0--10.
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item F\"uhre aus: \varcode{y = x < 5}
|
|
\item Gib den Inhalt von \varcode{y} auf dem Bildschirm aus.
|
|
\item Was ist der Datentyp von \varcode{y}?
|
|
\item Gibt alle Elemente aus \varcode{x} zur\"uck, die kleiner als 5 sind.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
Zeile 12 in der L\"osung kann wie folgt gelesen werden: Gib mir die Elemente
|
|
von (\varcode{x}) an den Stellen, an denen \varcode{x < 5} wahr ist.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
Logisches Indizieren wurde oben so benutzt, dass die Auswahl
|
|
auf dem Inhalt desselben Vektors beruhte. Ein sehr h\"aufiger Fall ist
|
|
jedoch, dass die Auswahl aus einem Vektor auf dem Inhalt eines
|
|
zweiten Vektors basiert. Ein Beispiel ist, dass man \"uber einen
|
|
gewissen Zeitraum Daten aufnimmt und aus diesen die Daten eines
|
|
bestimmten Zeitraums ausw\"ahlen m\"ochte (Abbildung
|
|
\ref{logicalindexingfig}).
|
|
|
|
|
|
\begin{figure}[t]
|
|
\includegraphics[width= 0.9\columnwidth]{logicalIndexingTime}
|
|
\titlecaption{Beispiel f\"ur logisches Indizieren.}
|
|
{Der rot markierte Abschnitt aus den Daten wurde indirekt
|
|
mit logischem Indizieren auf dem Zeitvektor
|
|
ausgew\"ahlt (\varcode{x(t > 5 \& t < 6)}).}\label{logicalindexingfig}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{exercise}{logicalIndexingTime.m}{}
|
|
Angenommen es werden \"uber einen bestimmten Zeitraum Messwerte
|
|
genommen. Bei solchen Messungen erh\"alt man einen Vektor, der die
|
|
Zeitpunkte der Messung speichert und einen zweiten mit den
|
|
jeweiligen Messwerten.
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Erstelle einen Vektor \varcode{t = 0:0.001:10;}, der z.B. die Zeit
|
|
repr\"asentiert.
|
|
\item Erstelle einen zweiten Vektor \varcode{x} mit Zufallszahlen der
|
|
die gleiche L\"ange hat wie \varcode{t}. Die Werte darin stellen
|
|
Messungen zu den Zeitpunkten in \varcode{t} dar.
|
|
\item Benutze das logische Indizieren um die Messwerte
|
|
auszuw\"ahlen, die dem zeitlichen Abschnitt 5--6\,s entsprechen.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\section{Kontrollstrukturen}\label{controlstructsec}
|
|
|
|
In der Regel wird ein Programm Zeile f\"ur Zeile von oben nach unten
|
|
ausgef\"uhrt. Manchmal muss der Kontrollfluss aber so gesteuert
|
|
werden, dass bestimmte Teile wiederholt oder nur
|
|
unter bestimmten Bedingungen ausgef\"uhrt werden sollen. Von gro{\ss}er
|
|
Bedeutung sind hier zwei Strukturen:
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Schleifen.
|
|
\item Bedingte Anweisungen und Verzweigungen.
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\subsection{Schleifen}
|
|
|
|
Schleifen werden gebraucht um wiederholte Ausf\"uhrung desselben Codes
|
|
zu vereinfachen. In einer \"Ubung wurde die Fakult\"at von 5 wie in
|
|
Listing \ref{facultylisting} berechnet:
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[caption={Berechnung der Fakult\"at von 5 in f\"unf
|
|
Schritten}, label=facultylisting]
|
|
>> x = 1;
|
|
>> x = x * 2;
|
|
>> x = x * 3;
|
|
>> x = x * 4;
|
|
>> x = x * 5;
|
|
>> x
|
|
x =
|
|
120
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Im Prinzip ist das obige Programm v\"ollig in Ordnung. Es f\"allt
|
|
jedoch auf, dass die Zeilen 2 bis 5 sehr \"ahnlich sind; bis auf die
|
|
Multiplikation mit einer ansteigenden Zahl \"andert sich nichts. Die
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Verwendung von mehr oder weniger exakten Klonen einzelner Zeilen oder
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ganzer Abschnitte ist schlechter Prgrammierstil. Dabei geht es nicht nur um
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einen \"asthetischen Aspekt sondern vielmehr darum, dass es schwerwiegende Nachteile gibt.
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\begin{enumerate}
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\item Fehleranf\"alligkeit: Beim ``Copy-and-paste'' kann leicht
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vergessen werden in einzelnen Klonen die entscheidende \"Anderung
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auch wirklich vorzunehmen.
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\item Flexibilit\"at: Das obige Programm ist f\"ur genau einen Zweck,
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Berechnung der Fakult\"at von f\"unf, gemacht und kann nichts
|
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anderes.
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\item Wartung: Wenn ich einen Fehler gemacht habe, dann muss ich den
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Fehler in allen Klonen korrigieren (sehr leicht wird dabei der ein oder
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andere Klon \"ubersehen).
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\item Verst\"andlichkeit: Solche Abschnitte sind schwerer zu lesen/zu
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verstehen. Das liegt zum Teil daran, dass man dazu neigt \"uber sich
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wiederholende Zeilen zu springen (ist ja eh das gleiche...) und dann
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den entscheidenden Teil verpasst. Zum Anderen f\"uhrt
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Codeduplication zu langen, un\"ubersichtlichen Programmen.
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\end{enumerate}
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Alle Programmiersprachen bieten zur L\"osung dieses Problems die
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Schleifen. Eine Schleife wird immer dann eingesetzt, wenn man
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Abschnitte wiederholt ausf\"uhren will.
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\subsubsection{Die \code{for} -- Schleife}
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Der am h\"aufigsten benutzte Vertreter der Schleifen ist die
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\codeterm{for-Schleife}. Sie besteht aus dem
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\codeterm[Schleife!Schleifenkopf]{Schleifenkopf} und dem
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\codeterm[Schleife!Schleifenk{\"o}rper]{Schleifenk\"orper}. Der Kopf
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regelt, wie h\"aufig der Code im K\"orper ausgef\"uhrt wird. Der
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Schleifenkopf beginnt mit dem Schl\"usselwort \code{for} auf welches
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folgend die \codeterm{Laufvariable} definiert wird. In \matlab
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``l\"auft''/iteriert eine for-Schleife immer(!) \"uber einen
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Vektor. Die \codeterm{Laufvariable} nimmt mit jeder Iteration einen
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Wert dieses Vektors an. Im Schleifenk\"orper k\"onnen beliebige
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Anweisungen ausgef\"uhrt werden. Die Schleife wird durch das
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Schl\"usselwort \code{end} beendet. Listing \ref{looplisting} zeigt
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das Grundger\"ust einer for-Schleife.
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\begin{lstlisting}[caption={Beispiel einer \varcode{for}-Schleife.}, label=looplisting]
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>> for x = 1:5
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disp(x);
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end
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% die Laufvariable x nimmt mit jeder Iteration der Schleife
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% einen Wert des Vektors 1:5 an:
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1
|
|
2
|
|
3
|
|
4
|
|
5
|
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\end{lstlisting}
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\begin{exercise}{facultyLoop.m}{facultyLoop.out}
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Wie k\"onnte Fakult\"at mit einer Schleife implementiert werden?
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Implementiere eine \code{for} Schleife, die die Fakul\"at von einer
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Zahl \varcode{n} berechnet.
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\end{exercise}
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\subsubsection{Die \varcode{while} -- Schleife}
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Eine weiterer Schleifentyp, der weniger h\"aufig eingesetzt wird, ist
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die \code{while}-Schleife. Auch sie hat ihre Entsprechungen in fast
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allen Programmiersprachen. \"Ahnlich zur \code{for} Schleife wird
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auch hier der in der Schleife definierte Programmcode iterativ
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ausgef\"uhrt. Der Schleifenkopf beginnt mit dem Schl\"usselwort
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\code{while} gefolgt von einem Booleschen Ausdruck. Solange dieser zu
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\code{true} ausgewertet werden kann, wird der Code im
|
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Schleifenk\"orper ausgef\"uhrt. Die Schleife wird mit dem
|
|
Schl\"usselwort \code{end} beendet.
|
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\begin{lstlisting}[caption={Grundstruktur einer \varcode{while} Schleife.}, label=whileloop]
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while x == true
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|
% fuehre diesen sinnvollen code aus ...
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|
end
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\end{lstlisting}
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|
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\begin{exercise}{facultyWhileLoop.m}{}
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|
Implementiere die Fakult\"at mit einer \code{while}-Schleife.
|
|
\end{exercise}
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|
|
|
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\begin{exercise}{neverendingWhile.m}{}
|
|
Implementiere eine \code{while}-Schleife, die unendlich
|
|
l\"auft. Tipp: wenn der Boolesche Ausdruck hinter dem \code{while}
|
|
zu wahr ausgewertet wird, wird die Schleife weiter ausgef\"uhrt.
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Vergleich \varcode{for} -- und \varcode{while}--Schleife}
|
|
\begin{itemize}
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|
\item Beide f\"uhren den Code im Schleifenk\"orper iterativ aus.
|
|
\item Der K\"orper einer \code{for} Schleife wird mindestens 1 mal
|
|
betreten (au{\ss}er wenn der Vektor im Schleifenkopf leer ist).
|
|
\item Der K\"orper einer \code{while} Schleife wird nur dann betreten,
|
|
wenn die Bedingung im Kopf \code{true} ist. \\$\rightarrow$ auch
|
|
``Oben-abweisende'' Schleife genannt.
|
|
\item Die \code{for} Schleife eignet sich f\"ur F\"alle in denen f\"ur
|
|
jedes Element eines Vektors der Code ausgef\"uhrt werden soll.
|
|
\item Die \code{while} Schleife ist immer dann gut, wenn nicht klar
|
|
ist wie h\"aufig etwas ausgef\"uhrt werden soll. Sie ist
|
|
speichereffizienter.
|
|
\item Jedes Problem kann mit beiden Typen gel\"ost werden.
|
|
\end{itemize}
|
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\subsection{Bedingte Anweisungen und Verzweigungen}
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|
Bedingte Anweisungen und Verzweigungen sind Kontrollstrukturen, die
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regeln, dass der in ihnen eingeschlossene Programmcode nur unter
|
|
bestimmten Bedingungen ausgef\"uhrt wird.
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\subsubsection{Die \varcode{if} -- Anweisung}
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Am h\"aufigsten genutzter Vertreter ist die \code{if} -
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Anweisung. Sie wird genutzt um Programmcode nur unter bestimmten
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Bedingungen auszuf\"uhren.
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Der Kopf der \code{if} - Anweisung beginnt mit dem Schl\"usselwort \code{if}
|
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welches von einem Booleschen Ausdruck gefolgt wird. Wenn
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dieser zu \code{true} ausgewertet werden kann, wird der Code im
|
|
K\"orper der Anweisung ausgef\"uhrt. Optional k\"onnen weitere
|
|
Bedingungen mit dem Schl\"usselwort \code{elseif} folgen. Ebenfalls
|
|
optional ist die Verwendung eines finalen \code{else} - Falls. Dieser
|
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wird immer dann ausgef\"uhrt wenn alle vorherigen Bedingungen nicht
|
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erf\"ullt wurden. Die \code{if} - Anweisung wird mit \code{end}
|
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beendet. Listing \ref{ifelselisting} zeigt den Aufbau einer
|
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\code{if} - Anweisung.
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\begin{lstlisting}[label=ifelselisting, caption={Grundger\"ust einer \varcode{if} Anweisung.}]
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if x < y
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|
% fuehre diesen code aus
|
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elseif x > y
|
|
% etwas anderes soll getan werden
|
|
else
|
|
% wenn x == y, wieder etwas anderes
|
|
end
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
\begin{exercise}{ifelse.m}{}
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|
Ziehe eine Zufallszahl und \"uberpr\"ufe mit einer geeigneten \code{if} Anweisung, ob sie:
|
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\begin{enumerate}
|
|
\item ... kleiner als 0.5 ist.
|
|
\item ... kleiner oder gr\"o{\ss}er-gleich 0.5 ist.
|
|
\item ... 1. kleiner als 0.5, 2. gr\"o{\ss}er oder gleich 0.5 aber kleiner
|
|
als 0.75 oder 3. gr\"o{\ss}er oder gleich 0.75 ist.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
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|
\subsubsection{Die \varcode{switch} -- Verzweigung}
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|
Die \code{switch} Verzweigung wird eingesetzt wenn mehrere F\"alle
|
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auftreten k\"onnen, die einer unterschiedlichen Behandlung bed\"urfen.
|
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Sie wird mit dem Schl\"usselwort \code{switch} begonnen, gefolgt von der
|
|
\codeterm{switch Anweisung} (Zahl oder String). Jeder Fall, auf den diese
|
|
Anweisung \"uberpr\"uft werden soll, wird mit dem Schl\"usselwort
|
|
\code{case} eingeleitet. Dieses wird gefolgt von der \codeterm{case
|
|
Anweisung}, die definiert gegen welchen Fall auf
|
|
Gleichheit getestet wird. F\"ur jeden Fall wird der
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Programmcode angegeben, der ausgef\"uhrt werden soll. Optional k\"onnen
|
|
mit dem Schl\"usselwort \code{otherwise} alle nicht explizit genannten
|
|
F\"alle behandelt werden. Die \code{switch} Anweisung wird mit
|
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\code{end} beendet (z.B. in Listing \ref{switchlisting}).
|
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\begin{lstlisting}[label=switchlisting, caption={Grundger\"ust einer \varcode{switch} Anweisung.}]
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mynumber = input('Enter a number:');
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switch mynumber
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|
case -1
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|
disp('negative one');
|
|
case 1
|
|
disp('positive one');
|
|
otherwise
|
|
disp('something else');
|
|
end
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Wichtig ist hier, dass in jedem \code{case} auf Gleichheit der
|
|
switch-Anweisung und der case-Anweisung getestet wird.
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Vergleich \varcode{if} -- Anweisung und \varcode{switch} -- Verzweigung}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Mit der \code{if} Anweisung k\"onnen beliebige F\"alle
|
|
unterschieden und entsprechender Code ausgef\"uhrt werden.
|
|
\item Die \code{switch} Anweisung leistet \"ahnliches allerdings wird in
|
|
jedem Fall auf Gleichheit getestet.
|
|
\item Die \code{switch} Anweisung ist etwas kompakter, wenn viele F\"alle
|
|
behandelt werden m\"ussen.
|
|
\item Die \code{switch} Anweisung wird deutlich seltener benutzt und
|
|
kann immer durch eine \code{if} Anweisung erstezt werden.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
|
|
\subsection{Die Schl\"usselworte \code{break} und \code{continue}}
|
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|
Soll die Ausf\"uhrung einer Schleife abgebrochen oder \"ubersprungen
|
|
werden, werden die Schl\"usselworte \code{break} und
|
|
\code{continue} eingesetzt (Listings \ref{continuelisting}
|
|
und \ref{continuelisting} zeigen, wie sie eingesetzt werden k\"onnen).
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\begin{lstlisting}[caption={Abbrechen von Schleifen mit \varcode{break}.}, label=breaklisting]
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|
>> x = 1;
|
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while true
|
|
if (x > 3)
|
|
break;
|
|
end
|
|
disp(x);
|
|
x = x + 1;
|
|
end
|
|
% output:
|
|
1
|
|
2
|
|
3
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[caption={\"Uberspringen von Code-Abschnitten in Schleifen mit \varcode{continue}.}, label=continuelisting]
|
|
for x = 1:5
|
|
if(x > 2 & x < 5)
|
|
continue;
|
|
end
|
|
disp(x);
|
|
end
|
|
% output:
|
|
1
|
|
2
|
|
5
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
\begin{exercise}{logicalIndexingBenchmark.m}{logicalIndexingBenchmark.out}
|
|
Vergleich von logischem Indizieren und ``manueller'' Auswahl von
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Elementen aus einem Vektor. Es wurde oben behauptet, dass die
|
|
Auswahl von Elementen mittels logischem Indizieren effizienter
|
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ist. Teste dies indem ein Vektor mit vielen (100000) Zufallszahlen
|
|
erzeugt wird aus dem die Elemente gefiltert und gespeichert werden,
|
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die kleiner $0.5$ sind. Umgebe den Programmabschnitt mit den
|
|
Br\"udern \code{tic} und \code{toc}. Auf diese Weise misst \matlab{}
|
|
die zwischen \code{tic} und \code{toc} vergangene Zeit.
|
|
|
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\begin{enumerate}
|
|
\item Benutze eine \code{for} Schleife um die Elemente auszuw\"ahlen.
|
|
\item Benutze logisches Indizieren.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
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\begin{exercise}{simplerandomwalk.m}{}
|
|
Programmiere einen 1-D random walk. Ausgehend von der Startposition
|
|
$0$ ``l\"auft'' ein Agent zuf\"allig in die eine oder andere
|
|
Richtung.
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\begin{itemize}
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|
\item In dem Programm sollen 10 Realisationen eines random walk mit
|
|
jeweils 1000 Schritten durchgef\"uhrt werden.
|
|
\item Die Position des Objektes ver\"andert sich in jedem Schritt zuf\"allig um
|
|
+1 oder -1.
|
|
\item Merke Dir alle Positionen.
|
|
\item Plotte die Positionen als Funktion der Schrittnummer.
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\section{Skripte und Funktionen}
|
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\subsection{Was ist ein Programm?}
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|
Ein Programm ist eine Sammlung von Anweisungen, die in einer Datei auf
|
|
dem Rechner abgelegt sind. Wenn es durch den Aufruf zum Leben erweckt
|
|
wird, dann wird es Zeile f\"ur Zeile von oben nach unten ausgef\"uhrt.
|
|
|
|
\matlab{} kennt drei Arten von Programmen:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \codeterm[Skript]{Skripte}
|
|
\item \codeterm[Funktion]{Funktionen}
|
|
\item \codeterm[Objekt]{Objekte} (werden wir hier nicht behandeln)
|
|
\end{enumerate}
|
|
Alle Programme werden in den sogenannten \codeterm{m-files} gespeichert
|
|
(z.B. \file{meinProgramm.m}). Um sie zu benutzen werden sie von der
|
|
Kommandozeile aufgerufen oder in anderen Programmen
|
|
verwendet. Programme erh\"ohen die Wiederverwertbarkeit von
|
|
Programmcode. Bislang haben wir ausschlie{\ss}lich Skripte
|
|
verwendet. Dabei wurde jede Variable, die erzeugt wurde im
|
|
\codeterm{Workspace} abgelegt und konnte wiederverwendet werden. Hierin
|
|
liegt allerdings auch eine Gefahr. In der Regel sind Datenanalysen auf
|
|
mehrere Skripte verteilt und alle teilen sich den gemeinsamen
|
|
Workspace. Verwendet nun ein aufgerufenes Skript eine bereits
|
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definierte Variable und weist ihr einen neuen Wert zu, dann kann das
|
|
erw\"unscht und praktisch sein. Wenn es aber unbeabsichtigt passiert
|
|
kann es zu Fehlern kommen, die nur sehr schwer erkennbar sind, da ja
|
|
jedes Skript f\"ur sich enwandtfrei arbeitet. Eine L\"osung f\"ur
|
|
dieses Problem bieten die \codeterm[Funktion]{Funktionen}.
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\subsection{Funktionen}
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|
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Eine Funktion in \matlab{} wird \"ahnlich zu einer mathematischen
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Funktion definiert:
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|
\[ y = f(x) \]
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Die Funktion hat einen Namen $f$, sie h\"angt von einem Argument $x$
|
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ab und liefert ein Ergebnis $y$ zur\"uck. Listing
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|
\ref{functiondefinitionlisting} zeigt wie das in \matlab{} umgesetzt
|
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wird.
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\begin{lstlisting}[caption={Funktionsdefinition in \matlab{}}, label=functiondefinitionlisting]
|
|
function [y] = function_name(arg_1, arg_2)
|
|
% ^ ^ ^
|
|
% Rueckgabewert Argument_1, Argument_2
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
Ein Funktion beginnt mit dem Schl\"usselwort \code{function} gefolgt
|
|
von den R\"uckgabewerte(n), dem Funktionsnamen und (in Klammern) den
|
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Argumenten. Auf den Funktionskopf folgt der auszuf\"uhrende
|
|
Programmcode im Funktionsk\"orper. Die Funktionsdefinition wird
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|
% optional %XXX es ist vielleicht optional, aber gute stil ware es immer hinzuschreiben, oder?
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mit einem \code{end} abgeschlossen. Jede Funktion, die vom
|
|
Nutzer direkt verwendet werden soll, ist in einer eigenen Datei
|
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definiert. \"Uber die Definition/Benutzung von Funktionen wird folgendes erreicht:
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\begin{itemize}
|
|
\item Kapseln von Programmcode, der f\"ur sich eine Aufgabe l\"ost.
|
|
\item Definierte Schnittstelle.
|
|
\item Eigener G\"ultigkeitsbereich:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Variablen im Workspace sind in der Funktion \emph{nicht} sichtbar.
|
|
\item Variablen, die in der Funktion definiert werden erscheinen
|
|
\emph{nicht} im Workspace.
|
|
\end{itemize}
|
|
\item Erh\"oht die Wiederverwendbarkeit von Programmcode.
|
|
\item Erh\"oht die Lesbarkeit von Programmen, da sie
|
|
\"ubersichtlicher werden.
|
|
\end{itemize}
|
|
Das Folgende Beispiel (Listing \ref{badsinewavelisting}) zeigt eine
|
|
Funktion, die eine Reihe von Sinusschwingungen unterschiedlicher
|
|
Frequenzen berechnet und graphisch darstellt.
|
|
|
|
\begin{lstlisting}[caption={Ein schlechtes Beispiel einer Funktion, die eine Reihe Sinusse plottet.},label=badsinewavelisting]
|
|
function meine_erste_funktion() % Funktionskopf
|
|
t = (0:0.01:2); % hier faengt der Funktionskoerper an
|
|
frequenz = 1.0;
|
|
amplituden = [0.25 0.5 0.75 1.0 1.25];
|
|
|
|
for i = 1:length(amplituden)
|
|
y = sin(frequenz * t * 2 * pi) * amplituden(i);
|
|
plot(t, y)
|
|
hold on;
|
|
end
|
|
\end{lstlisting}
|
|
Das obige Beispiel ist ein Paradebeispiel f\"ur eine schlechte
|
|
Funktion. Sie hat folgende Probleme:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Der Name ist nicht aussagekr\"aftig.
|
|
\item Die Funktion ist f\"ur genau einen Zweck geeignet.
|
|
\item Was sie tut, ist festgelegt und kann von au{\ss}en nicht
|
|
beeinflusst oder bestimmt werden.
|
|
\item Sie tut drei Dinge auf einmal: Sinus berechnen \emph{und}
|
|
Amplituden \"andern \emph{und} graphisch darstellen.
|
|
\item Es ist nicht (einfach) m\"oglich an die berechneten Daten zu
|
|
kommen.
|
|
\item Keinerlei Dokumentation. Man muss den Code lesen und rekonstruieren, was sie tut.
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Bevor wir anfangen die Funktion zu verbessern mu{\ss} definiert werden
|
|
was das zu l\"osende Problem ist:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Welches Problem soll gel\"ost werden?
|
|
\item Aufteilen in Teilprobleme.
|
|
\item Gute Namen finden.
|
|
\item Definieren der Schnittstellen --- Was m\"ussen die beteiligten Funktionen
|
|
wissen? Was sollen sie zur\"uckliefern?
|
|
\item Daten zur\"uck geben (R\"uckgabewerte definieren).
|
|
\end{enumerate}
|
|
Das Beispielproblem aus Listing \ref{badsinewavelisting} kann in drei
|
|
Teilprobleme aufgetrennt werden. (i) Berechnen der \emph{einzelnen}
|
|
Sinusse. (ii) Plotten der jeweils berechneten Daten und (iii)
|
|
Koordination von Berechnung und Darstellung mit unterschiedlichen
|
|
Amplituden.
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|
|
\paragraph{I. Berechnung eines einzelnen Sinus}
|
|
|
|
Die Berechnung eines einzelnen Sinus ist ein typischer Fall f\"ur eine
|
|
Funktion. Wiederum macht man sich klar, (i) wie die Funktion
|
|
hei{\ss}en soll, (ii) welche Information sie ben\"otigt und (iii)
|
|
welche Daten sie zur\"uckliefern soll.
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item \codeterm[Funktion!Name]{Name}: der Name sollte beschreiben, was
|
|
die Funktion tut. In diesem Fall berechnet sie einen Sinus. Ein
|
|
geeigneter, kurzer Name w\"are also \code{sinewave()}.
|
|
\item \codeterm[Funktion!Argumente]{Argumente}: die zu brechnende
|
|
Sinusschwingung sei durch ihre Frequenz und die Amplitude
|
|
bestimmt. Des Weiteren soll noch festgelegt werden, wie lang der
|
|
Sinus sein soll und mit welcher zeitlichen Aufl\"osung gerechnet
|
|
werden soll. Es werden also vier Argumente ben\"otigt, sie k\"onnten
|
|
hei{\ss}en: \varcode{varamplitude}, \varcode{frequency},
|
|
\varcode{t\_max}, \varcode{t\_step}.
|
|
\item \codeterm[Funktion!R{\"u}ckgabewerte]{R\"uckgabewerte}: Um den
|
|
Sinus korrekt darstellen zu k\"onnen brauchen wir die Zeitachse und
|
|
die entsprechenden Werte. Es werden also zwei Variablen
|
|
zur\"uckgegeben: \varcode{time}, \varcode{sine}
|
|
\end{enumerate}
|
|
Mit dieser Information ist es nun gut m\"oglich die Funktion zu
|
|
implementieren (Listing \ref{sinefunctionlisting}).
|
|
|
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\begin{lstlisting}[caption={Funktion zur Berechnung eines Sinus.}, label=sinefunctionlisting]
|
|
function [time, sine] = sinewave(frequency, amplitude, t_max, t_step)
|
|
% Calculate a sinewave of a given frequency, amplitude, duration and temporal resolution.
|
|
% [time, sine] = sinewave(frequency, amplitude, t_max, t_step)
|
|
% Arguments: frequency, the frequency of the sine
|
|
% amplitude, the amplitude of the sine
|
|
% t_max, the duration of the sine in seconds
|
|
% t_step, the temporal resolution in seconds
|
|
% Returns: time, the time axis
|
|
% sine, the calculated sinewave
|
|
time = (0:t_step:t_max);
|
|
sine = sin(frequency .* time .* 2 * pi) .* amplitude;
|
|
end
|
|
\end{lstlisting}
|
|
|
|
|
|
\paragraph{II. Plotten einer einzelnen Schwingung}
|
|
Das Plotten der berechneten Sinuschwingung kann auch von einer
|
|
Funktion \"ubernommen werden. Diese Funktion hat keine andere Aufgabe,
|
|
als die Daten zu plotten. Ihr Name sollte sich an dieser Aufgabe
|
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orientieren (z.B. \code{plot\_function()}). Um einen einzelnen Sinus
|
|
zu plotten werden im Wesentlichen die x-Werte und die zugeh\"origen
|
|
y-Werte ben\"otigt. Da mehrere Sinus geplottet werden sollen ist es
|
|
auch sinnvoll eine Zeichenkette f\"ur die Legende an die Funktion zu
|
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\"ubergeben. Da diese Funktion keine Berechnung durchf\"uhrt wird kein
|
|
R\"uckgabewert ben\"otigt (Listing \ref{sineplotfunctionlisting}).
|
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\begin{lstlisting}[caption={Funktion zur graphischen Darstellung der Daten.}, label=sineplotfunctionlisting]
|
|
function plot_function(x_data, y_data, name)
|
|
% Plots x-data against y-data and sets the display name.
|
|
% plot_sinewave(x_data, y_data, name)
|
|
% Arguments: x_data, the x-data
|
|
% y_data, the y-data
|
|
% name, the displayname
|
|
plot(x_data, y_data, 'displayname', name)
|
|
end
|
|
\end{lstlisting}
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\paragraph{III. Erstellen eines Skriptes zur Koordinierung}
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Die letzte Aufgabe ist die Koordinierung der Berechung und des
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Plottens f\"ur mehrere Amplituden. Das ist die klassische Aufgabe
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f\"ur ein \codeterm{Skript}. Auch hier gilt es einen ausdrucksvollen Name zu
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finden. Da es keine Argumente und R\"uckgabewerte gibt, m\"ussen die
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ben\"otigten Informationen direkt in dem Skript defniniert werden. Es
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werden ben\"otigt: ein Vektor f\"ur die Amplituden, je eine Variable
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f\"ur die gew\"unschte Frequenz, die maximale Zeit auf der x-Achse und
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die zeitliche Aufl\"osung. Das Skript \"offnet schlie{\ss}lich noch
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eine neue Abbildung und setzt das \code{hold on} da nur das Skript
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wei{\ss}, das mehr als ein Plot erzeugt werden soll. Das Skript ist in
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Listing \ref{sinesskriptlisting} dargestellt.
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\begin{lstlisting}[caption={Kontrollskript zur Koordination von Berechnung und graphischer Darstellung.}, label=sinesskriptlisting]
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amplitudes = 0.25:0.25:1.25;
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frequency = 2.0;
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t_max = 10.0;
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t_step = 0.01;
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figure()
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hold on
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for i = 1:length(amplitudes)
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[x_data, y_data] = sinewave(frequency, amplitudes(i), ...
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t_max, t_step);
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plot_function(x_data, y_data, sprintf('freq: %5.2f, ampl: %5.2f',...
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frequency, amplitudes(i)))
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end
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legend('show')
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\end{lstlisting}
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\begin{exercise}{plotMultipleSinewaves.m}{}
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Erweitert das Programm so, dass auch ein Satz von Frequenzen benutzt
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wird.
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\end{exercise}
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\subsection{Fazit}
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Funktionen sind kleine Codefragmente, die
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\begin{enumerate}
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\item ... genau eine Aufgabe erledigen.
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\item ... Argumente entgegennehmen k\"onnen.
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\item ... R\"uckgabewerte haben k\"onnen.
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\item ... ihren eigenen G\"ultigkeitsbereich haben.
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\item ... Skripten fast immer vorzuziehen sind.
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\end{enumerate}
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Die vorangegangene Aussagen klingen, als ob Skripte zu
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verteufeln w\"aren und und vermieden werden sollten. Dem ist nicht
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so. In Wahrheit sind sie daf\"ur gemacht, Hand in Hand mit den
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Funktionen ein Problem zu l\"osen. W\"ahrend die Funktionen relativ
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kleine ``verdauliche'' Teilprobleme l\"osen. Sind die Skripte daf\"ur
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gemacht den Rahmen zu bilden und den Ablauf zu koordinieren (Abbildung
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\ref{programlayoutfig}).
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\begin{figure}
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\includegraphics[width=0.5\columnwidth]{./images/simple_program.pdf}
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\titlecaption{Ein typisches Programmlayout.}{Das Kontrollskript
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koordiniert den Aufruf der Funktionen, \"ubergibt Argumente und
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nimmt R\"uckgabewerte entgegen.}\label{programlayoutfig}
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\end{figure}
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