\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}

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%%%%% text size %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\header{{\bfseries\large \"Ubung 4}}{{\bfseries\large Skripte und Funktionen}}{{\bfseries\large 14. Oktober, 2015}}
\firstpagefooter{Dr. Jan Grewe}{Phone: 29 74588}{Email:
  jan.grewe@uni-tuebingen.de}
\runningfooter{}{\thepage}{}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\begin{document}

\vspace*{-6.5ex}
\begin{center}
  \textbf{\Large Einf\"uhrung in die wissenschaftliche Datenverarbeitung}\\[1ex]
  {\large Jan Grewe, Jan Benda}\\[-3ex]
  Abteilung Neuroethologie \hfill --- \hfill Institut f\"ur Neurobiologie \hfill --- \hfill \includegraphics[width=0.28\textwidth]{UT_WBMW_Black_RGB} \\
\end{center}

Die folgenden Aufgaben dienen der Wiederholung, \"Ubung und
Selbstkontrolle und sollten eigenst\"andig bearbeitet und gel\"ost
werden. Im Gegensatz zu den vorherigen \"Ubungsbl\"attern k\"onnen die
L\"osungen nicht mehr in einer Datei gemacht werden. Die L\"osungen
also als zip-Archiv auf ILIAS hochladen. Das Archiv sollte nach dem Muster:
``skripte\_funktionen\_\{nachname\}.zip'' benannt werden.

\begin{questions}

  \question Implementiere die Fakult\"at als Funktion.
  \begin{parts}
    \part Version 1: berechnet die Fakult\"at von 5 und gib das
    Resultat auf dem Bildschirm aus.
    \part Version 2: \"ubernimmt als Argument die Zahl, von der die
    Fakult\"at berechnet werden soll.
    \part Wie 2 aber mit R\"uckgabe des berechneten Wertes.
  \end{parts}

  \question Implementiere eine Funktion, die einen Sinus mit der
  Amplitude 1 und der Frequenz 50\,Hz plottet:
  \begin{parts}
    \part Erweitere die Funktion sodass das Maximum der x-Werte, die
    Schrittweite, Amplitude, Frequenz und Phase als Argumente
    \"ubergeben werden k\"onnen.
    \part Gib sowohl den Sinus als auch die x-Werte zur\"uck.
  \end{parts}

  \question Schreibe eine Funktion, die bin\"are Datens\"atze (Montag)
  liest und die Daten als Vektor zur\"uckgibt. Welche Argumente muss
  die Funktion \"ubernehmen?

  \question Entwickle ein Programm, das einen 1-D random walk
  simuliert. Das Programm soll folgendes leisten:
  \begin{parts}
    \part Jede Simulation soll solange laufen, bis eine Abweichung
    vom Startwert von $\pm$ 50 erreicht ist.
    \part Es soll m\"oglich sein, die Wahrscheinlichkeit f\"ur eine
    der beiden Richtungen zu variieren. Variiere im Bereich 0.5 bis
    0.9.
    \part Simuliere 30 Realisationen des random walk pro
    Wahrscheinlichkeit.
    \part Es sollen die Positionen als Funktion der Schrittanzahl
    geplottet werden. Erstelle einen Plot pro
    Wahrscheinlichkeitsstufe.
    \part Wie entwickelt sich die mittlere ben\"otigte Schrittanzahl
    in Abh\"angigkeit der Wahrscheinlichkeit?  Stelle die Mittelwerte
    und die Standardabweichungen graphisch dar.
  \end{parts}

  \question Modellierung des exponentiellen Wachstums einer isolierten
  Population. Das exponentielle Wachstum einer isolierten Population
  wird \"uber folgende Differentialgleichung beschrieben:
  \begin{equation}
    \frac{dN}{dt} = N \cdot r,
  \end{equation}
  mit N der Populationsgr\"o{\ss}e und r der Wachstumsrate.
  \begin{parts}
    \part  L\"ose die Gleichung numerisch mit dem Euler Verfahren. 
    \part Implementiere eine Funktion die die Populationsgr\"o{\ss}e
    und die Zeit zur\"uckgibt.
    \part Plotte die Populationsgr\"o{\ss}e als Funktion der Zeit.
  \end{parts}
  
  \question Etwas realistischer ist das logistische Wachstum einer
  isolierten Population bei der das Wachstum durch die Kapazit\"at
  gedeckelt ist. Sie wird mit folgender Differentialgleichung
  beschrieben:
  \begin{equation}
    \frac{dN}{dt} = N \cdot r \cdot \left( 1 - \frac{N}{K} \right)
  \end{equation}
  mit N der Population, der Wachstumsrate r und K der ``tragenden''
  Kapazit\"at.
  \begin{parts}
    \part Implementiere die L\"osung des logistischen Wachstums in
    einer Funktion. Benutze das Euler Verfahren. 
    \part Die Funktion soll die Populationsgr\"o{\ss}e und die Zeit
    zur\"uckgeben.
    \part Simuliere das Wachstum mit einer Anzahl unterschiedlicher
    Startwerte f\"ur N.
    \part Stelle die Ergebnisse in einem Plot graphisch dar.
    \part Plotte die Wachstumsrate als Funktion der
    Populationsgr\"o{\ss}e.
  \end{parts}
 
\end{questions}

\end{document}