%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Analyse von Spiketrains} \begin{figure}[t] \includegraphics[width=1\textwidth]{rasterexamples} \caption{\label{rasterexamplesfig}Raster-Plot von jeweils 10 Realisierungen eines station\"arenen Punktprozesses (homogener Poisson Prozess mit Rate $\lambda=20$\;Hz, links) und eines nicht-station\"aren Punktprozesses (perfect integrate-and-fire Neuron getrieben mit Ohrnstein-Uhlenbeck Rauschen mit Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).} \end{figure} Aktionspotentiale (``Spikes'') sind die Tr\"ager der Information in Nervensystemen. Dabei ist in erster Linie nur der Zeitpunkt des Auftretens eines Aktionspotentials von Bedeutung. Die genaue Form spielt keine oder nur eine untergeordnete Rolle. Nach etwas Vorverarbeitung haben elektrophysiologischer Messungen deshalb Listen von Spikezeitpunkten als Ergebniss - sogenannte ``Spiketrains''. Diese Messungen k\"onnen wiederholt werden und es ergeben sich mehrere ``trials'' von Spiketrains (\figref{rasterexamples}). Spiketrains sind Zeitpunkte von Ereignissen --- den Aktionspotentialen --- und deren Analyse f\"allt daher in das Gebiet der Statistik von sogenannten Punktprozessen. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Punktprozesse} \begin{figure}[t] \texpicture{pointprocessscetchB} \caption{\label{pointprocessscetchfig}Ein Punktprozess ist eine Abfolge von Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben werden kann. } \end{figure} Ein zeitlicher Punktprozess ist ein stochastischer Prozess, der eine Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten $\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$, generiert. Jeder Punktprozess wird durch einen sich in der Zeit kontinuierlich entwickelnden Prozess generiert. Wann immer dieser Prozess eine Schwelle \"uberschreitet wird ein Ereigniss des Punktprozesses erzeugt. Zum Beispiel: \begin{itemize} \item Aktionspotentiale/Herzschlag: wird durch die Dynamik des Membranpotentials eines Neurons/Herzzelle erzeugt. \item Erdbeben: wird durch die Dynamik des Druckes zwischen tektonischen Platten auf beiden Seiten einer geologischen Verwerfung erzeugt. \item Zeitpunkt eines Grillen/Frosch/Vogelgesangs: wird durch die Dynamik des Nervensystems und des Muskelapparates erzeugt. \end{itemize} F\"ur die Neurowissenschaften ist die Statistik der Punktprozesse besonders wichtig, da die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als zeitlicher Punktprozess betrachtet werden k\"onnen und entscheidend f\"ur die Informations\"ubertragung sind. Bei Punktprozessen k\"onnen wir die Zeitpunkte $t_i$ ihres Auftretens, die Intervalle zwischen diesen Zeitpunkten $T_i=t_{i+1}-t_i$, sowie die Anzahl der Ereignisse $n_i$ bis zu einer bestimmten Zeit betrachten (\figref{pointprocessscetchfig}). Zwei Punktprozesse mit verschiedenen Eigenschaften sind in \figref{rasterexamplesfig} als Rasterplot dargestellt, bei dem die Zeitpunkte der Ereignisse durch senkrechte Striche markiert werden. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Intervallstatistik} Die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen sind reelle, positive Zahlen. Bei Aktionspotentialen (``Spikes'') heisen die Intervalle auch ``Interspikeintervalle''. Deren Statistik kann mit den \"ublichen Gr\"o{\ss}en beschrieben werden. \begin{figure}[t] \includegraphics[width=1\textwidth]{isihexamples}\hfill \caption{\label{isihexamplesfig}Interspikeintervall Histogramme der in \figref{rasterexamplesfig} gezeigten Spikes.} \end{figure} \subsection{Intervallstatistik erster Ordnung} \begin{itemize} \item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$ (\figref{isihexamplesfig}). Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT = 1$. \item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$. \item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex} \item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$. \item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$. \end{itemize} \subsection{Korrelationen der Intervalle} In ``return maps'' werden die um das ``Lag'' $k$ verz\"ogerten Intervalle $T_{i+k}$ gegen die Intervalle $T_i$ geplottet. Dies macht m\"ogliche Abh\"angigkeiten von aufeinanderfolgenden Intervallen sichtbar. \begin{figure}[t] \includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples} \includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples} \caption{\label{returnmapfig}Interspikeintervall return maps und serielle Korrelationen zwischen aufeinander folgenden Intervallen im Abstand des Lags $k$.} \end{figure} Solche Ab\"angigkeiten werden durch die serielle Korrelation der Intervalle quantifiziert. Das ist der Korrelationskoeffizient zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``Lag'' $k$: \[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} = {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \] \"Ublicherweise wird die Korrelation $\rho_k$ gegen den Lag $k$ aufgetragen (\figref{returnmapfig}). $\rho_0=1$ (Korrelation jedes Intervalls mit sich selber). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Z\"ahlstatistik} % \begin{figure}[t] % \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz10ms}\hfill % \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz100ms} % \caption{\label{countstatsfig}Count Statistik.} % \end{figure} Die Anzahl der Ereignisse (Spikes) $n_i$ in Zeifenstern $i$ der L\"ange $W$ ergeben ganzzahlige, positive Zufallsvariablen, die meist durch folgende Sch\"atzer charakterisiert werden: \begin{itemize} \item Histogramm der counts $n_i$. \item Mittlere Anzahl von Ereignissen: $\mu_N = \langle n \rangle$. \item Varianz der Anzahl: $\sigma_n^2 = \langle (n - \langle n \rangle)^2 \rangle$. \item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_n^2}{\mu_n}$. \end{itemize} Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz \[ r = \frac{\langle n \rangle}{W} \; . \] % \begin{figure}[t] % \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} % Poisson process $\lambda=100$\,Hz:\\ % \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonfano100hz} % \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} % LIF $I=10$, $\tau_{adapt}=100$\,ms:\\ % \includegraphics[width=1\textwidth]{lifadaptfano10-100ms} % \end{minipage} % \caption{\label{fanofig}Fano factor.} % \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Homogener Poisson Prozess} F\"ur kontinuierliche Me{\ss}gr\"o{\ss}en ist die Normalverteilung u.a. wegen dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine \"ahnliche Rolle spielt bei Punktprozessen der ``Poisson Prozess''. Beim homogenen Poisson Prozess treten Ereignisse mit einer festen Rate $\lambda=\text{const.}$ auf und sind unabh\"angig von der Zeit $t$ und unabh\"angig von den Zeitpunkten fr\"uherer Ereignisse (\figref{hompoissonfig}). Die Wahrscheinlichkeit zu irgendeiner Zeit ein Ereigniss in einem kleinen Zeitfenster der Breite $\Delta t$ zu bekommen ist \[ P = \lambda \cdot \Delta t \; . \] Beim inhomogenen Poisson Prozess h\"angt die Rate $\lambda$ von der Zeit ab: $\lambda = \lambda(t)$. \begin{figure}[t] \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz} \caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Spikes eines homogenen Poisson Prozesses mit $\lambda=100$\,Hz.} \end{figure} \begin{figure}[t] \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz} \caption{\label{hompoissonisihfig}Interspikeintervallverteilungen zweier Poissonprozesse.} \end{figure} Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften: \begin{itemize} \item Die Intervalle $T$ sind exponentiell verteilt: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$ (\figref{hompoissonisihfig}). \item Das mittlere Intervall ist $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$ . \item Die Varianz der Intervalle ist $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$ . \item Der Variationskoeffizient ist also immer $CV_{ISI} = 1$ . \item Die seriellen Korrelationen $\rho_k =0$ f\"ur $k>0$, da das Auftreten der Ereignisse unabh\"angig von der Vorgeschichte ist. Ein solcher Prozess wird auch Erneuerungsprozess genannt (``renewal process''). \item Die Anzahl der Ereignisse $k$ innerhalb eines Fensters der L\"ange W ist Poissonverteilt: \[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \] (\figref{hompoissoncountfig}) \item Der Fano Faktor ist immer $F=1$ . \end{itemize} \begin{figure}[t] \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms} \caption{\label{hompoissoncountfig}Z\"ahlstatistik von Poisson Spikes.} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Zeitabh\"angiger Feuerraten} Bisher haben wir station\"are Spiketrains betrachtet, deren Statistik innerhlab der Analysezeit nicht ver\"andert. Meistens jedoch \"andert sich die Statistik der Spiketrains eines Neurons mit der Zeit. Z.B. kann ein sensorisches Neuron auf einen Reiz hin mit einer erh\"ohten Feuerrate antworten. Im folgenden Stellen wir drei Methoden vor, mit denen eine sich zeitlich ver\"andernde Rate des Punktprozesses abgesch\"atzt werden kann. Eine klassische Darstellung zeitabh\"angiger neuronaler Aktivit\"at ist das sogenannte Peri Stimulus Zeithistogramm (peri stimulus time histogram, PSTH). Es wird der zeitliche Verlauf der Feuerrate $r(t)$ dargestellt. Die Einheit der Feuerrate ist Hertz, das heisst, die Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Es verschiedene Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung \ref{psthfig} dargestellt. Alle Methoden haben ihre Berechtigung und ihre Vor- und Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus Abbildung \ref{psthfig} n\"aher erl\"autert. \begin{figure}[t] \includegraphics[width=\columnwidth]{firingrates} \caption{\textbf{Verschiedene Methoden die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen. A)} Rasterplot einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale Strich notiert den Zeitpunkt eines Aktionspotentials. \textbf{B)} Feurerrate aus der instantanen Feuerrate bestimmt. \textbf{C)} klassisches PSTH mit der Binning Methode. \textbf{D)} Feuerrate durch Faltung mit einem Gauss Kern bestimmt.}\label{psthfig} \end{figure} \paragraph{Instantane Feuerrate} Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist die sogenannte \textit{instantane Feuerrate}. Dabei wird die Feuerrate aus dem Kehrwert des \textit{Interspike Intervalls}, der Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Aktionspotentialen (Abbildung \ref{instrate} A), bestimmt. Die abgesch\"atzte Feuerrate (Abbildung \ref{instrate} B) ist g\"ultig f\"ur das gesammte Interspike Intervall \ref{instrate}. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie sehr einfach zu berechnen ist und keine Annahme \"uber eine relevante Zeitskala (der Kodierung oder des Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle) macht. $r(t)$ ist allerdings keine kontinuierliche Funktion, die Spr\"unge in der Feuerrate k\"onnen f\"ur manche Analysen nachteilig sein. Des Weiteren ist die Feuerrate nie null, auch wenn lange keine Aktionspotentiale generiert wurden. \begin{figure}[!htb] \includegraphics[width=\columnwidth]{isimethod} \caption{\textbf{Bestimmung des zeitabh\"angigen Feuerrate aus dem Interspike Interval. A)} Skizze eines Rasterplots einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale Strich notiert den Zeitpunkt eines Aktionspotentials. Die Pfeile zwischen aufeinanderfolgenden Aktionspotentialen illustrieren das Interspike Interval. \textbf{B)} Der Kehrwert des Interspike Intervalls ist die Feuerrate.}\label{instrate} \end{figure} \paragraph{Binning Methode} Bei der Binning Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige Abschnitte (Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in die jeweiligen Bins fallen, gez\"ahlt (Abbildung \ref{binpsth} A). Um diese Z\"ahlungen in die Feuerrate umzurechnen muss noch mit der Binweite normiert werden. Die bestimmte Feuerrate gilt f\"ur das gesamte Bin (Abbildung \ref{binpsth} B). \textbf{Tipp:} Um die Anzahl Spikes pro Bin zu berechnen kann die \code{hist} Funktion benutzt werden. Das so berechnete PSTH hat wiederum eine stufige Form, die von der Wahl der Binweite anh\"angt. Die Binweite bestimmt die zeitliche Aufl\"osung der Darstellung. \"Anderungen in der Feuerrate, die innerhalb eines Bins vorkommen k\"onnen nicht aufgl\"ost werden. Die Wahl der Binweite stellt somit eine Annahme \"uber die relevante Zeitskala der Verarbeitung dar. Auch hier ist $r(t)$ keine koninuierliche Funktion. \begin{figure}[h!] \includegraphics[width=\columnwidth]{binmethod} \caption{\textbf{Bestimmung des PSTH mit der Binning Methode. A)} Skizze eines Rasterplots einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale Strich notiert den Zeitpunkt eines Aktionspotentials. Die roten gestrichelten Linien stellen die Grenzen der Bins dar und die Zahlen geben den Spike Count pro Bin an. \textbf{B)} Die Feuerrate erh\"alt man indem das Zeithistogramm mit der Binweite normiert.}\label{binpsth} \end{figure} \paragraph{Faltungsmethode} Bei der Faltungsmethode geht wird etwas anders vorgegangen um die Feuerrate zeitaufgel\"ost zu berechnen. Die Aktionspotentialfolge wird zun\"achst ``bin\"ar'' dargestellt. Das heisst, dass eine Antwort als (Zeit-)Vektor dargestellt wird, in welchem die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle anderen Elemente des Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser bin\"are Spiketrain mit einem Gauss Kern bestimmter Breite gefaltet. \[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty}d\tau \omega(\tau)\rho(t-\tau) \], wobei $\omega(\tau)$ der Filterkern und $\rho(t)$ die bin\"are Antwort ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $rho(t)$ durch den Filterkern ersetzt (Abbildung \ref{convrate} A). Wenn der Kern richtig normiert wurde (Integral 1), ergibt sich die Feuerrate direkt aus der \"Uberlagerung der Kerne (Abb. \ref{convrate} B). Die Faltungsmethode f\"uhrt, anders als die anderen Methoden, zu einer kontinuierlichen Funktion was f\"ur spektrale Analysen von Vorteil sein kann. Die Wahl der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur Binweite, die zeitliche Aufl\"osung von $r(t)$. Man macht also eine Annahme \"uber die relevante Zeitskala. \begin{figure}[h!] \includegraphics[width=\columnwidth]{convmethod} \caption{\textbf{Schematische Darstellung der Faltungsmethode. A)} Rasterplot einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale Strich notiert den Zeitpunkt eines Aktionspotentials. In der Faltung werden die mit einer 1 notierten Aktionspotential durch den Faltungskern ersetzt. \textbf{B)} Bei korrekter Normierung des Kerns ergibt sich die Feuerrate direkt aus der \"Uberlagerung der Kerne.}\label{convrate} \end{figure} \section{Spike triggered Average} Die graphischer Darstellung der Feuerrate allein reicht nicht aus um den Zusammenhang zwischen neuronaler Antwort und einem Stimulus zu analysieren. Eine Methode mehr \"uber diesen Zusammenhang zu erfahren ist der Spike triggered average (STA). Der STA ist der mittlere Stimulus, der zu einem Aktionspotential in der neuronalen Antwort f\"uhrt. \begin{equation} STA(\tau) = \frac{1}{\langle n \rangle} \left\langle \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{s(t_i - \tau)} \right\rangle \end{equation} Der STA l\"a{\ss}t sich relativ einfach berechnen, indem aus dem Stimulus f\"ur jeden beobachteten Spike ein entsprechender Abschnitt ausgeschnitten wird und diese dann mittelt (Abbildung \ref{stafig}). \begin{figure} \includegraphics[width=0.5\columnwidth]{sta} \caption{\textbf{Spike Triggered Average eines P-Typ Elektrorezeptors.} Der Rezeptor wurde mit einem ``white-noise'' Stimulus getrieben. Zeitpunkt 0 ist der Zeitpunkt des beobachteten Aktionspotentials.}\label{stafig} \end{figure} Aus dem STA k\"onnen verschiedene Informationen \"uber den Zusammenhang zwischen Stimulus und neuronaler Antwort gewonnen werden. Die Breite des STA repr\"asentiert die zeitliche Pr\"azision, mit der Stimulus und Antwort zusammenh\"angen und wie weit das neuron zeitlich integriert. Die Amplitude des STA (gegeben in der gleichen Einheit, wie der Stimulus) deutet auf die Empfindlichkeit des Neurons bez\"uglich des Stimulus hin. Eine hohe Amplitude besagt, dass es einen starken Stimulus ben\"otigt um ein Aktionspotential hervorzurufen. Aus dem zeitlichen Versatz des STA kann die Zeit abgelesen werden, die das System braucht um auf den Stimulus zu antworten. Der STA kann auch dazu benutzt werden, aus den Antworten der Zelle den Stimulus zu rekonstruieren (Abbildung \ref{reverse_reconstruct_fig}). Bei der \textit{invertierten Rekonstruktion} wird die Zellantwort mit dem STA gefaltet. \begin{figure} \includegraphics[width=\columnwidth]{reconstruction} \caption{\textbf{Rekonstruktion des Stimulus mittels STA.} Die Zellantwort wird mit dem STA gefaltet um eine Rekonstruktion des Stimulus zu erhalten.}\label{reverse_reconstruct_fig} \end{figure}