<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\chapter{\tr{Optimization and Gradient Descent}{Optimierung und Gradientenabstieg}}

Ein sehr h\"aufiges Problem ist, dass die Abh\"angigkeit von
Messwerten von einer Eingangsgr\"o{\ss}e durch ein Modell erkl\"art
werden soll. Das Modell enth\"alt \"ublicherweise einen oder mehrere
Parameter, die den Zusammenhang modifizieren. Wie soll die beste
Parameterisierung des Modells gefunden werden, so dass das Modell die
Daten am besten beschreibt? Dieser Prozess der Parameteranpassung ist
ein Optimierungsproblem, der als Kurvenfit bekannt ist
(\enterm{curve fitting}).

\begin{figure}[t]
  \includegraphics[width=1\textwidth]{lin_regress}\hfill
  \titlecaption{Beispieldatensatz f\"ur den Geradenfit.}{F\"ur eine
    Reihe von Eingangswerten $x$, z.B. Stimulusintensit\"aten, wurden
    die Antworten $y$ eines Systems gemessen (links). Der postulierte
    lineare Zusammenhang hat als freie Parameter die Steigung (mitte)
    und den $y$-Achsenabschnitt (rechts).}\label{linregressiondatafig}
\end{figure}

Die Punktewolke in \figref{linregressiondatafig} legt
zum Beispiel nahe, einen (verrauschten) linearen Zusammenhang zwischen
der Eingangsgr\"o{\ss}e $x$ (\enterm{input}) und der Systemantwort
$y$ (\enterm{output}) zu postulieren.
Wir nehmen also an, dass die Geradengleichung 
\[y = f(x; m, b) = m\cdot x + b \] 
ein gutes Modell f\"ur das zugrundeliegende System sein k\"onnte
(Abbildung \ref{linregressiondatafig}).  Die Geradengleichung hat die
beiden Parameter Steigung $m$ und $y$-Achsenabschnitt $b$ und es wird
die Kombination von $m$ und $b$ gesucht, die die Systemantwort am
besten vorhersagt.

In folgenden Kapitel werden wir anhand dieses Beispiels zeigen, welche
Methoden hinter einem Kurvenfit stecken, wie also numerisch die
optimale Kombination aus Steigung und $y$-Achsen\-abschnitt gefunden
werden kann.


\section{Mittlere quadratischen Abweichung}

Zuerst m\"u{\ss}en wir pr\"azisieren, was wir unter optimalen
Parametern verstehen. Es sollen die Werte der Parameter der
Geradengleichung sein, so dass die entsprechende Gerade am besten die
Daten beschreibt.  Was meinen wir damit? Jeder $y$-Wert der $N$
Datenpaare wird einen Abstand $y_i - y^{est}_i$ zu den durch das
Modell vorhergesagten Werten $y^{est}_i$ (\enterm{estimate}) an den
entsprechenden $x$-Werten haben. In unserem Beispiel mit der
Geradengleichung ist die Modellvorhersage $y^{est}_i=f(x_i;m,b)$
gegeben durch die Geradengleichung
(\figref{leastsquareerrorfig}). F\"ur den besten Fit sollten dieser
Abst\"ande m\"oglichst klein sein.

Wir k\"onnten z.B. fordern, die Summe $\sum_{i=1}^N y_i - y^{est}_i$
m\"oglichst klein zu machen. Das funktioniert aber nicht, da diese
Summe auch dann klein wird, wenn die H\"alfte der $y$-Daten weit
oberhalb der Geraden und die andere H\"alfte weit darunter liegt, da
sich diese positiven und negativen Werte gegenseitig zu Zahlen nahe
Null aufsummieren. Besser w\"are es auf jeden Fall, die Summe des
Betrags der Abst\"ande $\sum_{i=1}^N |y_i - y^{est}_i|$ zu betrachten. Ein
kleiner Wert der Summe kann dann nur erreicht werden, wenn die
Abst\"ande der Datenpunkte von der Kurve tats\"achlich klein sind,
unabh\"angig ob sie \"uber oder unter der Gerade liegen. Statt der
Summe k\"onnen wir genauso gut fordern, dass der \emph{mittlere} Abstand
\begin{equation}
  \label{meanabserror}
  f_{dist}(\{(x_i, y_i)\}|\{y^{est}_i\}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N |y_i - y^{est}_i|
\end{equation}
der Menge der $N$ Datenpaare $(x_i, y_i)$ gegeben die Modellvorhersagen
$y_i^{est}$ klein sein soll.

Am h\"aufigsten wird jedoch bei einem Kurvenfit der \determ[mittlerer
quadratische Abstand]{mittlere quadratische Abstand} (\enterm{mean
  squared distance} oder \enterm{mean squared error})
\begin{equation}
  \label{meansquarederror}
  f_{mse}(\{(x_i, y_i)\}|\{y^{est}_i\}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (y_i - y^{est}_i)^2
\end{equation}
verwendet (\figref{leastsquareerrorfig}). Wie beim Betrag sind die
quadratischen Abst\"ande immer positiv, unabh\"angig ob die Datenwerte
\"uber oder unter der Kurve liegen. Durch das Quadrat werden
zus\"atzlich gro{\ss}e Abst\"ande st\"arker gewichtet.
      
\begin{exercise}{meanSquareError.m}{}\label{mseexercise}%
  Schreibe eine Funktion \code{meanSquareError()}, die die mittlere
  quadratische Abweichung zwischen einem Vektor mit den beobachteten
  Werten $y$ und einem Vektor mit den entsprechenden Vorhersagen
  $y^{est}$ berechnet.
  \pagebreak[4]
\end{exercise}


\section{Zielfunktion}

$f_{cost}(\{(x_i, y_i)\}|\{y^{est}_i\})$ ist eine sogenannte
\determ{Zielfunktion}, oder \determ{Kostenfunktion} (\enterm{objective
  function}, \enterm{cost function}), da wir die Modellvorhersage so
anpassen wollen, dass der mittlere quadratische Abstand, also die
Zielfunktion, minimiert wird. In
Kapitel~\ref{maximumlikelihoodchapter} werden wir sehen, dass die
Minimierung des mittleren quadratischen Abstands \"aquivalent zur
Maximierung der Wahrscheinlichkeit ist, dass die Daten aus der
Modellfunktion stammen, unter der Vorraussetzung, dass die Daten
um die Modellfunktion normalverteilt streuen.

\begin{figure}[t]
  \includegraphics[width=1\textwidth]{linear_least_squares}
  \titlecaption{Ermittlung des mittleren quadratischen Abstands.}
  {Der Abstand (\enterm{error}, orange) zwischen der Vorhersage (rote
    Gerade) und den Messdaten (blaue Punkte) wird f\"ur jeden
    gemessenen Datenpunkt ermittelt (links). Anschlie{\ss}end werden
    die Differenzen zwischen Messwerten und Vorhersage quadriert
    (\enterm{squared error}) und der Mittelwert berechnet (rechts).}
  \label{leastsquareerrorfig}
\end{figure}

Die Kostenfunktion mu{\ss} nicht immer der mittlere quadratische
Abstand sein. Je nach Problemstellung kann die Kostenfunktion eine
beliebige Funktion sein, die die Parameter eines Modells auf einen
Wert abbildet, der in irgendeiner Weise die Qualit\"at des Modells
quantifiziert. Ziel ist es dann, diejenigen Parameterwerte zu finden,
bei der die Kostenfunktion minimiert wird.
%%% Einfaches verbales Beispiel?

Wenn wir nun in unsere Gleichung \eqref{meansquarederror} f\"ur die
Modellvorhersage $y^{est}$ die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir
f\"ur die Zielfunktion
\begin{eqnarray}
  f_{cost}(\{(x_i, y_i)\}|m,b) &amp; = &amp; \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (y_i - f(x_i;m,b))^2 \label{msefunc} \\
  &amp; = &amp; \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (y_i - m x_i - b)^2 \label{mseline}
\end{eqnarray}
den mittleren quadratischen Abstand der Datenpaare $(x_i, y_i)$
gegeben die Parameterwerte $m$ und $b$ der Geradengleichung. Ziel des
Kurvenfits ist es, die Werte f\"ur $m$ und $b$ so zu optimieren, dass
der Fehler \eqnref{mseline} minimal wird (\determ{Methode der
  kleinsten Quadrate}, \enterm{least square error}).

\begin{exercise}{lsqError.m}{}
  Implementiere die Zielfunktion f\"ur die Optimierung mit der
  linearen Geradengleichung als Funktion \code{lsqError()}.
  \begin{itemize}
  \item Die Funktion \"ubernimmt drei Argumente: Das erste Argument
    ist ein 2-elementiger Vektor, der die Parameter \varcode{m} und
    \varcode{b} enth\"alt.  Das zweite ist ein Vektor mit den $x$-Werten,
    an denen gemessen wurde, und das dritte ein Vektor mit den
    zugeh\"origen $y$-Werten.
  \item Die Funktion gibt als Ergebniss den Fehler als mittleren
    quadratischen Abstand \eqnref{mseline} zur\"uck.
  \item Die Funktion soll die Funktion \code{meanSquareError()} der
    vorherigen \"Ubung benutzen.
  \end{itemize}
\end{exercise}


\section{Fehlerfl\"ache}

Die beiden Parameter $m$ und $b$ der Geradengleichung spannen eine
F\"ache auf. F\"ur jede Kombination aus $m$ und $b$ k\"onnen wir den
Wert der Zielfunktion, hier der mittlere quadratische Abstand
\eqnref{meansquarederror}, berechnen.  Wir betrachten also die
Kostenfunktion $f_{cost}(\{(x_i, y_i)\}|m,b)$ nun als Funktion
$f_{cost}(m,b)$, die die beiden Variablen $m$ und $b$ auf einen
Fehlerwert abbildet.

Es gibt also f\"ur jeden Punkt in der sogenannten
\determ{Fehlerfl\"ache} einen Fehlerwert. In diesem Beispiel eines
2-dimensionalen Problems (zwei freie Parameter) kann die
Fehlerfl\"ache graphisch durch einen 3-d \enterm{surface-plot}
dargestellt werden. Dabei werden auf der $x$- und der $y$-Achse die
beiden Parameter und auf der $z$-Achse der Fehlerwert aufgetragen
(\figref{errorsurfacefig}).

\begin{figure}[t]
  \includegraphics[width=0.75\columnwidth]{error_surface.pdf}
  \titlecaption{Fehlerfl\"ache.}{Die beiden freien Parameter
    unseres Modells $m$ und $b$ spannen die Grundfl\"ache des Plots
    auf. F\"ur jede Kombination von Steigung $m$ und
    $y$-Achsenabschnitt $b$ wird die errechnete Vorhersage des Modells
    mit den Messwerten verglichen und der Fehlerwert geplottet. Die
    sich ergebende Fehlerfl\"ache hat ein Minimum (roter Punkt) bei
    den Werten von $m$ und $b$, f\"ur die die Gerade die Daten am
    besten beschreibt.}\label{errorsurfacefig}
\end{figure}

\begin{exercise}{errorSurface.m}{}\label{errorsurfaceexercise}%
  Lade den Datensatz \textit{lin\_regression.mat} in den Workspace (20
  Datenpaare in den Vektoren \varcode{x} und \varcode{y}). Schreibe ein Skript
  \file{errorSurface.m}, dass den Fehler, berechnet als mittleren
  quadratischen Abstand zwischen den Daten und einer Geraden mit
  Steigung $m$ und $y$-Achsenabschnitt $b$, in Abh\"angigkeit von $m$
  und $b$ als surface plot darstellt (siehe Hilfe f\"ur die
  \code{surf()} Funktion).
\end{exercise}

An der Fehlerfl\"ache kann direkt erkannt werden, bei welcher
Parameterkombination der Fehler minimal, beziehungsweise die
Parameterisierung optimal an die Daten angepasst ist. Wie kann die
Fehlerfunktion und die durch sie definierte Fehlerfl\"ache nun benutzt
werden, um den Optimierungsprozess zu leiten?

Die naheliegenste Variante ist, von der Fehlerfl\"ache einfach den Ort
des globalen Minimums zu bestimmen. Das ist im Allgemeinen jedoch zu
rechenintensiv, da f\"ur jede m\"ogliche Kombination der Parameter der
Fehler berechnet werden muss. Die Anzahl der n\"otigen Berechnungen
steigt exponentiell mit der Anzahl der Parameter (``Fluch der
Dimension''). Auch eine bessere Genauigkeit, mit der das Minimum
bestimmt werden soll, erh\"oht die Anzahl der n\"otigen
Berechnungen. Wir suchen also ein Verfahren, dass das Minimum der
Kostenfunktion mit m\"oglichst wenigen Berechnungen findet.

\begin{ibox}[t]{\label{differentialquotientbox}Differenzenquotient und Ableitung}
  \includegraphics[width=0.33\textwidth]{derivative}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.63\textwidth}
    Der Differenzenquotient 
    \begin{equation}
      \label{difffrac}
      m = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}
    \end{equation}
    einer Funktion $y = f(x)$ ist die Steigung der Sekante (rot) durch
    die beiden Punkte $(x,f(x))$ und $(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ mit
    dem Abstand $\Delta x$.

    Die Steigung einer Funktion $y=f(x)$ an einer Stelle $x$ (gelb) wird durch
    die Ableitung $f'(x)$ der Funktion an dieser Stelle berechnet.  Die
    Ableitung ist \"uber den Grenzwert (orange) des Differenzenquotienten f\"ur
    unendlich kleine Abst\"ande $\Delta x$ definiert:
    \begin{equation}
      \label{derivative}
      f'(x) = \frac{{\rm d} f(x)}{{\rm d}x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \end{equation}
  \end{minipage}\vspace{2ex} 

  Numerisch kann der Grenzwert \eqnref{derivative} nicht
  gebildet werden. Die Ableitung kann nur durch den
  Differenzenquotienten \eqnref{difffrac} mit gen\"ugend kleinem
  $\Delta x$ angen\"ahert werden.
\end{ibox}

\begin{ibox}[t]{\label{partialderivativebox}Partielle Ableitungen und Gradient}
  Bei Funktionen
  \[ z = f(x,y) \]
  die von mehreren Variablen, z.B. $x$ und $y$ abh\"angen,
  kann die Steigung in Richtung jeder dieser Variablen
  mit den partiellen Ableitungen 
  \[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x} \]
  und
  \[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x,y)}{\Delta y} \]
  definiert \"uber den jeweiligen Differenzenquotienten
  (Box~\ref{differentialquotientbox}) berechnet werden.  \vspace{1ex}

  \begin{minipage}[t]{0.44\textwidth}
    \mbox{}\\[-2ex]
    \includegraphics[width=1\textwidth]{gradient}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[t]{0.52\textwidth}
    Z.B. lauten die partiellen Ableitungen von 
    \[ f(x,y) = x^2+y^2 \]
    \[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x \; , \quad \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 2y \; .\]

    Der Gradient ist der aus den partiellen Ableitungen gebildete Vektor
    \[ \nabla f(x,y) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \\[1ex] \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{array} \right) \]
    und zeigt in Richtung des st\"arksten Anstiegs der Funktion $f(x,y)$.
  \end{minipage}

  \vspace{1ex} Die Abbildung zeigt die Kontourlinien einer bivariaten
  Gau{\ss}glocke $f(x,y) = \exp(-(x^2+y^2)/2)$ und den Gradienten mit
  seinen partiellen Ableitungen an drei verschiedenen Stellen.
\end{ibox}


\section{Gradient}

Wenn eine Kugel an einem beliebigen Startpunkt auf der Fehlerfl\"ache
\figref{errorsurfacefig} losgelassen werden w\"urde, dann w\"urde sie
entlang des steilsten Gef\"alles auf schnellsten Wege zum Minimum der
Fehlerfl\"ache rollen und dort zum Stehen kommen (wenn sie keine
Tr\"agheit besitzen w\"urde). Den Weg der Kugel wollen wir nun als
Grundlage unseres Algorithmus zur Bestimmung des Minimums der
Kostenfunktion verwenden. Da die Kugel immer entlang des steilsten
Gef\"alles rollt, ben\"otigen wir Information \"uber die Richtung des
Gef\"alles an der jeweils aktuellen Position.

Der \determ{Gradient} (Box~\ref{partialderivativebox}) der Kostenfunktion
\[ \nabla f_{cost}(m,b) = \left( \frac{\partial e(m,b)}{\partial m},
  \frac{\partial f(m,b)}{\partial b} \right) \] bzgl. der beiden
Parameter $m$ und $b$ der Geradengleichung ist ein Vektor, der in
Richtung des steilsten Anstiegs der Kostenfunktion $f_{cost}(m,b)$ zeigt.
Die L\"ange des Gradienten gibt die St\"arke des Anstiegs an
(\figref{gradientquiverfig})).  Da wir aber abw\"arts zum Minimum
laufen wollen, m\"ussen wir die dem Gradienten entgegengesetzte
Richtung einschlagen.

Die partiellen Ableitungen m\"ussen nicht analytisch berechnet werden
sondern k\"onnen numerisch entsprechend dem Differenzenquotienten
(Box~\ref{differentialquotientbox}) mit kleinen Schrittweiten $\Delta
m$ und $\Delta b$ angen\"ahert werden. z.B. approximieren wir die
partielle Ableitung nach $m$ durch
\[\frac{\partial f_{cost}(m,b)}{\partial m} = \lim\limits_{\Delta m \to
  0} \frac{f_{cost}(m + \Delta m, b) - f_{cost}(m,b)}{\Delta m} \approx \frac{f_{cost}(m + \Delta m, b) -
  f_{cost}(m,b)}{\Delta m} \; . \]

\begin{figure}[t]
  \includegraphics[width=0.75\columnwidth]{error_gradient}
  \titlecaption{Gradient der Fehlerfl\"ache.} 
  {Jeder Pfeil zeigt die Richtung und die
    Steigung f\"ur verschiedene Parameterkombination aus Steigung und
    $y$-Achsenabschnitt an. Die Kontourlinien im Hintergrund
    illustrieren die Fehlerfl\"ache. Warme Farben stehen f\"ur
    gro{\ss}e Fehlerwerte, kalte Farben f\"ur kleine. Jede
    Kontourlinie steht f\"ur eine Linie gleichen
    Fehlers.}\label{gradientquiverfig}
\end{figure}

\begin{exercise}{lsqGradient.m}{}\label{gradientexercise}%
  Implementiere eine Funktion \code{lsqGradient()}, die den
  Parametersatz $(m, b)$ der Geradengleichung als 2-elementigen Vektor
  sowie die $x$- und $y$-Werte der Messdaten als Argumente
  entgegennimmt und den Gradienten an dieser Stelle zur\"uckgibt.
\end{exercise}

\begin{exercise}{errorGradient.m}{}
  Benutze die Funktion aus der vorherigen \"Ubung (\ref{gradientexercise}),
  um f\"ur jede Parameterkombination aus der Fehlerfl\"ache
  (\"Ubung \ref{errorsurfaceexercise}) auch den Gradienten zu
  berechnen und darzustellen. Vektoren im Raum k\"onnen mithilfe der
  Funktion \code{quiver()} geplottet werden.
\end{exercise}


\section{Gradientenabstieg}

Zu guter Letzt muss nur noch der \determ{Gradientenabstieg} implementiert
werden. Die daf\"ur ben\"otigten Zutaten haben wir aus den
vorangegangenen \"Ubungen bereits vorbereitet. Wir brauchen: 1. Die Fehlerfunktion
(\code{meanSquareError()}), 2. die Zielfunktion (\code{lsqError()})
und 3. den Gradienten (\code{lsqGradient()}).  Der Algorithmus
f\"ur den Abstieg lautet:
\begin{enumerate}
\item Starte mit einer beliebigen Parameterkombination $p_0 = (m_0,
  b_0)$.
\item \label{computegradient} Berechne den Gradienten an der akutellen Position $p_i$.
\item Wenn die L\"ange des Gradienten einen bestimmten Wert
  unterschreitet, haben wir das Minum gefunden und k\"onnen die Suche
  abbrechen.  Wir suchen ja das Minimum, bei dem der Gradient gleich
  Null ist. Da aus numerischen Gr\"unden der Gradient nie exakt Null
  werden wird, k\"onnen wir nur fordern, dass er hinreichend klein
  wird (z.B. \varcode{norm(gradient) &lt; 0.1}).
\item \label{gradientstep} Gehe einen kleinen Schritt ($\epsilon =
  0.01$) in die entgegensetzte Richtung des Gradienten:
  \[p_{i+1} = p_i - \epsilon \cdot \nabla f_{cost}(m_i, b_i)\]
\item Wiederhole die Schritte \ref{computegradient} -- \ref{gradientstep}.
\end{enumerate}

Abbildung \ref{gradientdescentfig} zeigt den Verlauf des
Gradientenabstiegs. Von einer Startposition aus wird die Position
solange ver\"andert, wie der Gradient eine bestimmte Gr\"o{\ss}e
\"uberschreitet. An den Stellen, an denen der Gradient sehr stark ist,
ist auch die Ver\"anderung der Position gro{\ss} und der Abstand der
Punkte in Abbildung \ref{gradientdescentfig} gro{\ss}.

\begin{figure}[t]
  \includegraphics[width=0.6\columnwidth]{gradient_descent}
  \titlecaption{Gradientenabstieg.}{Es wird von einer beliebigen
    Position aus gestartet und der Gradient berechnet und die Position
    ver\"andert. Jeder Punkt zeigt die Position nach jedem
    Optimierungsschritt an.} \label{gradientdescentfig}
\end{figure}

\begin{exercise}{gradientDescent.m}{}
  Implementiere den Gradientenabstieg f\"ur das Problem der
  Parameteranpassung der linearen Geradengleichung an die Messdaten in
  der Datei \file{lin\_regression.mat}.
  \begin{enumerate}
  \item Merke Dir f\"ur jeden Schritt den Fehler zwischen
    Modellvorhersage und Daten.
  \item Erstelle eine Plot, der die Entwicklung des Fehlers als
    Funktion der Optimierungsschritte zeigt.
  \item Erstelle einen Plot, der den besten Fit in die Daten plottet.
  \end{enumerate}
\end{exercise}


\section{Fazit}
Mit dem Gradientenabstieg haben wir eine wichtige Methode zur
Bestimmung eines globalen Minimums einer Kostenfunktion
kennengelernt. 

F\"ur den Fall des Kurvenfits mit einer Geradengleichung zeigt der
mittlere quadratische Abstand als Kostenfunktion in der Tat ein
einziges klar definiertes Minimum.  Wie wir im n\"achsten Kapitel
sehen werden, kann die Position des Minimums bei Geradengleichungen
sogar analytisch bestimmt werden, der Gradientenabstieg w\"are also
gar nicht n\"otig \matlabfun{polyfit()}.

F\"ur Parameter, die nichtlinear in einer Funktion
enthalten sind, wie z.B. die Rate $\lambda$ als Parameter in der
Exponentialfunktion $f(x;\lambda) = \exp(\lambda x)$, gibt es keine
analytische L\"osung, und das Minimum der Kostenfunktion muss
numerisch, z.B. mit dem Gradientenabstiegsverfahren bestimmt werden.

Um noch schneller das Minimum zu finden, kann das Verfahren des
Gradientenabstiegs auf vielf\"altige Weise verbessert
werden. z.B. kann die Schrittweite an die St\"arke des Gradienten
angepasst werden. Diese numerischen Tricks sind in bereits vorhandenen
Funktionen implementiert.  Allgemeine Funktionen sind f\"ur beliebige
Kostenfunktionen gemacht \matlabfun{fminsearch()}, w\"ahrend spezielle
Funktionen z.B. f\"ur die Minimierung des quadratischen Abstands bei
einem Kurvenfit angeboten werden \matlabfun{lsqcurvefit()}.

\begin{important}[Achtung Nebenminima!]
  Das Finden des globalen Minimums ist leider nur selten so leicht wie
  bei einem Geradenfit. Oft hat die Kostenfunktion viele Nebenminima,
  in denen der Gradientenabstieg enden kann, obwohl das gesuchte
  globale Minimum noch weit entfernt ist. Darum ist es meist sehr
  wichtig, wirklich gute Startwerte f\"ur die zu bestimmenden
  Parameter der Kostenfunktion zu haben. Auch sollten nur so wenig wie
  m\"oglich Parameter gefittet werden, da jeder zus\"atzliche
  Parameter den Optimierungsprozess schwieriger und
  rechenaufw\"andiger macht.
\end{important}
</pre></body></html>