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\chapter{\tr{Point processes}{Punktprozesse}}
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\begin{figure}[t]
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\texpicture{pointprocessscetchB}
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\caption{\label{pointprocessscetchfig}Ein Punktprozess ist eine
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Abfolge von Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle
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$T_i=t_{i+1}-t_i$ oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben
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werden kann. }
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\end{figure}
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Ein zeitlicher Punktprozess ist ein stochastischer Prozess, der eine
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Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten $\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$,
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generiert.
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Jeder Punktprozess wird durch einen sich in der Zeit kontinuierlich
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entwickelnden Prozess generiert. Wann immer dieser Prozess eine
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Schwelle \"uberschreitet wird ein Ereigniss des Punktprozesses
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erzeugt. Zum Beispiel:
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\begin{itemize}
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\item Aktionspotentiale/Herzschlag: wird durch die Dynamik des
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Membranpotentials eines Neurons/Herzzelle erzeugt.
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\item Erdbeben: wird durch die Dynamik des Druckes zwischen
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tektonischen Platten auf beiden Seiten einer geologischen Verwerfung
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erzeugt.
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\item Zeitpunkt eines Grillen/Frosch/Vogelgesangs: wird durch die
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Dynamik des Nervensystems und des Muskelapparates erzeugt.
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\end{itemize}
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{rasterexamples}
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\caption{\label{rasterexamplesfig}Raster-Plot von jeweils 10
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Realisierungen eines station\"arenen Punktprozesses (homogener
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Poisson Prozess mit Rate $\lambda=20$\;Hz, links) und eines
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nicht-station\"aren Punktprozesses (perfect integrate-and-fire
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Neuron getrieben mit Ohrnstein-Uhlenbeck Rauschen mit
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Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).}
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\end{figure}
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F\"ur die Neurowissenschaften ist die Statistik der Punktprozesse
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besonders wichtig, da die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als
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zeitlicher Punktprozess betrachtet werden k\"onnen und entscheidend
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f\"ur die Informations\"ubertragung sind.
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Bei Punktprozessen k\"onnen wir die Zeitpunkte $t_i$ ihres Auftretens,
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die Intervalle zwischen diesen Zeitpunkten $T_i=t_{i+1}-t_i$, sowie
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die Anzahl der Ereignisse $n_i$ bis zu einer bestimmten Zeit betrachten
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(\figref{pointprocessscetchfig}).
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Zwei Punktprozesse mit verschiedenen Eigenschaften sind in
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\figref{rasterexamplesfig} als Rasterplot dargestellt, bei dem die
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Zeitpunkte der Ereignisse durch senkrechte Striche markiert werden.
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\section{Intervallstatistik}
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Die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ zwischen aufeinanderfolgenden
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Ereignissen sind reelle, positive Zahlen. Bei Aktionspotentialen
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(``Spikes'') heisen die Intervalle auch
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``Interspikeintervalle''. Deren Statistik kann mit den \"ublichen
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Gr\"o{\ss}en beschrieben werden.
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{isihexamples}\hfill
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\caption{\label{isihexamplesfig}Interspikeintervall Histogramme der in
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\figref{rasterexamplesfig} gezeigten Spikes.}
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\end{figure}
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\subsection{Intervallstatistik erster Ordnung}
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\begin{itemize}
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\item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$
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(\figref{isihexamplesfig}). Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT
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= 1$.
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\item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle =
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\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$.
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\item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T
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\rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex}
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\item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} =
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\frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$.
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\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} =
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\frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
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\end{itemize}
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\subsection{Korrelationen der Intervalle}
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In ``return maps'' werden die um das ``Lag'' $k$ verz\"ogerten
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Intervalle $T_{i+k}$ gegen die Intervalle $T_i$ geplottet. Dies macht
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m\"ogliche Abh\"angigkeiten von aufeinanderfolgenden Intervallen
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sichtbar.
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples}
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\includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples}
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\caption{\label{returnmapfig}Interspikeintervall return maps und
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serielle Korrelationen zwischen aufeinander folgenden Intervallen
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im Abstand des Lags $k$.}
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\end{figure}
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Solche Ab\"angigkeiten werden durch die serielle Korrelation der
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Intervalle quantifiziert. Das ist der Korrelationskoeffizient
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zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``Lag'' $k$:
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\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)}
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= {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \]
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\"Ublicherweise wird die Korrelation $\rho_k$ gegen den Lag $k$
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aufgetragen (\figref{returnmapfig}). $\rho_0=1$ (Korrelation jedes
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Intervalls mit sich selber).
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\section{Z\"ahlstatistik}
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% \begin{figure}[t]
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% \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz10ms}\hfill
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% \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz100ms}
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% \caption{\label{countstatsfig}Count Statistik.}
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% \end{figure}
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Die Anzahl der Ereignisse $n_i$ in Zeifenstern $i$ der
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L\"ange $W$ ergeben ganzzahlige, positive Zufallsvariablen die meist durch folgende
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Sch\"atzer charakterisiert werden:
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\begin{itemize}
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\item Histogramm der counts $n_i$.
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\item Mittlere Anzahl von Ereignissen: $\mu_N = \langle n \rangle$.
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\item Varianz der Anzahl: $\sigma_n^2 = \langle (n - \langle n \rangle)^2 \rangle$.
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\item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_n^2}{\mu_n}$.
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\end{itemize}
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Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz
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\[ r = \frac{\langle n \rangle}{W} \; . \]
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% \begin{figure}[t]
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% \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
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% Poisson process $\lambda=100$\,Hz:\\
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% \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonfano100hz}
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% \end{minipage}
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% \hfill
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% \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
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% LIF $I=10$, $\tau_{adapt}=100$\,ms:\\
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% \includegraphics[width=1\textwidth]{lifadaptfano10-100ms}
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% \end{minipage}
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% \caption{\label{fanofig}Fano factor.}
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% \end{figure}
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\section{Homogener Poisson Prozess}
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F\"ur kontinuierliche Me{\ss}gr\"o{\ss}en ist die Normalverteilung
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u.a. wegen dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine
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\"ahnliche Rolle spilet bei Punktprozessen der ``Poisson Prozess''.
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Beim homogenen Poisson Prozess treten Ereignisse mit einer festen Rate
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$\lambda=\text{const.}$ auf und sind unabh\"angig von der Zeit $t$ und
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unabh\"angig von den Zeitpunkten fr\"uherer Ereignisse
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(\figref{hompoissonfig}). Die Wahrscheinlichkeit zu irgendeiner Zeit
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ein Ereigniss in einem kleinen Zeitfenster der Breite $\Delta t$ zu
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bekommen ist
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\[ P = \lambda \cdot \Delta t \; . \]
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Beim inhomogenen Poisson Prozess h\"angt die Rate $\lambda$ von der
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Zeit ab: $\lambda = \lambda(t)$.
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz}
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\caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Spikes eines homogenen
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Poisson Prozesses mit $\lambda=100$\,Hz.}
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\end{figure}
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill
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\includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz}
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\caption{\label{hompoissonisihfig}Interspikeintervallverteilungen
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zweier Poissonprozesse.}
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\end{figure}
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Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften:
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\begin{itemize}
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\item Die Intervalle $T$ sind exponentiell verteilt: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$ (\figref{hompoissonisihfig}).
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\item Das mittlere Intervall ist $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$ .
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\item Die Varianz der Intervalle ist $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$ .
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\item Der Variationskoeffizient ist also immer $CV_{ISI} = 1$ .
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\item Die seriellen Korrelationen $\rho_k =0$ f\"ur $k>0$, da das
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Auftreten der Ereignisse unabh\"angig von der Vorgeschichte ist. Ein
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solcher Prozess wird auch Erneuerungsprozess genannt (``renewal
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process'').
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\item Die Anzahl der Ereignisse $k$ innerhalb eines Fensters der L\"ange W ist Poissonverteilt:
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\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]
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(\figref{hompoissoncountfig})
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\item Der Fano Faktor ist immer $F=1$ .
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\end{itemize}
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\begin{figure}[t]
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\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill
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\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms}
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\caption{\label{hompoissoncountfig}Z\"ahlstatistik von Poisson Spikes.}
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\end{figure}
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