\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}

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%%%%% text size %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\pagestyle{headandfoot}
\header{{\bfseries\large \"Ubung 1}}{{\bfseries\large Bootstrap}}{{\bfseries\large 21. Oktober, 2015}}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
jan.benda@uni-tuebingen.de}
\runningfooter{}{\thepage}{}

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\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\}
\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})}
\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}}
\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}

\newcommand{\continue}{\ifprintanswers%
\else
\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
\fi}
\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers%
\newpage
\else
\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage%
\fi}
\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers%
\newpage%
\else
\fi}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-6.5ex}
\begin{center}
\textbf{\Large Einf\"uhrung in die wissenschaftliche Datenverarbeitung}\\[1ex]
{\large Jan Grewe, Jan Benda}\\[-3ex]
Abteilung Neuroethologie \hfill --- \hfill Institut f\"ur Neurobiologie \hfill --- \hfill \includegraphics[width=0.28\textwidth]{UT_WBMW_Black_RGB} \\
\end{center}

\begin{itemize}
\item \"Uberzeuge dich von jeder einzelnen Zeile deines Codes, dass sie
auch wirklich das macht, was sie machen soll! Teste dies mit kleinen
Beispielen direkt in der Kommandozeile.
\item Versuche die L\"osungen der folgenden Aufgaben m\"oglichst in
sinnvolle kleine Funktionen herunterzubrechen.
\item Sobald etwas \"ahnliches mehr als einmal berechnet werden soll,
lohnt es sich eine Funktion daraus zu schreiben!
\item Teste rechenintensive \code{for} Schleifen zuerst mit einer kleinen
Anzahl von Wiederholungen, und benutze erst am Ende, wenn alles
stimmt, eine gro{\ss}e Anzahl von Wiederholungen, um eine gute
Statistik zu bekommen.
\item Benutze die Hilfsfunktion von matlab und das Internet, um
herauszufinden wie bestimmte \code{matlab} Funktionen zu verwenden
sind und was f\"ur M\"oglichkeiten sie bieten.
\item Auch zu inhaltlichen Konzepten bietet das Internet oft viele Antworten!
\end{itemize}


\begin{questions}

\question \qt{Bootstrap des Standardfehlers}
\begin{parts}
  \part Lade von Ilias die Datei \code{thymusglandweights.dat} herunter.
  Darin befindet sich ein Datensatz vom Gewicht der Thymus Dr\"use in 14-Tage alten
  H\"uhnerembryos in mg.
  \part Lade diese Daten in Matlab (\code{load} Funktion).
  \part Bestimme Histogramm, Mittelwert und Standardfehler aus den ersten 80 Datenpunkten.
  \part Bestimme den Standardfehler aus den ersten 80 Datenpunkten durch 500 Mal Bootstrappen.
  \part Bestimme das 95\,\% Konfidenzintervall f\"ur den Mittelwert
  aus der Bootstrap Verteilung (\code{quantile()} Funktion) --- also
  das Interval innerhalb dessen mit 95\,\% Wahrscheinlichkeit der
  wahre Mittelwert liegen wird.
  \part Benutze den ganzen Datensatz und die Bootstrapping Technik, um die Abh\"angigkeit
  des Standardfehlers von der Stichprobengr\"o{\ss}e zu bestimmen.
  \part Vergleiche mit der bekannten Formel f\"ur den Standardfehler $\sigma/\sqrt{n}$.
\end{parts}


\continue
\question \qt{Student t-Verteilung}
\begin{parts}
\part Erzeuge 100000 normalverteilte Zufallszahlen.
\part Ziehe daraus 1000 Stichproben vom Umfang $m$ (3, 5, 10, 50).
\part Berechne den Mittelwert $\bar x$ der Stichproben und plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte
dieser Mittelwerte.
\part Vergleiche diese Wahrscheinlichkeitsdichte mit der Gausskurve.
\part Berechne ausserdem die Gr\"o{\ss}e $t=\bar x/(\sigma_x/\sqrt{m}$
(Standardabweichung $\sigma_x$) und vergleiche diese mit der Normalverteilung mit Standardabweichung Eins. Ist $t$ normalverteilt, bzw. unter welchen Bedingungen ist $t$ Normalverteilt?
\end{parts}


\question \qt{Korrelationen}
\begin{parts}
\part Erzeuge 1000 korrelierte Zufallszahlen $x$, $y$ durch
\begin{verbatim}
n = 1000
a = 0.2;
x = randn(n, 1);
y = randn(n, 1) + a*x;
\end{verbatim}
\part Erstelle einen Scatterplot der beiden Variablen.
\part Warum ist $y$ mit $x$ korreliert?
\part Berechne den Korrelationskoeffizienten zwischen $x$ und $y$.
\part Was m\"usste man tun, um die Korrelationen zwischen den $x$-$y$
Paaren zu zerst\"oren?
\part Mach genau dies 1000 mal und berechne jedes Mal den Korrelationskoeffizienten.
\part Bestimme die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Korrelationskoeffizienten.
\part Ist die Korrelation der urspr\"unglichen Daten signifikant?
\part Variiere den Parameter $a$ und \"uberpr\"ufe auf gleiche Weise die Signifikanz.
\end{parts}


\end{questions}

\end{document}