\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}
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\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
\else
\newcommand{\stitle}{}
\fi
\header{{\bfseries\large \"Ubung 8\stitle}}{{\bfseries\large Spiketrain Analyse}}{{\bfseries\large 6. Dezember, 2016}}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
jan.benda@uni-tuebingen.de}
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\lstset{
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\input{instructions}
\begin{questions}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Statistik von Spiketrains 2}
In Ilias findet ihr die Dateien \code{poisson.mat},
\code{pifou.mat}, und \code{lifadapt.mat}. Jede dieser Dateien
enth\"alt mehrere Trials von Spiketrains von einer bestimmten Art
von Neuron. Die Spikezeiten sind in Sekunden gemessen.
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir die Statistik der Spiketrains
der drei Neurone miteinander vergleichen.
Bereits im letzten \"Ubungszettel erstellte Funktionen d\"urfen (sollen!)
wiederverwendet werden.
\begin{parts}
\part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Stelle sie in Rasterplots dar.
\part Plotte die Interspike-Intervall Verteilungen.
Annotiere die Plots mit dem Mittelwert, der
Standardabweichung, und dem Variationskoeffizienten der
Interspikeintervalle, sowie der mittleren Feuerrate.
\part Vergleiche die ISI-Histogramme mit der ISI Verteilung eines Poisson Prozesses
der Rate $\lambda$:
\[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .\]
\part Erstelle Return-Maps f\"ur die drei Spiketrains, also jedes
Interspike-Intervall $T_{i+1}$ gegen das vorherige Intervall $T_i$
geplottet.
\part Schreibe eine Funktion, die die seriellen Korrelationen der
Interspikeintervalle f\"ur Lags bis zu \code{maxlag} berechnet und
plottet. Die Seriellen Korrelationen $\rho_k$ f\"ur Lag $k$ der
Interspikeintervalle $T_i$ sind die Korrelationskoeffizienten
zwischen den Interspikeintervallen $T_i$ und den um das Lag $k$
verschobenen Intervallen $T_{i+k}$:
\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i -
\langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T
\rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm
var}(T_i)} = {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \]
Benutze diese Funktion, um die Interspikeintervall-Korrelationen
der drei Neurone zu vergleichen.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/isiserialcorr.m}
\lstinputlisting{../code/plotserialcorr.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorr}}
\end{solution}
\end{parts}
\continue
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Homogener Poisson Prozess}
Wir wollen den homogenen Poisson Prozess benutzen um Spikes zu
generieren, mit denen wir die Analysfunktionen des vorherigen
Aufgaben \"uberpr\"ufen k\"onnen.
Ein homogener Poisson Prozess mit der Rate $\lambda$ (gemessen in
Hertz) ist ein Punktprozess, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses unabh\"angig von der Zeit $t$ und unabh\"angig von
vorherigen Ereignissen ist. Wenn wir die Zeitachse in kleine Bins
der Breite $\Delta t$ einteilen, dann ist
\[ P = \lambda \cdot \Delta t \]
die Wahrscheinlichkeit innerhalb eines Bins ein Ereignis (``spike'')
zu erhalten. $\Delta t$ muss daf\"ur klein genug sein, so dass $P<0.1$.
\begin{parts}
\part Schreibe eine Funktion die $n$ homogene Poisson Spiketrains
einer gegebenen Dauer $T_{max}$ mit Rate $\lambda$ erzeugt.
Falls das nicht gelingt, benutze f\"ur die folgenden Aufgaben
soweit m\"oglich spikes aus der Datei \code{poisson.mat}.
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonspikes.m}
\end{solution}
\part Benutze diese Funktion um einige Trials von Spikes zu erzeugen
und plotte diese als Spikeraster.
\begin{solution}
\begin{lstlisting}
spikes = hompoissonspikes( 10, 100.0, 0.5 );
spikeraster( spikes )
\end{lstlisting}
\mbox{}\\[-3ex]
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{poissonraster100hz}}
\end{solution}
\part Berechne Histogramme aus den Interspikeintervallen von $n$
Poisson Spiketrains mit der Rate $\lambda=100$\,Hz. Wie viele bins
werden f\"ur ein ``sch\"ones'' ISI-Histogramm ungef\"ahr ben\"otigt?
Ver\"andere \"uber die Dauer $T_{max}$ der Spiketrains und die
Anzahl $n$ der Trials die Anzahl der Intervalle. Wieviele
Interspikeintervalle werden ben\"otigt, um ein ``sch\"ones''
Histogramm zu erhalten? Wie lange m\"usste man also von dem Neuron
ableiten?
\begin{solution}
About 5000 intervals for 25 bins. This corresponds to a $5000 /
100\,\hertz = 50\,\second$ recording of a neuron firing with
100\,\hertz.
\end{solution}
\part Vergleiche Interspike-Intervall Histogramme von Poisson-Spikes
verschiedener Raten $\lambda$ mit der theoretisch zu erwartenden Verteilung
der Intervalle $T$ des Poisson Prozesses
\[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .\]
Achte darauf, dass die Bins des Histograms nicht kleiner als $\Delta t$ sind!
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonisih.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih100hz}}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih20hz}}
\end{solution}
\part \extra Was passiert mit den Histogrammen, wenn die Binbreite
der Histogramme kleiner als das bei der Erzeugung der Poisson
Spiketrains verwendete $\Delta t$ ist?
\begin{solution}
Die Bins zwischen der durch $\Delta t$ vorgegebenen
Diskretisierung haben den Wert 0. Dadurch werden aber die anderen
durch die Normierung h\"oher als sie sein sollten.
\end{solution}
\part Plotte den Mittelwert der Interspikeintervalle, die
dazugeh\"orige Standardabweichung und den Variationskoeffizienten
als Funktion der Rate $\lambda$ des Poisson Prozesses. Vergleiche
die Ergebnisse mit den theoretischen Erwartungen (siehe Vorlesungsskript).
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonisistats.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{poissonisistats}}
\end{solution}
\part Plotte die seriellen Korrelationen von Poisson-Spiketrains und
erkl\"are kurz das Ergebniss.
\begin{solution}
\mbox{}\\[-2ex]\hspace*{2cm}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{poissonserial100hz}}\\
Alle Korrelationen zwischen Interspikeintervallen sind Null, da
beim Poisson Prozess das Auftreten jedes Spikes unabh\"angig von
den vorherigen Spikes ist.
\end{solution}
\end{parts}
\end{questions}
\end{document}