%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{\tr{Programming basics}{Programmierung in \matlab}} \section{Variablen und Datentypen} \subsection{Variablen} Eine Variable ist ein Zeiger auf eine Stelle im Speicher. Dieser Zeiger hat einen Namen, den Variablennamen, und einen Datentyp (Abbildung \ref{variablefig}). Im Speicher wird der Wert der Variablen bin\"ar gespeichert. Wird auf den Wert der Variable zugegriffen, wird dieses Bitmuster je nach Datentyp interpretiert. Das Beispiel in Abbildung \ref{variablefig} zeigt, dass das gleiche Bitmuster im einen Fall als 8-Bit Integer Datentyp zur Zahl 38 interpretiert wird und im anderen Fall als Character zum kaufm\"annischen ``und'' ausgewertet wird. In \matlab{} sind Datentypen nicht von sehr zentraler Bedeutung. Wir werden uns dennoch sp\"ater etwas genauer mit ihnen befassen. \begin{figure} \centering \begin{subfigure}{.5\textwidth} \includegraphics[width=0.8\textwidth]{variable} \label{variable:a} \end{subfigure}% \begin{subfigure}{.5\textwidth} \includegraphics[width=.8\textwidth]{variableB} \label{variable:b} \end{subfigure} \titlecaption{Variablen.}{Variablen sind Zeiger auf eine Adresse im Speicher, die einen Namen und einen Datentypen beinhalten. Im Speicher ist der Wert der Variable bin\"ar gespeichert. Abh\"angig vom Datentyp wird dieses Bitmuster unterschiedlich interpretiert.}\label{variablefig} \end{figure} \subsection{Erzeugen von Variablen} In \matlab{} kann eine Variable auf der Kommandozeile, in einem Skript oder einer Funktion an beliebiger Stelle erzeugt werden. Listing \ref{VarListing1} zeigt zwei M\"oglichkeiten dies zu tun: \begin{lstlisting}[label=varListing1, caption=Erzeugen von Variablen.] >> y = [] y = [] >> >> x = 38 x = 38 \end{lstlisting} Die Zeile 1 kann etwa so gelesen werden:''Erzeuge eine Variable mit dem Namen y und weise ihr einen leeren Wert zu''. Das Gleichheitszeichen ist der sogenannte \codeterm{Zuweisungsoperator}. Zeile 5 definiert eine Variable x, der nun der Zahlenwert 38 zugewiesen wird. Da \matlab{}, wenn nicht anders angegeben, immer den ``double'' Datentypen benutzt, haben beide Variablen diesen Datentyp. \begin{lstlisting}[label=varListing2, caption={Erfragen des Datentyps einer Variable, Listen aller definierten Variablen.}] >>disp(class(x)) double >> >> who % oder whos um mehr Information zu bekommen \end{lstlisting} \begin{important} Bei der Namensgebung ist zu beachten, dass \matlab{} auf Gro{\ss}- und Kleinschreibung achtet und ein Variablennane mit einem alphabetischen Zeichen beginnen muss. Des Weiteren sind Umlaute, Sonder- und Leerzeichen in Variablennamen nicht erlaubt. \end{important} \subsection{Arbeiten mit Variablen} Nat\"urlich kann mit den Variablen auch gearbeitet, bzw. gerechnet werden. \matlab{} kennt alle normalen arithmetischen Operatoren wie \code{+}, \code{-}, \code{*} und \code{/}. Die Potenz wird \"uber das Dachsymbol \code{\^} dargestellt. Listing \ref{varListing3} zeigt, wie sie benutzt werden. \begin{lstlisting}[label=varListing3, caption={Rechnen mit Variablen.}] >> x = 1; >> x + 10 ans = 11 >> >> x % x wurde nicht veraendert ans = 1 >> >> y = 2; >> >> x + y ans = 3 >> >> z = x + y z = 3 >> >> z = z * 5; >> z z = 15 >> >> clear z \end{lstlisting} Beachtenswert ist z.B. in Zeilen 3 und 6, dass mit dem Inhalt einer Variablen gerechnet werden kann, ohne dass dadurch ihr Wert ver\"andert wird. Wenn der Wert einer Variablen ver\"andert werden soll, dann muss der Variable der neue Wert explizit zugewiesen werden (mit dem \code{=} Zuweisungsoperator, z.B. Zeilen 16, 20). Zeile 25 zeigt wie eine einzelne Variable gel\"oscht wird. \subsection{Datentypen} Der Datentyp bestimmt, wie die im Speicher abgelegten Bitmuster interpretiert werden. Die wichtigsten Datentpyen sind: \begin{itemize} \item \codeterm{integer} - Ganze Zahlen. Hier gibt es mehrere Unterarten, die wir in \matlab{} (meist) ignorieren k\"onnen. \item \codeterm{double} - Flie{\ss}kommazahlen. Im Gegensatz zu den reelen Zahlen, die durch diesen Datentyp dargestellt werden, sind sie abz\"ahlbar. \item \codeterm{complex} - Komplexe Zahlen. \item \codeterm{logical} - Boolesche Werte, die als wahr (\code{true}) oder falsch (\code{false}) interpretiert werden. \item \codeterm{char} - ASCII Zeichen \end{itemize} Unter den numerischen Datentypen gibt es verschiedene Arten mit unterschiedlichem Speicherbedarf und Wertebreich. \begin{table}[!h] \centering \titlecaption{Grundlegende numerische Datentypen und ihr Wertebereich.}{} \label{dtypestab} \begin{tabular}{llcl}\hline Datentyp & Speicherbedarf & Wertebereich & Beispiel \rule{0pt}{2.5ex} \\ \hline double & 64 bit & $\approx -10^{308}$ bis $\approx 10^{308} $& Flie{\ss}kommazahlen.\rule{0pt}{2.5ex}\\ int & 64 bit & $-2^{31}$ bis $2^{31}-1$ & Ganzzahlige Werte \\ int16 & 16 bit & $-2^{15}$ bis $2^{15}-1$ & Digitalisierte Spannungen. \\ uint8 & 8 bit & $0$ bis $255$ & Digitalisierte Imaging Daten. \\ \hline \end{tabular} \end{table} \matlab{} arbeitet meist mit dem ``double'' Datentyp wenn numerische Daten gespeichert werden. Dennoch lohnt es sich, sich ein wenig mit den Datentypen auseinanderzusetzen (Box \ref{daqbox}). \begin{ibox}[t]{\label{daqbox}Digitalisierung von Messdaten} Szenario: Die elektrische Aktivit\"at (z.B. die Membranspannung) einer Nervenzelle wird gemessen. Die gemessene Spannung wird mittels Messkarte digitalisiert und auf dem Computer f\"ur weitere Analysen gespeichert. Typischerweise k\"onnen mit solchen Messkarten Spannungen im Bereich $\pm 10$\,V gemessen werden. Die Aufl\"osung der Analog-Digitalwandler betr\"agt heutzutage meistens 16 bit. Das heisst, dass der gesamte Spannungsbereich in $2^{16}$ Schritte eingeteilt ist. Die gemessenene Spannung wird auf digitalisierte Werte abgebildet.\vspace{0.25cm} \begin{minipage}{0.5\textwidth} \includegraphics[width=0.9\columnwidth]{data_acquisition} \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\textwidth} Um die Spannung auf den \code{int16} Datentyp abzubilden: \[ y = x \cdot 2^{16}/20\] mit $x$ der gemessenen Spannung und $y$ dem digitalisierten Wert bei einem Spannungsbereich von $\pm10$\,V. Das ergibt ganzzahlige Werte zwischen $-2^{15}=-32768$ und $2^{15}-1 = 32767$. Durch Umkehrung kann der digitalisierte Wert wieder in eine Spannung zur\"uckgewandelt werden: \[ x = y \cdot 20/2^{16} \] \end{minipage}\vspace{0.25cm} Um Speicherplatz zu sparen ist es sinnvoll, die gemessenen Daten als ``int16'' anstelle der ``double'' Werte im Rechner abzulegen. Die Daten als ``echte'' Spannungen, also als Flie{\ss}kommawerte, abzulegen ben\"otigt den 4-fachen Speicherplatz (8 statt 2 Bytes) und bietet keine zus\"atzliche Information. \end{ibox} \section{Vektoren und Matrizen} Vektoren und Matrizen sind die wichtigsten Datenstrukturen in \matlab{}. In anderen Programmiersprachen hei{\ss}en sie ein- bzw. mehrdimensionalen Felder. Felder sind Datenstrukturen, die mehrere Werte des gleichen Datentyps in einer Variablen vereinen. Da \matlab{} seinen Ursprung in der Verarbeitung von mathematischen Vektoren und Matrizen hat, werden sie hier auch so genannt. Dabei macht \matlab{} intern keinen Unterschied zwischen Vektoren und Matrizen. Vektoren sind 2--dimensionale Matrizen, bei denen eine Dimension die Gr\"o{\ss}e 1 hat. \subsection{Vektoren} Im Gegensatz zu Variablen, die einzelene Werte beinhalten (Skalare), kann ein Vektor mehrere Werte des gleichen Datentyps beinhalten (Abbildung \ref{vectorfig} B). Die Variable \code{a} enth\"alt im Beispiel in Abbildung \ref{vectorfig} vier ganzzahlige Werte. \begin{figure} \includegraphics[width=0.8\columnwidth]{scalarArray} \titlecaption{Skalare und Vektoren.}{\textbf{A)} Eine skalare Variable kann genau einen Wert tragen. \textbf{B)} Ein Vektor kann mehrer Werte des gleichen Datentyps (z.B. ganzzahlige Integer Werte) beinhalten. \matlab{} kennt den Zeilen- (row-) und Spaltenvektoren (columnvector).}\label{vectorfig} \end{figure} Das folgende Listing \ref{arrayListing1} zeigt, wie einfache Vektoren erstellt werden k\"onnen. \begin{lstlisting}[label=arrayListing1, caption={Erstellen einfacher Zeilenvektoren.}] >> a = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] % Erstellen eines Zeilenvektors a = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> >> b = (0:9) % etwas bequemer b = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> >> c = (0:2:10) c = 0 2 4 6 8 10 \end{lstlisting} Die L\"ange eines Vektors, d.h. die Anzahl der Elemente des Vektors, kann mithilfe der Funktionen \code{length()} und \code{numel} bestimmt werden. \"Ahnliche Information kann \"uber die Funktion \code{size()} erhalten werden (Listing \ref{arrayListing2}). Im Falle des Vektors \code{a} von oben erh\"alt man folgende Ausgabe: \begin{lstlisting}[label=arrayListing2, caption={Gr\"o{\ss}e von Vektoren.}] >> length(a) ans = 10 >> size(a) ans = 1 10 \end{lstlisting} Diese Ausgabe zeigt, dass Vektoren im Grunde 2-dimensional sind. Bei einem Zeilenvektor hat die erste Dimension die Gr\"o{\ss}e 1. \code{length(a)} gibt die l\"angste Ausdehnung an. Der \code{'}- Operator transponiert den Spaltenvektor zu einem Zeilenvektor (Zeilen 14 ff.). \begin{lstlisting}[label=arrayListing3, caption={Spaltenvektoren.}] >> b = [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10] % Erstellen eines Spaltenvektors b = 1 2 ... 9 10 >> length(b) ans = 10 >> size(b) ans = 10 1 >> b = b'; % Transponieren >> size(b) ans = 1 10 \end{lstlisting} \subsubsection{Zugriff auf Inhalte von Vektoren} \begin{figure} \includegraphics[width=0.4\columnwidth]{arrayIndexing} \titlecaption{Indices von Vektoren.}{Jedes Feld eines Vektors hat einen Index mit dem auf den jeweiligen Inhalt zugegriffen werden kann.}\label{vectorindexingfig} \end{figure} Der Zugriff auf die Inhalte eines Vektors erfolgt \"uber den Index (Abbildung \ref{vectorindexingfig}). Jedes Feld in einem Vektor hat einen fortlaufenden \codeterm{Index}, \"uber den auf die Werte des Vektors zugegriffen werden kann. Dabei spielt es keine Rolle, ob es sich um einen Zeilen- oder Spaltenvektor handelt. \begin{important} Anders als viele andere Sprachen beginnt \matlab{} mit dem Index 1. Der Zugriff auf Inhalte eines Vektors mittels seines Indexes wird Indizieren genannnt. \end{important} Die Listings \ref{arrayListing4} und \ref{arrayListing5} zeigen wie mit Indexen auf die Inhalte eines Vektors zugegriffen werden kann. \begin{lstlisting}[label=arrayListing4, caption={Zugriff auf den Inhalt von Vektoren I}] >> a = (11:20); >> a(1) % das 1. Element ans = 11 >> a(5) % das 5. Element ans = 15 >> a(end) % das letzte Element ans = 20 \end{lstlisting} Hierbei kann auf einzelne Werte zugegriffen werden oder, analog zur Erzeugung von Vektoren, die \code{:} Notation verwendet werden, um auf mehrere Element gleichzeitig zuzugreifen. \begin{lstlisting}[caption={Zugriff auf den Inhalt von Vektoren I}, label=arrayListing5] >> a([1 3 5]) % das 1., 3. und 5. Element ans = 11 13 15 >> a(2:4) % alle Elemente von Index 2 bis einschliesslich 4 ans = 12 13 14 >> a(1:2:end) % jedes zweite Element ans = 11 13 15 17 19 >> a(:) % alle Elemente ans = 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 \end{lstlisting} \begin{exercise}{vectorsize.m}{vectorsize.out} Der R\"uckgabewert von \code{size(a)} ist wieder ein Vektor der L\"ange 2. Wie k\"onnte man also die Gr\"o{\ss}e von \code{a} in der zweiten Dimension herausfinden? \end{exercise} \subsubsection{Operationen auf Vektoren} Mit Vektoren kann sehr einfach gerechnet werden. Listing \ref{arrayListing6} zeigt Rechnungen mit Vektoren. \begin{lstlisting}[caption={Rechnen mit Vektoren.},label=arrayListing6] >> a = (0:2:8); >> a + 5 % addiere einen Skalar ans = 5 7 9 11 13 >> a - 5 % subtrahiere einen Skalar ans = -5 -3 -1 1 3 >> a .* 2 % Multiplikation ans = 0 4 8 12 16 >> a ./ 2 % Division ans = 0 1 2 3 4 >> a(1:3) + a(2:4) % Addieren von 2 Vektoren ans = 2 6 10 >> >> a(1:2) + a(2:4) % Vektoren muessen gleich gross sein! ??? Error using ==> plus Matrix dimensions must agree. \end{lstlisting} Wird ein Vektor mit einem skalaren Wert verrechnet, dann ist das problemlos m\"oglich. Bei der Multiplikation (Zeile 10), der Division (Zeile 14) und auch der Potenzierung mu{\ss} mit vorangestellem '.' klar gemacht werden, dass es sich um eine \emph{elementweise} Verarbeitung handeln soll. F\"ur diese elementweisen Operationen kennt \matlab{} die Operatoren \code{.*}, \code{./} und \code{.\^}. Die einfachen Operatoren \code{*}, \code{/} und \code{\^} sind mit den entsprechenden Matrixoperationen aus der linearen Algebrar belegt (Box \ref{matrixmultiplication}). Zu Beachten ist des Weiteren noch die Fehlermeldung am Schluss von Listing \ref{arrayListing6}. Wenn zwei Vektoren (elementweise) miteinander verrechnet werden sollen, muss nicht nur die Anzahl der Elemente \"ubereinstimmen, sondern es muss auch das Layout (Zeilen- oder Spaltenvektoren) \"ubereinstimmen. Will man Elemente aus einem Vektor entfernen, dann weist man den entsprechenden Zellen einen leeren Wert (\code{[]}) zu. \begin{lstlisting}[label=arrayListing7, caption={L\"oschen von Elementen aus einem Vektor.}] >> a = (0:2:8); >> length(a) ans = 5 >> a(1) = [] % loesche das erste Element a = 2 4 6 8 >> a([1 3]) = [] a = 4 8 >> length(a) ans = 2 \end{lstlisting} Neben dem L\"oschen von Vektorinhalten k\"onnen Vektoren auch erweitert oder zusammengesetzt werden. Auch hier muss das Layout der Vektoren \"ubereinstimmen (Listing \ref{arrayListing8}, Zeile 12). Will man einen Vektor erweitern, kann man \"uber das Ende hinaus zuweisen. \matlab{} erweitert dann die Variable. Dieser Vorgang ist ``rechenintensiv'' und sollte, soweit m\"oglich, vermieden werden. \begin{lstlisting}[caption={Zusammenf\"ugen und Erweitern von Vektoren.}, label=arrayListing8] >> a = (0:2:8); >> b = (10:2:19); >> c = [a b] % erstelle einen Vektor aus einer Liste von Vektoren c = 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 >> length(c) ans = 10 >> length(a) + length(b) ans = 10 >> c = [a b']; Error using horzcat Dimensions of matrices being concatenated are not consistent. >> b(6:8) = [1 2 3 4]; In an assignment A(:) = B, the number of elements in A and B must be the same. \end{lstlisting} \subsection{Matrizen} Im Gegesatz zu den 1-dimensionalen Vektoren k\"onnen Martizen n-dimensional sein, das hei{\ss}t, dass sie beliebig viele Dimensionen haben k\"onnen. Von praktischer Bedeutung sind allerdings nur Matrizen mit bis zu vier Dimensionen. Meist beschr\"ankt es sich jedoch auf 2- bis 3-d Matrizen (Abbildung \ref{matrixfig} A,B). \begin{figure} \includegraphics[width=0.5\columnwidth]{matrices} \titlecaption{Matrizen.}{\textbf{A)} Eine Variable (``test'') die eine 2-dimensionale Matrize ist. \textbf{B)} Illustration einer 3-dimensionalen Matrize. Die Pfeile zeigen den Rang der Dimensionen an.}\label{matrixfig} \end{figure} Erzeugt werden Matrizen sehr \"ahnlich zu den Vektoren (Listing \ref{matrixListing}). Die Definition einer Matrize wird, wie beim Vektor, durch \code{[]} eingeschlossen. Das \code{;} trennt die einzelnen Zeilen der Matrize. \begin{lstlisting}[label=matrixListing, caption={Erzeugen von Matrizen.}] >> a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] >> a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> >> b = ones(3,3,2); >> b b(:,:,1) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b(:,:,2) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \end{lstlisting} Zur Defintion von mehr-dimensionalen Matrizen ist die Notation in Zeile 1 nicht geeignet. Es gibt allerdings eine Reihe von Helferfunktionen, die n-dimensionale Matrizen erstellen k\"onnen (z.B. \code{ones}, Zeile 7). Sollte sich die Notwendigkeit ergeben mehrdimensionale Matrizen zusammenzuf\"ugen hilft die \code{cat} Funktion. Um Informationen \"uber die Gr\"o{\ss}e einer Matrize zu bekommen ist die Funktion \code{length} nicht geeignet. Wie oben erw\"ahnt gibt sie die Gr\"o{\ss}e der l\"angsten Dimension aus. Wann immer es um Matrizen geht, wird \code{size} benutzt. \begin{figure} \includegraphics[width=0.9\columnwidth]{matrixIndexing} \titlecaption{Indices von Matrizen.}{Jedes Feld einer Matrize wird durch einen Index individuell angesprochen. Der Index setzt sich aus so vielen Zahlen zusammen wie es Dimensionen gibt (links 2, rechts 3). Dabei steht die 1. Stelle immer f\"ur die Zeile, die 2. f\"ur die Spalte und die dritte f\"ur das Blatt, etc.. }\label{matrixindexingfig} \end{figure} Der Zugriff auf Inhalte von Matrizen erfolgt \"uber den Index (Abbildung \ref{matrixindexingfig}, Listing \ref{matrixIndexing}). \"Ahnlich zu den Positionen in einem Koordinatensystem wird jede Zelle einer Matrize mit einem Index angesprochen, der aus $n$ Zahlen besteht wobei $n$ die Dimensionalit\"at der Matrize ist. Diese Art des Zugriffs wird \codeterm{subscript indexing} genannt. \begin{lstlisting}[caption={Zugriff auf Inhalte von Matrizen, Indizierung.}, label=matrixIndexing] >> x = randi(100, [3, 4, 5]); % 3-D Matrix mit Zufallszahlen >> size(x) ans = 3 4 5 >> x(1,1,1); % obere linke Ecke ans(1,1,1) = 14 >> >> x(1,1,:) % obere linke Ecke entlang der 3. Dimension ans(1,1,:) = 14 ans(:,:,2) = 58 ans(:,:,3) = 4 ans(:,:,4) = 93 ans(:,:,5) = 56 \end{lstlisting} Alternativ zum \codeterm{subscript indexing} k\"onnen die Zellen einer Matrize auch \emph{linear} angesprochen werden (Abbildung \ref{matrixlinearindexingfig}). Diese Art der Adressierung ist nicht so intuitiv verst\"andlich, kann aber sehr hilfreich sein. Der ``linare'' Index einer Zelle reicht von 1 bis \code{numel(M)} Elemente. Wobei dieser erst entlang der 1. Dimension, dann der 2., 3. etc. Dimension ansteigt. Listing \ref{matrixLinearIndexing} zeigt ein Beispiel f\"ur den Einsatz des linearen Indizierens z.B. wenn man den Minimalwert aller Elemente einer Matrize ermitteln m\"ochte. \begin{figure} \includegraphics[width=0.9\columnwidth]{matrixLinearIndexing} \titlecaption{Lineares Indizieren von Matrizen.}{Der Index steigt linear von 1 bis zur Anzahl Elemente in der Matrize an. Dabei steigt der Index zuerst entlang der ersten, zweiten, dritten und weiterer Dimensionen an.}\label{matrixlinearindexingfig} \end{figure} \begin{lstlisting}[label=matrixLinearIndexing, caption={Lineares Indizieren in Matrizen.}] >> x = randi(100, [3, 4, 5]); % 3-D Matrix mit Zufallszahlen >> size(x) ans = 3 4 5 >> numel(x) ans = 60 >> min(min(min(x))) % Minumum uber die Zeilen, Spalten, Blaetter... ans = 4 >> min(x(:)) % oder so ans = 4 \end{lstlisting} Beim Rechnen mit Matrizen gelten die gleichen Regeln wie bei Vektoren. Matrizen k\"onnen solange elementweise miteinander verrechnet werden, wie die Dimensionalit\"aten \"ubereinstimmen. Besondere Vorsicht sollte man immer dann walten lassen, wenn man Matrizen miteinander multiplizieren, dividieren oder potenzieren will. Hier ist es wichtig sich klarzumachen was man will: Eine elementweise Multiplikation (\code{.*} Operator, Listing \ref{matrixOperations} Zeile 18) oder ob eine Matrixmultiplikation (\code{*} Operator, Listing \ref{matrixOperations} Zeile 12, Box \ref{matrixmultiplication}) durchgef\"uhrt werden soll. \begin{lstlisting}[label=matrixOperations, caption={Zwei Arten von Multiplikationen auf Matrizen.}] >> A = randi(10, [3, 3]) % 2-D Matrix A = 3 8 2 2 10 3 10 7 1 >> B = randi(10, [3, 3]) % dto B = 2 1 7 1 5 9 5 10 5 >> >> A * B % Matrix Multiplikation ans = 24 63 103 29 82 119 32 55 138 >> >> A .* B % Elementweise Multiplikation ans = 6 8 14 2 50 27 50 70 5 \end{lstlisting} \begin{ibox}[t]{\label{matrixmultilication} Matrixmultiplikation.} \end{ibox} \section{Boolesche Operationen} Boolesche Ausdr\"ucke sind Anweisungen, die zu \codeterm{wahr} oder \codeterm{falsch} ausgewertet werden. Man kennt sie z.B. aus der Mengenlehre. In der Programmierung werdens sie eingesetzt, um z.B. die Beziehung zwischen Entit\"aten zu testen. Hierzu werden die \codeterm{relationalen Operatoren} (\code{>}, \code{<}, \code{==}, \code{!}, gr\"o{\ss}er als, kleiner als, gleich und nicht) eingesetzt. Mehrere Ausdr\"ucke werden mittels der \codeterm{logischen Operatoren} (\code{\&}, \code{|}, UND, ODER ) verkn\"upft. Sie sind f\"ur uns nicht nur wichtig um Codeabschnitte bedingt auszuf\"uhren (Verzweigungen, \ref{controlstructsec}) sondern auch um aus Vektoren und Matrizen bequem Elemente auszuw\"ahlen (logisches Indizieren, \ref{logicalindexingsec}). Die folgenden Tabellen zeigen die Wahrheitstabellen f\"ur das logische UND (\ref{logicalandor}, links) aund das logische ODER (\ref{logicalandor}, rechts). Es werden die Aussagen A und B mit dem Operator verkn\"upft. Beim logischen UND ist der gesamte Ausdruck nur dann wahr, wenn beide Ausdr\"ucke sich zu wahr auswerten lassen. \begin{table}[tp] \titlecaption{Wahrheitstabellen logisches UND (links) und logisches ODER (rechts).}{}\label{logicalandor} \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth} \begin{tabular}{llll} \multicolumn{2}{l}{\multirow{2}{*}{}} & \multicolumn{2}{c}{\textbf{B}} \\ \multicolumn{2}{l}{} & \multicolumn{1}{|c|}{wahr} & falsch \\ \cline{2-4} \multirow{2}{*}{\textbf{A}} & \multicolumn{1}{l|}{wahr} & \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{mygreen}{wahr}} & \textcolor{red}{falsch} \\ \cline{2-4} & \multicolumn{1}{l|}{falsch} & \multicolumn{1}{l|}{\textcolor{red}{falsch}} & \textcolor{red}{falsch} \end{tabular} \end{minipage} \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth} \begin{tabular}{llll} \multicolumn{2}{l}{\multirow{2}{*}{}} & \multicolumn{2}{c}{\textbf{B}} \\ \multicolumn{2}{l}{} & \multicolumn{1}{|c|}{wahr} & falsch \\ \cline{2-4} \multirow{2}{*}{\textbf{A}} & \multicolumn{1}{l|}{wahr} & \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{mygreen}{wahr}} & \textcolor{mygreen}{wahr} \\ \cline{2-4} & \multicolumn{1}{l|}{falsch} & \multicolumn{1}{l|}{\textcolor{mygreen}{wahr}} & \textcolor{red}{falsch} \end{tabular} \end{minipage} \end{table} Anders ist das beim logischen ODER. Hier ist der gesamte Ausdruck wahr, wenn sich der eine \emph{oder} der andere Ausdruck zu wahr auswerten l\"a{\ss}t. Tabelle \ref{logicaloperators} zeigt die logischen Operatoren, die in \matlab{} definiert sind. Zu bemerken sind hier noch die \code{\&\&} und \code{||} Operatoren. Man kann beliebige Ausdr\"ucke verkn\"upfen und h\"aufig kann schon anhand des ersten Ausdrucks entschieden werden, ob der gesamte Boolesche Ausdruck zu wahr oder falsch ausgewertet werden wird. Wenn zwei Aussagen mit einem UND verkn\"upft werden und der erste zu falsch ausgewerte wird, dann muss der zweite gar nicht mehr gepr\"uft werden. Die Verwendung der ``short-circuit'' Versionen spart Rechenzeit. Das auschliessende ODER (XOR) ist in \matlab{} nur als Funktion \code{xor(A, B)} verf\"ugbar. \begin{table}[th] \titlecaption{\label{logicaloperators} Logische Operatoren in \matlab.}{} \begin{center} \begin{tabular}{c|c} \hline \textbf{Operator} & \textbf{Beschreibung} \\ \hline $\sim$ & logisches NOT\\ $\&$ & logisches UND\\ $|$ & logisches ODER\\ $\&\&$ & short-circuit logical UND\\ $\|$ & short-circuit logical ODER\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} Um Werte miteinander zu vergleichen gibt es die \codeterm{relationalen Operatoren} (Tabelle \ref{relationaloperators}). Mit ihnen kann man auf Dinge wie Gleicheit (\code{==}) gr\"o{\ss}er oder kleiner als (\code{>}, \code{<}) testen. \begin{table}[th] \titlecaption{\label{relationaloperators} Relationale Operatoren in \matlab.}{} \begin{center} \begin{tabular}{c|c} \hline \textbf{Operator} & \textbf{Beschreibung} \\ \hline $<$ & kleiner als\\ $>$ & gr\"osser als \\ $==$ & gleich \\ $>=$ & gr\"osser oder gleich \\ $<=$ & kleiner oder gleich \\ $\sim=$ & ungleich\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} Das Ergebnis eines Booleschen Ausdrucks ist immer vom Datentyp \codeterm{logical}. Man kann jede beliebige Variable zu wahr oder falsch auswerten indem man in den Typ \code{logical} umwandelt. Dabei werden von \matlab{} alle Werte, die nicht 0 sind als wahr eingesch\"atzt. Listing \ref{booleanexpressions} zeigt einige Beispiele. \matlab{} kennt die Schl\"usselworte \code{true} und \code{false}. Diese sind jedoch nur Synonyme f\"ur die \code{logical} Werte 1 und 0. Man beachte, dass der Zuweisungsoperator \code{=} und der logische Operator \code{==} zwei grundverschiedene Dinge sind. Da sie umgangsprachlich gleich sind kann man sie leider leicht verwechseln. \begin{lstlisting}[caption={Boolesche Ausdr\"ucke.}, label=booleanexpressions] >> true ans = 1 >> false ans = 0 >> logical(1) ans = 1 >> 1 == true ans = 1 >> 1 == false ans = 0 >> logical('test') ans = 1 1 1 1 >> 1 > 2 ans = 0 >> 1 < 2 ans = 1 >> x = [2 0 0 5 0] & [1 0 3 2 0] x = 1 0 0 1 0 >> ~([2 0 0 5 0] & [1 0 3 2 0]) ans = 0 1 1 0 1 >> [2 0 0 5 0] | [1 0 3 2 0] ans = 1 0 1 1 0 \end{lstlisting} \section{Logisches Indizieren}\label{logicalindexingsec} Einer der wichtigsten Einsatzorte f\"ur Bollesche Ausdr\"ucke ist das logische Indizieren. Das logische Indizieren ist eines der Schl\"usselkonzepte in \matlab{}. Nur mit diesem k\"onnen Filteroperationen auf Vektoren und Matrizen effizient durchgef\"uhrt werden. Es ist sehr m\"achtig und, wenn es einmal verstanden wurde, sehr intuitiv zu benuzten. Das Grundkonzept hinter der logischen Indizierung ist, dass man durch die Verwendung eines Booleschen Ausdrucks auf z.B. einen Vektor einen logischen Vektor gleicher Gr\"o{\ss}e erh\"alt. Dieser wird nun benutzt um auf den urspr\"unglichen Vektor zuzugreifen. \matlab{} gibt nun die Werte an den Stellen zur\"uck, an denen der logische Vektor \codeterm{wahr} ist (Listing \ref{logicalindexing1}). \begin{lstlisting}[caption={Beispiel logisches Indizieren.}, label=logicalindexing1] >> x = randn(10, 1); >> % in zwei Schritten >> x_smaller_zero = x < 0; % logischer vektor >> elements_smaller_zero = x(x_smaller_zero); % benutzen, um zuzugreifen >> % oder in einem Schritt >> elements_smaller_zero = x(x < 0); \end{lstlisting} \begin{exercise}{logicalVector.m}{logicalVector.out} Erstelle einen Vektor x mit den Werten 0-10. \begin{enumerate} \item F\"uhre aus: \code{y = x < 5} \item Gib den Inhalt von \code{y} auf dem Bildschirm aus. \item Was ist der Datentyp von \code{y}? \item Gibt alle Elemente aus x zur\"uck, die kleiner als 5 sind. \end{enumerate} Die letzte Zeile kann wie folgt gelesen werden: Gib mir die Elemente von (\code{x}) an den Stellen, an denen \code{x < 5} wahr ist. \end{exercise} Logisches Indizieren wurde oben so benutzt, dass die Auswahl auf dem Inhalt desselben Vektors beruhte. Ein sehr h\"aufiger Fall ist jedoch, dass die Auswahl aus einem Vektor auf dem Inhalt eines zweiten Vektors basiert. Ein Beispiel ist, dass man \"uber einen gewissen Zeitraum Daten aufnimmt und aus diesen die Daten eines bestimmten Zeitraums ausw\"ahlen m\"ochte (Abbildung \ref{logicalindexingfig}). \begin{figure}[h] \includegraphics[width= 0.9\columnwidth]{logicalIndexingTime} \titlecaption{Beispiel f\"ur ``indirektes'' logisches Indizieren.} {Der rot markierte Abschnitt aus den Daten wurde ``indirekt'' anhand logischen Indizierens auf dem Zeitvektor ausgew\"ahlt.}\label{logicalindexingfig} \end{figure} \begin{exercise}{logicalIndexingTime.m}{} Angenommen es werden \"uber einen bestimmten Zeitraum Messwerte genommen. Bei solchen Messungen er\"alt man einen Vektor, der die Zeitpunkte der Messung speichert und einen zweiten mit den jeweiligen Messwerten. \begin{itemize} \item Erstelle einen Vektor \code{t= 0:0.001:10;}, der z.B. die Zeit repr\"asentiert. \item Erstelle einen zweiten Vektor \code{x} mit Zufallszahlen der die gleiche L\"ange hat wie \code{t}. Die Werte darin stellen Messungen zu den Zeitpunkten in \code{t} dar. \item Benutze das logische Indizieren um die Messwerte auszuw\"ahlen, die dem zeitlichen Abschnitt 5-6\,s entsprechen. \end{itemize} \end{exercise} \section{Kontrollstrukturen}\label{controlstructsec} In der Regel wird ein Programm Zeile f\"ur Zeile von oben nach unten ausgef\"uhrt. Manchmal muss der Kontrollfluss aber so gesteuert werden, dass bestimmte Teile des Programmcodes wiederholt oder nur unter bestimmten Bedingungen ausgef\"uhrt werden. Von gro{\ss}er Bedeutung sind hier zwei Strukturen: \begin{enumerate} \item Schleifen. \item Bedingte Anweisungen und Verzweigungen. \end{enumerate} \subsection{Schleifen} Schleifen werden gebraucht um wiederholte Ausf\"uhrung desselben Codes zu vereinfachen. In einer \"Ubung wurde die Fakult\"at von 5 wie in Listing \ref{facultylisting} berechnet: \begin{lstlisting}[caption={Berechnung der Fakult\"at von 5 in f\"unf Schritten}, label=facultylisting] >> x = 1; >> x = x * 2; >> x = x * 3; >> x = x * 4; >> x = x * 5; >> x x = 120 \end{lstlisting} Im Prinzip ist das obige Programm v\"ollig in Ordnung. Es f\"allt jedoch auf, dass die Zeilen 2 bis 5 sehr \"ahnlich sind; bis auf die Multiplikation mit einer ansteigenden Zahl \"andert sich nichts. Die Verwendung von mehr oder weniger exakten Klonen einzelner Zeilen oder Abschnitte ist schlechter Prgrammierstil. Dabei geht es nicht nur um einen \"asthetischen Aspekt sondern vielmehr darum, dass es schwerwiegende Nachteile gibt. \begin{enumerate} \item Fehleranf\"alligkeit: Beim ``Copy-and-paste'' kann leicht vergessen werden in einzelnen Klonen die entscheidende \"Anderung auch wirklich vorzunehmen. \item Flexibilit\"at: Das obige Programm ist f\"ur genau einen Zweck, Berechnung der Fakult\"at von f\"unf, gemacht und kann nichts anderes. \item Wartung: Wenn ich einen Fehler gemacht habe, dann muss ich den Fehler in allen Klonen korrigieren (sehr wird dabei der ein oder andere Klon \"ubersehen). \item Verst\"andlichkeit: Solche Abschnitte sind schwerer zu lesen/zu verstehen. Das liegt zum Teil daran, dass man dazu neigt \"uber sich wiederholende Zeilen zu springen (ist ja eh das gleiche...) und dann den entscheidenden Teil verpasst. \end{enumerate} Alle Programmiersprachen bieten zur L\"osung dieses Problems die Schleifen. Eine Schleife wird immer dann eingesetzt, wenn man Abschnitte wiederholt ausf\"uhren will. \subsubsection{Die \code{for} -- Schleife} Der am h\"aufigsten benutzte Vertreter der Schleifen ist die \codeterm{for-Schleife}. Sie besteht aus dem \codeterm{Schleifenkopf} und dem \codeterm{Schleifenk\"orper}. Der Kopf regelt, wie h\"aufig der Code im K\"orper ausgef\"uhrt wird. Der Schleifenkopf beginnt mit dem Schl\"usselwort \code{for} auf welches folgend die \codeterm{Laufvariable} definiert wird. In \matlab ``l\"auft''/iteriert eine for-Schleife immer(!) \"uber einen Vektor. Die \codeterm{Laufvariable} nimmt mit jeder Iteration einen Wert dieses Vektors an. Im Schleifenk\"orper k\"onnen beliebige Anweisungen ausgef\"uhrt werden. Die Schleife wird durch das Schl\"usselwort \code{end} beendet. Listing \ref{looplisting} zeigt das Grundger\"ust einer for-Schleife. \begin{lstlisting}[caption={Beispiel einer \code{for} Schleife. Die Laufvariable \code{x} nimmt mit jeder Iteration der Schleife einen Wert des Vektors \code{1:5} an.}, label=looplisting] for x = 1:5 % ... etwas sinnvolles mit x ... end \end{lstlisting} \begin{exercise}{facultyLoop.m}{facultyLoop.out} Wie k\"onnte Fakult\"at mit einer Schleife implementiert werden? Implementiere eine for Schleife, die die Fakul\"at von einer Zahl \code{n} berechnet. \end{exercise} \subsubsection{Die \code{while} -- Schleife} Eine weiterer Schleifentyp, der weniger h\"aufig eingesetzt wird, ist die \code{while}-Schleife. Auch sie hat ihre Entsprechungen in fast allen Programmiersprachen. \"Ahnlich zur \code{for} Schleife wird auch hier der in der Schleife definierte Programmcode iterativ ausgef\"uhrt. Der Schleifenkopf beginnt mit dem Schl\"usselwort \code{while} gefolgt von einem \underline{Booleschen Ausdruck}. Solange dieser zu \code{true} ausgewertet werden kann, wird der Code im Schleifenk\"orper ausgef\"uhrt. Die Schleife wird mit dem Schl\"usselwort \code{end} beendet. \begin{lstlisting}[caption={Grundstruktur einer \code{while} Schleife.}, label=whileloop] while x == true % fuehre diesen sinnvollen code aus ... end \end{lstlisting} \begin{exercise}{facultyWhileLoop.m}{} Implementiere die Fakult\"at mit einer \code{while}-Schleife. \end{exercise} \begin{exercise}{neverendingWhile.m}{} Implementiere eine \code{while}-Schleife, die unendlich l\"auft. Tipp: wenn der Boolesche Ausdruck hinter dem \code{while} zu wahr ausgewertet wird, wird die Schleife weiter ausgef\"uhrt. \end{exercise} \subsubsection{Vergleich \code{for} -- und \code{while}--Schleife} \begin{itemize} \item Beide f\"uhren den Code im Schleifenk\"orper iterativ aus. \item Der K\"orper einer \code{for} Schleife wird mindestens 1 mal betreten. % XXX Nur wenn die Liste im Kopf nicht leer ist, oder ? \item Der K\"orper einer \code{while} Schleife wird nur dann betreten, wenn die Bedingung im Kopf \code{true} ist. \\$\rightarrow$ auch ``Oben-abweisende'' Schleife genannt. \item Die \code{for} Schleife eignet sich f\"ur F\"alle in denen f\"ur jedes Element eines Vektors der Code ausgef\"uhrt werden soll. \item Die \code{while} Schleife ist immer dann gut, wenn nicht klar ist wie h\"aufig etwas ausgef\"uhrt werden soll. Sie ist speichereffizienter. \item Jedes Problem kann mit beiden Typen gel\"ost werden. \end{itemize} \subsection{Bedingte Anweisungen und Verzweigungen} Bedingte Anweisungen und Verzweigungen sind Kontrollstrukturen, die regeln, dass der in ihnen eingeschlossene Programmcode nur unter bestimmten Bedingungen ausgef\"uhrt wird. \subsubsection{Die \code{if} -- Anweisung} Am h\"aufigsten genutzter Vertreter ist die \code{if} - Anweisung. Sie Wird genutzt um Programmcode nur unter bestimmten Bedingungen auszuf\"uhren. Der Kopf der if - Anweisung beginnt mit dem Schl\"usselwort \code{if} welches von einem \underline{Booleschen Ausdruck} gefolgt wird. Wenn dieser zu \code{true} ausgewertet werden kann, wird der Code im K\"orper der Anweisung ausgef\"uhrt. Optional k\"onnen weitere Bedingungen mit dem Schl\"usselwort \code{elseif} folgen. Ebenfalls optional ist die Verwendung eines finalen \code{else} Falls. Dieser wird immer dann ausgef\"uhrt wenn alle vorherigen Bedingungen nicht erf\"ullt werden. Die \code{if} Anweisung wird mit \code{end} beendet. Listing \ref{ifelselisting} zeigt den Aufbau einer if-Anweisung. \begin{lstlisting}[label=ifelselisting, caption={Grundger\"ust einer \code{if} Anweisung.}] if x < y % fuehre diesen code aus elseif x > y % etwas anderes soll getan werden else % wenn x == y wieder etwas anderes end \end{lstlisting} \begin{exercise}{ifelse.m}{} Ziehe eine Zufallszahl und \"uberpr\"ufe mit einer geegnet \code{if} Anweisung, ob sie: \begin{enumerate} \item ... kleiner als 0.5 ist. \item ... kleiner oder gr\"o{\ss}er-gleich 0.5 ist. \item ... kleiner als 0.5, gr\"o{\ss}er oder gleich 0.5 aber kleiner als 0.75 ist oder gr\"o{\ss}er oder gleich 0.75 ist. \end{enumerate} \end{exercise} \subsubsection{Die \code{switch} -- Verzweigung} Die \code{switch} Verzweigung Wird eingesetzt wenn mehrere F\"alle auftreten k\"onnen, die einer unterschiedlichen Behandlung bed\"urfen. Wird mit dem Schl\"usselwort \code{switch} begonnen, gefolgt von der \codeterm{switch Anweisung} (Zahl oder String). Jeder Fall auf den die Anweisung \"uberpr\"ft werden soll wird mit dem Schl\"usselwort \code{case} eingeleitet. Diese wird gefolgt von der \codeterm{case Anweisung} welche definiert gegen welchen Fall auf \underline{Gleichheit} getestet wird. F\"ur jeden Fall wird der Programmcode angegeben, der ausgef\"uhrt werden soll Optional k\"onnen mit dem Schl\"usselwort \code{otherwise} alle nicht explizit genannten F\"alle behandelt werden. Die \code{switch} Anweisung wird mit \code{end} beendet (z.B. in Listing \ref{switchlisting}). \begin{lstlisting}[label=switchlisting, caption={Grundger\"ust einer \code{switch} Anweisung.}] mynumber = input('Enter a number:'); switch mynumber case -1 disp('negative one'); case 1 disp('positive one'); otherwise disp('something else'); end \end{lstlisting} Wichtig ist hier, dass in jedem \code{case} auf \underline{Gleichheit} der switch-Anweisung und der case-Anweisung getestet wird. \subsubsection{Vergleich \code{if} -- Anweisung und \code{switch} -- Verzweigung} \begin{itemize} \item Mit der \code{if} Anweisung k\"onnen beliebige F\"alle unterschieden und entsprechender code ausgef\"uhrt werden. \item Die \code{switch} Anweisung leistet \"ahnliches allerdings wird in jedem Fall auf Gleichheit getestet. \item Die \code{switch} Anweisung ist etwas kompakter, wenn viele F\"alle behandelt werden m\"ussen. \item Die \code{switch} Anweisung wird deutlich seltener benutzt und kann immer durch eine \code{if} Anweisung erstezt werden. \end{itemize} \subsection{Die Schl\"usselworte \code{break} und \code{continue}} Soll die Ausf\"uhrung einer Schleife abgebrochen oder \"ubersprungen werden, werden die Schl\"usselworte \code{break} und \code{continue} eingesetzt (Listing \ref{breakcontinuelisting} zeigt, wie sie eingesetzt werden k\"onnen). \begin{lstlisting}[caption={Ensatz der \code{continue} und \code{break} Schl\"usselworte um die Ausf\"uhrung von Code-Abschnitten in Schleifen zu \"uberspringen oder abzubrechen.}, label=breakcontinuelisting] for x = 1:10 if(x > 2 & x < 5) continue; end disp(x); end x = 1; while true if(x > 5) break; end disp(x); x = x + 1 end \end{lstlisting} \begin{exercise}{logicalIndexingBenchmark.m}{logicalIndexingBenchmark.out} Vergleich von logischem Indizieren und ``manueller'' Auswahl von Elementen aus einem Vektor. Es wurde oben behauptet, dass die Auswahl von Elementen mittels logischem Indizieren effizienter ist. Teste dies indem ein Vektor mit vielen (100000) Zufallszahlen erzeugt wird aus dem die Elemente gefiltert und gespeichert werden, die kleiner $0.5$ sind. Umgebe den Programmabschnitt mit den Br\"udern \code{tic} und \code{toc}. Auf diese Weise misst \matlab{} die zwischen \code{tic} und \code{toc} vergangene Zeit. \begin{enumerate} \item Benutze eine \code{for} Schleife um die Elemente auszuw\"ahlen. \item Benutze logisches Indizieren. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}{simplerandomwalk.m}{} Programmiere einen 1-D random walk. Ausgehend von der Startposition $0$ ``l\"auft'' ein Agent zuf\"allig in die eine oder andere Richtung. \begin{itemize} \item In dem Programm sollen 10 Realisationen eines random walk mit jeweils 1000 Schritten durchgef\"uhrt werden. \item Die Position des Objektes ver\"andert sich in jedem Schritt zuf\"allig um +1 oder -1. \item Merke Dir alle Positionen. \item Plotte die Positionen als Funktion der Schrittnummer. \end{itemize} \end{exercise} \section{Skripte und Funktionen} \subsection{Was ist ein Programm?} Ein Programm ist eine Sammlung von Anweisungen, die in einer Datei auf dem Rechner abgelegt sind. Wenn es durch den Aufruf zum Leben erweckt wird, dann wird es Zeile f\"Ur Zeile von oben nach unten ausgef\"uhrt. \matlab{} kennt drei Arten von Programmen: \begin{enumerate} \item Skripte \item Funktionen \item Objekte (werden wir ignorieren) \end{enumerate} Alle Programme werden in den sogenannten \codeterm{m-files} gespeichert (z.B. \filename{meinProgramm.m}). Um sie zu benutzen werden sie von der Kommandozeile aufgerufen oder in anderen Programmen verwendet. Programme erh\"ohen die Wiederverwertbarkeit von Programmcode. Bislang haben wir ausschlie{\ss}lich Skripte verwendet. Dabei wurde jede Variable, die erzuegt wurde im \codeterm{Workspace} abgelegt und konnte wiederverwendet werden. Hierin liegt allerdings auch eine Gefahr. In der Regel sind Datenanalysen auf mehrere Skripte verteilt und alle teilen sich den gemeinsamen Workspace. Verwendet nun ein aufgerufenes Skript eine bereits definierte Variable und weist ihr einen neuen Wert zu, dann kann das erw\"unscht und praktisch sein. Wenn es aber unbeabsichtigt passiert kann es zu Fehlern kommen, die nur sehr schwer erkennbar sind, da ja jedes Skript f\"ur sich enwandtfrei arbeitet. Eine L\"osung f\"ur dieses Problem bieten die \codeterm{Funktionen}. \subsection{Funktionen} Eine Funktion in \matlab{} wird \"ahnlich zu einer mathematischen Funktion definiert: \[ y = f(x) \] Die Funktion hat einen Namen $f$, sie h\"angt von einem Argument $x$ ab und liefert ein Ergebnis $y$ zur\"uck. Listing \ref{functiondefinitionlisting} zeigt wie das in \matlab{} umgesetzt wird. \begin{lstlisting}[caption={Funktionsdefinition in \matlab{}}, label=functiondefinitionlisting] function [y] = function_name(arg_1, arg_2) % ^ ^ ^ % Rueckgabewert Argument_1, Argument_2 \end{lstlisting} Ein Funktion beginnt mit dem Schl\"usselwort \code{function} gefolgt von den R\"uckgabewerte(n), dem Funktionsnamen und (in Klammern) den Argumenten. Auf den Funktionskopf folgt der auszuf\"uhrende Programmcode im Funktionsk\"orper. Die Funktionsdefinition wird % optional %XXX es ist vielleicht optional, aber gute stil ware es immer hinzuschreiben, oder? mit einem \code{end} abgeschlossen. Jede Funktion, die vom Nutzer direkt verwendet werden soll, ist in einer eigenen Datei definiert. \"Uber die Definition/Benutzung von Funktionen wird folgendes erreicht: \begin{itemize} \item Kapseln von Programmcode, der f\"ur sich eine Aufgabe l\"ost. \item Definierte Schnittstelle. \item Eigener G\"ultigkeitsbereich: \begin{itemize} \item Variablen im Workspace sind in der Funktion \emph{nicht} sichtbar. \item Variablen, die in der Funktion definiert werden erscheinen \emph{nicht} im Workspace. \end{itemize} \item Erh\"oht die Wiederverwendbarkeit von Programmcode. \item Erh\"oht die Lesbarkeit von Programmen, da sie \"ubersichtlicher werden. \end{itemize} Das Folgende Beispiel (Listing \ref{badsinewavelisting}) zeigt eine Funktion, die eine Reihe von Sinusschwingungen unterschiedlicher Frequenzen berechnet und graphisch darstellt. \begin{lstlisting}[caption={Eine Beispielfunktion, die eine Reihe Sinus plottet.},label=badsinewavelisting] function meine_erste_funktion() % Funktionskopf t = (0:0.01:2); % hier faengt der Funktionskoerper an frequenz = 1.0; amplituden = [0.25 0.5 0.75 1.0 1.25]; for i = 1:length(amplituden) y = sin(frequenz * t * 2 * pi) * amplituden(i); plot(t, y) hold on; end \end{lstlisting} Das obige Beispiel ist ein Paradebeispiel f\"ur eine schlechte Funktion. Sie hat folgende Probleme: \begin{itemize} \item Der Name ist nicht aussagekr\"aftig. \item Die Funktion ist f\"ur genau einen Zweck geeignet. \item Was sie tut, ist festgelegt und kann von au{\ss}en nicht beeinflusst oder bestimmt werden. \item Sie tut drei Dinge aus einmal: Sinus berechnen \emph{und} Amplituden \"andern \emph{und} graphisch darstellen. \item Es ist nicht (einfach) m\"oglich an die berechneten Daten zu kommen. \item Keinerlei Dokumentation. Man muss den code lesen um zu rekonstruieren, was sie tut. \end{itemize} Bevor wir anfangen die Funktion zu verbessern mu{\ss} definiert werden was das zu l\"osende Problem ist: \begin{enumerate} \item Welches Problem soll gel\"ost werden? \item Aufteilen in Teilprobleme. \item Gute Namen finden. \item Definieren der Schnittstellen --- Was m\"ussen die beteiligten Funktionen wissen? Was sollen sie zur\"uckliefern? \item Daten zur\"uck geben (R\"uckgabewerte definieren). \end{enumerate} Das Beispielproblem aus Listing \ref{badsinewavelisting} kann in drei Teilprobleme aufgetrennt werden. (i) Berechnen der \emph{einzelnen} Sinusse. (ii) Plotten der jeweils berechneten Daten und (iii) Koordination von Berechnung und Darstellung mit unterschiedlichen Amplituden. \paragraph{I. Berechnung eines einzelnen Sinus} Die Berechnung eines einzelnen Sinus ist ein typischer Fall f\"ur eine Funktion. Wiederum macht man sich klar, (i) wie die Funktion hei{\ss}en soll, (ii) welche Information sie ben\"otigt und (iii) welche Daten sie zur\"uckliefern soll. \begin{enumerate} \item \codeterm{Name:} der Name sollte schon beschreiben, was die Funktion tut. In diesem Fall berechnet sie einen Sinus. Ein geeigneter Name w\"are also \code{calculate\_sinwave}. \item \codeterm{Argumente:} die zu brechnende Sinusschwingung sei durch ihre Frequenz und die Amplitude bestimmt. Des Weiteren soll noch festgelegt werden, wie lang der Sinus sein soll und mit welcher zeitlichen Aufl\"osung gerechnet werden soll. Es werden also vier Argumente ben\"otigt, sie k\"onnten hei{\ss}en: \code{amplitude}, \code{frequency}, \code{t\_max}, \code{t\_step}. \item \codeterm{R\"uckgabewerte:} Um den Sinus korrekt darstellen zu k\"onnen brauchen wir die Zeitachse und die entsprechenden Werte. Es werden also zwei Variablen zur\"uckgegeben: \code{time, sine} \end{enumerate} Mit dieser Information ist es nun gut m\"oglich die Funktion zu implementieren (Listing \ref{sinefunctionlisting}). \begin{lstlisting}[caption={Funktion, die einen Sinus berechnet.}, label=sinefunctionlisting] function [time, sine] = calculate_sinewave(frequency, amplitude, t_max, t_step) % The function calculates a sinewave with a given frequency and % amplitude. % Arguments: frequency, the frequency of the sine % amplitude, the amplitude of the sine % t_max, the duration of the sine in seconds % t_step, the temporal resolution in seconds % Returns: time, the time axis % sine, the calculated sinewave time = (0:t_step:t_max); sine = sin(frequency .* time .* 2 * pi) .* amplitude; \end{lstlisting} \paragraph{II. Plotten einer einzelnen Schwingung} Diese Aufage kann auch von einer Funktion \"ubernommen werden. Diese Funktion hat keine andere Aufgabe, als die Daten zu plotten. Ihr Name sollte sich an dieser Aufgabe orientieren (z.B. \code{plot\_sinewave}). Um einen einzelnen Sinus zu plotten werden im Wesentlichen die x-Werte und die zugeh\"origen y-Werte ben\"otigt. Da mehrere Sinus geplottet werden sollen ist es auch sinnvoll eine Zeichenkette f\"ur die Legende an die Funktion zu \"ubergeben. Da diese Funktion keine Berechnung durchf\"uhrt wird kein R\"uckgabewert ben\"otigt (Listing \ref{sineplotfunctionlisting}). \begin{lstlisting}[caption={Funktion, die die Daten plottet.}, label=sineplotfunctionlisting] function plot_sinewave(x_data, y_data, name) % Plots x-data against y-data and sets the display name. % Arguments: x_data, the x-data % y_data, the y-data % name, the displayname plot(x_data, y_data, 'displayname', name) \end{lstlisting} \paragraph{III. Erstellen eines Skriptes zur Koordinierung} Die letzt Aufgabe ist die Koordinierung der Berechung und des Plottens f\"ur mehrere Amplituden. Das ist die klassische Aufgabe f\"ur ein Skript. Auch hier gilt es einen ausdrucksvollen Name zu finden. Da es keine Argumente und R\"uckgabewerte gibt bleibt und nur, die ben\"otigten Information direkt in dem Skript zu defninieren. Dies sind: ein Vektor, f\"ur die Amplituden, je eine Variable f\"ur die gew\"unschte Frequenz, die maximale Zeit auf der x-Achse und die zeitliche Aufl\"osung. Das Skript \"offnet schlie{\ss}lich noch eine neue Abbildung und setzt das \code{hold on} da nur das Skript wei{\ss}, das mehr als ein Plot erzeugt werden soll. Das Skript ist in Listing \ref{sinesskriptlisting} dargestellt. \begin{lstlisting}[caption={Kontrollskript, das die Berechnung und plotting koordiniert.}, label=sinesskriptlisting] amplitudes = 0.25:0.25:1.25; frequency = 2; t_max = 10; t_step = 0.01; figure() hold on for i = 1:length(amplitudes) [x_data, y_data] = calculate_sinewave(frequency, amplitudes(i), ... t_max, t_step); plot_sinewave(x_data, y_data, sprintf('freq: %5.2f, ampl: %5.2f',... frequency, amplitudes(i))) end legend('show') \end{lstlisting} \begin{exercise}{plotMultipleSinewaves.m}{} Erweitert das Programm so, dass auch ein Satz von Frequenzen benutzt wird. \end{exercise} \subsection{Fazit} Funktionen sind kleine Code Fragmente, die \begin{enumerate} \item ... genau eine Aufgabe erledigen. \item ... Argumente entgegennehmen k\"onnen. \item ... R\"uckgabewerte haben k\"onnen. \item ... ihren eigenen G\"ultigkeitsbereich haben. \item ... Skripten fast immer vorzuziehen sind. \end{enumerate} Die vorangegangene Aussagen klingen, als ob Skripte zu verteufeln w\"aren und und vermieden werden sollten. Dem ist nicht so. In Wahrheit sind sie daf\"ur gemacht, Hand in Hand mit den Funktionen ein Probelm zu l\"osen. W\"ahrend die Funktionen relativ kleine ``verdauliche'' Teilprobleme l\"osen. Sind die Skripte daf\"ur gemacht den Rahmen zu bilden und den Ablauf zu koordinieren (Abbildung \ref{programlayoutfig}). \begin{figure} \includegraphics[width=0.5\columnwidth]{./images/simple_program.pdf} \titlecaption{Ein typisches Programmlayout.}{Das Kontrollskript koordiniert den Aufruf der Funktionen, \"ubergibt Argumente und nimmt R\"uckgabewerte entgegen.}\label{programlayoutfig} \end{figure}