Almost finished gradient descent
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parent
a0e4d306f1
commit
d3c8966358
@ -119,7 +119,6 @@ wie eine einzelne Variable gel\"oscht wird.
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Der Datentyp bestimmt, wie die im Speicher abgelegten Bitmuster
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interpretiert werden. Die wichtigsten Datentpyen sind folgende:
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\begin{itemize}
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\item \codetterm{integer} - Ganze Zahlen. Hier gibt es mehrere
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Unterarten, die wir in \matlab{} (meist) ignorieren k\"onnen.
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@ -148,7 +147,7 @@ unterschiedlichem Speicherbedarf und Wertebreich.
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Daten gespeichert werden. Dennoch lohnt es sich, sich ein wenig mit
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den Datentypen auseinanderzusetzen (Box \ref{daqbox}).
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\begin{ibox}[tp]{\label{daqbox}Digitalisierung von Messdaten}
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\begin{ibox}[t]{\label{daqbox}Digitalisierung von Messdaten}
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Szenario: Die elektrische Aktivit\"at (z.B. die Membranspannung)
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einer Nervenzelle wird gemessen. Die gemessene Spannung wird mittels
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Messkarte digitalisiert und auf dem Computer f\"ur weitere Analysen
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@ -1,6 +1,3 @@
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clear
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close all
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load('lin_regression.mat');
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% compute mean squared error for a range of sloopes and intercepts:
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@ -23,7 +20,3 @@ zlabel('error')
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set(gca,'xtick', (-5:2.5:5))
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grid on
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view(3)
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set(gcf, 'paperunits', 'centimeters', 'papersize', [15, 15], ...
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'paperposition', [0., 0., 15, 15])
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saveas(gcf, 'error_surface', 'pdf')
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@ -1,7 +1,17 @@
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function gradient = lsqGradient(parameter, x, y)
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h = 1e-6;
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function gradient = lsqGradient(x, y, parameter)
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% The gradient of the least square error
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%
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% Arguments: x, the input values
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% y, the corresponding measured output values
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% parameter, vector containing slope and intercept
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% as the 1st and 2nd element
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%
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% Returns: the gradient as a vector with two elements
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partial_m = (lsqError([parameter(1)+h, parameter(2)],x,y) - lsqError(parameter,x,y))/ h;
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||||
partial_n = (lsqError([parameter(1), parameter(2)+h],x,y) - lsqError(parameter,x,y))/ h;
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||||
h = 1e-6; % stepsize for derivatives
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||||
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||||
partial_m = (lsqError(x, y, [parameter(1)+h, parameter(2)]) - lsqError(x, y, parameter))/ h;
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||||
partial_n = (lsqError(x, y, [parameter(1), parameter(2)+h]) - lsqError(x, y, parameter))/ h;
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||||
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||||
gradient = [partial_m, partial_n];
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||||
end
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53
regression/lecture/derivative.py
Normal file
53
regression/lecture/derivative.py
Normal file
@ -0,0 +1,53 @@
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import numpy as np
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import matplotlib.pyplot as plt
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#plt.xkcd()
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fig = plt.figure( figsize=(2.5,3.4) )
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ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
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# parabula:
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x1 = -0.2
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x2 = 0.9
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x = np.linspace(x1, x2, 200)
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y = x*x
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ax.set_xlim(x1, x2)
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ax.set_ylim(-0.2, 0.7)
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ax.plot(x, y, c='b', lw=4, zorder=0)
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# secant:
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x = np.asarray([0.1, 0.7])
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y = x*x
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ax.set_xticks(x)
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ax.set_yticks(y)
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ax.set_xticklabels(['$x$','$x+\Delta x$'])
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||||
ax.set_yticklabels(['',''])
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||||
ax.scatter(x, y, c='#CC0000', edgecolor='none', s=150, zorder=10)
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||||
# function values:
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||||
ax.plot([x[0], x[0], x1],[-0.2, y[0], y[0]], '--k', lw=1, zorder=6)
|
||||
ax.plot([x[1], x[1], x1],[-0.2, y[1], y[1]], '--k', lw=1, zorder=6)
|
||||
ax.text(x1+0.05, y[0]+0.05, '$f(x)$', zorder=6)
|
||||
ax.text(x1+0.05, y[1]+0.05, '$f(x+\Delta x)$', zorder=6)
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||||
# slope triangle:
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||||
ax.plot([x[0], x[1], x[1]],[y[0], y[0], y[1]], '-k', lw=2, zorder=7)
|
||||
ax.text(np.mean(x), y[0]-0.08, '$\Delta x$', ha='center', zorder=7)
|
||||
ax.text(x[1]+0.05, np.mean(y), '$f(x+\Delta x)-f(x)$', va='center', rotation='vertical', zorder=7)
|
||||
# secant line:
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m = np.diff(y)/np.diff(x)
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||||
xl = [x1, x2]
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||||
yl = m*(xl-x[0])+y[0]
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||||
ax.plot(xl, yl, c='#CC0000', lw=3, zorder=7)
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||||
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# derivative:
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md = 2.0*x[0]
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||||
yl = md*(xl-x[0])+y[0]
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||||
ax.plot(xl, yl, c='#FFFF66', lw=3, zorder=5)
|
||||
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||||
# limit:
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||||
for ml in np.linspace(md, m, 5)[1:] :
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||||
yl = ml*(xl-x[0])+y[0]
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||||
xs = 0.5*(ml+np.sqrt(ml*ml-4.0*(ml*x[0]-y[0])))
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||||
ax.scatter([xs], [xs*xs], c='#FFCC00', edgecolor='none', s=80, zorder=3)
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||||
ax.plot(xl, yl, c='#FFCC00', lw=2, zorder=3)
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||||
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||||
plt.tight_layout();
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||||
plt.savefig('derivative.pdf')
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||||
#plt.show();
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||||
@ -41,8 +41,7 @@ def plot_error_plane(ax, x, y, m, n):
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linewidth=0, shade=True)
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||||
# Minimum:
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mini = np.unravel_index(np.argmin(error_surf), error_surf.shape)
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#ax.scatter([m], [n], [0.0], color='#cc0000')
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||||
ax.scatter(slopes[mini[1]], intercepts[mini[0]], [0.0], color='#cc0000')
|
||||
ax.scatter(slopes[mini[1]], intercepts[mini[0]], [0.0], color='#cc0000', s=60)
|
||||
|
||||
|
||||
if __name__ == "__main__":
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||||
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||||
42
regression/lecture/gradient.py
Normal file
42
regression/lecture/gradient.py
Normal file
@ -0,0 +1,42 @@
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||||
import numpy as np
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||||
import matplotlib.pyplot as plt
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||||
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||||
#plt.xkcd()
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||||
fig = plt.figure( figsize=(3.5,3.7) )
|
||||
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
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||||
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||||
def gaussian(x, y) :
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||||
return np.exp(-0.5*(x*x+y*y))
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||||
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||||
def gaussiangradient(x, y) :
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||||
return np.asarray([-x*np.exp(-0.5*(x*x+y*y)), -y*np.exp(-0.5*(x*x+y*y))])
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||||
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||||
# Gauss contour lines:
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x1 = -2.0
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||||
x2 = 2.0
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||||
x = np.linspace(x1, x2, 200)
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||||
y = np.linspace(x1, x2, 200)
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||||
X, Y = np.meshgrid(x, y)
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||||
Z = gaussian(X, Y)
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||||
ax.set_xlabel('x')
|
||||
ax.set_ylabel('y', rotation='horizontal')
|
||||
ax.set_xticks(np.arange(x1, x2+0.1, 1.0))
|
||||
ax.set_yticks(np.arange(x1, x2+0.1, 1.0))
|
||||
ax.contour(X, Y, Z, zorder=0)
|
||||
|
||||
# gradients:
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xxg = [-1.1, 1.4, -1.0]
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||||
yyg = [-1.1, 0.6, 0.75]
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||||
for xg, yg in zip(xxg, yyg) :
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||||
zg = gaussian(xg, yg)
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||||
g = gaussiangradient(xg, yg)
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||||
ax.scatter(xg, yg, c='k', s=100, zorder=10)
|
||||
ax.quiver([xg, xg], [yg, yg], [g[0], 0.0], [0.0, g[1]], units='xy', angles='uv', scale_units='x', scale=0.5, zorder=10)
|
||||
ax.quiver([xg], [yg], [g[0]], [g[1]], units='xy', angles='uv', scale_units='x', scale=0.5, zorder=10, lw=2)
|
||||
ax.text(-0.8, -1.5, '$\partial f/\partial x$', ha='center', zorder=20)
|
||||
ax.text(-1.55, -0.8, '$\partial f/\partial y$', va='center', rotation='vertical', zorder=20)
|
||||
ax.text(-0.4, -0.8, r'$\nabla f$', ha='left', zorder=20)
|
||||
|
||||
plt.tight_layout();
|
||||
plt.savefig('gradient.pdf')
|
||||
#plt.show();
|
||||
@ -201,83 +201,124 @@ bestimmt werden soll erh\"oht die Anzahl der n\"otigen
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||||
Berechnungen. Wir suchen also ein Verfahren, dass das Minimum der
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||||
Kostenfunktion mit m\"oglichst wenigen Berechnungen findet.
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||||
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||||
\begin{ibox}[t]{\label{differentialquotientbox}Differenzenquotient und Ableitung}
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\includegraphics[width=0.33\textwidth]{derivative}
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||||
\hfill
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||||
\begin{minipage}[b]{0.63\textwidth}
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||||
Der Differenzenquotient
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||||
\[ m = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \] einer Funktion $y = f(x)$ ist
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||||
die Steigung der Sekante (rot) durch die beiden Punkte $(x,f(x))$ und
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||||
$(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ mit dem Abstand $\Delta x$.
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||||
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||||
Die Steigung einer Funktion $y=f(x)$ an einer Stelle $x$ (gelb) wird durch
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||||
die Ableitung $f'(x)$ der Funktion an dieser Stelle berechnet. Die
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||||
Ableitung ist \"uber den Grenzwert (orange) des Differenzenquotienten f\"ur
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||||
unendlich kleine Abst\"ande $\Delta x$ definiert:
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||||
\[f'(x) = \frac{{\rm d} f(x)}{{\rm d}x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]
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||||
\end{minipage}
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||||
\end{ibox}
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||||
|
||||
\begin{ibox}[t]{\label{partialderivativebox}Partielle Ableitungen und Gradient}
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||||
Bei Funktionen
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\[ z = f(x,y) \]
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||||
die von mehreren Variablen, z.B. $x$ und $y$ abh\"angen,
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||||
kann die Steigung in Richtung jeder dieser Variablen
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||||
mit den partiellen Ableitungen
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||||
\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x} \]
|
||||
und
|
||||
\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x,y)}{\Delta y} \]
|
||||
definiert \"uber den jeweiligen Differenzenquotienten
|
||||
(Box~\ref{differentialquotientbox}) berechnet werden. \vspace{1ex}
|
||||
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.44\textwidth}
|
||||
\mbox{}\\[-2ex]
|
||||
\includegraphics[width=1\textwidth]{gradient}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\hfill
|
||||
\begin{minipage}[t]{0.52\textwidth}
|
||||
Z.B. lauten die partiellen Ableitungen von
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||||
\[ f(x,y) = x^2+y^2 \]
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||||
\[ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x \; , \quad \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = 2y \; .\]
|
||||
|
||||
Der Gradient ist der aus den partiellen Ableitungen gebildete Vektor
|
||||
\[ \nabla f(x,y) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \\[1ex] \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \end{array} \right) \]
|
||||
und zeigt in Richtung des st\"arksten Anstiegs der Funktion $f(x,y)$.
|
||||
\end{minipage}
|
||||
|
||||
\vspace{1ex} Die Abbildung zeigt die Kontourlinien einer bivariaten
|
||||
Gau{\ss}glocke $f(x,y) = \exp(-(x^2+y^2)/2)$ und den Gradienten mit
|
||||
seinen partiellen Ableitungen an drei verschiedenen Stellen.
|
||||
\end{ibox}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Gradient}
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||||
Man kann sich den Optimierungsprozess veranschaulichen wenn man sich
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||||
vorstellt, dass eine Parameterkombination einen Punkt auf der
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Fehlerfl\"ache definiert. Wenn von diesem Punkt aus eine Kugel
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||||
losgelassen w\"urde, dann w\"urde sie, dem steilsten Gef\"alle
|
||||
folgend, zum Minimum der Fehlerfl\"ache rollen und dort zum Stehen
|
||||
kommen. Um dem Computer zu sagen, in welche Richtung die Position
|
||||
ver\"andert werden soll muss also die Steigung an der aktellen
|
||||
Position berechnet werden.
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||||
|
||||
Die Steigung einer Funktion an einer Stelle ist die Ableitung der
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||||
Funktion an dieser Stelle, die durch den Differenzquotienten f\"ur
|
||||
unendlich kleine Schritte $h$ bestimmt wird.
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||||
\[f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \]
|
||||
Bei unserem Fittingproblem h\"angt die Fehlerfunktion von zwei
|
||||
Parametern ab und wir bestimmen die Steigung partiell f\"ur jeden
|
||||
Parameter einzeln. Die partielle Ableitung nach $m$ sieht so aus:
|
||||
\[\frac{\partial g(m,n)}{\partial m} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{g(m + h, n) - g(m,n)}{h}\]
|
||||
Da wir die Ver\"anderung des Fehlers in Abh\"angigkeit der beiden
|
||||
Parameter bewerten, ist der Gradient an der Stelle $(m,n)$ ein
|
||||
zweielementigen Vektor, der aus den partiellen Ableitungen nach $m$ und
|
||||
nach $n$ besteht. Die Richtung des Gradienten zeigt die Richtung der
|
||||
gr\"o{\ss}ten Steigung an, seine L\"ange repr\"asentiert die St\"arke
|
||||
des Gef\"alles.
|
||||
|
||||
\[\bigtriangledown g(m,n) = \left( \frac{\partial g(m,n)}{\partial m}, \frac{\partial g(m,n)}{\partial n}\right)\]
|
||||
Die partiellen Ableitungen m\"ussen nicht analytisch berechnet werden
|
||||
sondern wir n\"ahern sie numerisch durch einen sehr kleinen Schritt
|
||||
an.
|
||||
\[\frac{\partial g(m,n)}{\partial m} = \lim\limits_{h \rightarrow
|
||||
0} \frac{g(m + h, n) - g(m,n)}{h} \approx \frac{g(m + h, n) -
|
||||
g(m,n)}{h}\]
|
||||
Wenn eine Kugel an einem beliebigen Startpunkt auf der Fehlerfl\"ache
|
||||
\figref{errorsurfacefig} losgelassen werden w\"urde, dann w\"urde sie
|
||||
entlang des steilsten Gef\"alles zum Minimum der Fehlerfl\"ache rollen
|
||||
und dort zum Stehen kommen. Um den Weg der Kugel mit einem
|
||||
Computerprogramm nachvollziehen zu k\"onnen, ben\"otigen wir
|
||||
Information \"uber die Richtung des steilsten Gef\"alles an der
|
||||
jeweils aktuellen Position.
|
||||
|
||||
Der Gradient (Box~\ref{partialderivativebox}) der Kostenfunktion
|
||||
\[ \nabla e(m,b) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial
|
||||
e(m,b)}{\partial m} \\[1ex] \frac{\partial f(m,b)}{\partial
|
||||
b} \end{array} \right) \]
|
||||
bzgl. der beiden Parameter $m$ und $b$ der Geradengleichung ist ein
|
||||
Vektor, der in Richtung des steilsten Anstiegs der Kostenfunktion
|
||||
$e(m,b)$ zeigt. Die L\"ange des Gradienten gibt die St\"arke des
|
||||
Anstiegs an (\figref{gradientquiverfig})). Da wir aber abw\"arts zum
|
||||
Minimum laufen wollen, m\"ussen wir die dem Gradienten
|
||||
entgegengesetzte Richtung einschlagen.
|
||||
|
||||
Die graphische Dargestellung der Gradienten (Abbildung
|
||||
\ref{gradientquiverfig}) zeigt, dass diese in die Richtung der
|
||||
gr\"o{\ss}ten Steigung zeigen. Um zum Minimum der Fehlerfunktion zu
|
||||
gelangen sollte man also die entgegengesetzte Richtung einschlagen.
|
||||
Die partiellen Ableitungen m\"ussen nicht analytisch berechnet werden
|
||||
sondern k\"onnen numerisch entsprechend dem Differenzenquotienten
|
||||
(Box~\ref{differentialquotientbox}) mit kleinen Schrittweiten $\Delta
|
||||
m$ und $\Delta b$ angen\"ahert werden:
|
||||
\[\frac{\partial e(m,b)}{\partial m} = \lim\limits_{\Delta m \to
|
||||
0} \frac{e(m + \Delta m, b) - e(m,b)}{\Delta m} \approx \frac{e(m + \Delta m, b) -
|
||||
e(m,b)}{\Delta m} \; . \]
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\includegraphics[width=0.75\columnwidth]{figures/error_gradient}
|
||||
\caption{\textbf{Darstellung der Gradienten f\"ur jede
|
||||
Parameterkombination.} Jeder Pfeil zeigt die Richtung und die
|
||||
\includegraphics[width=0.75\columnwidth]{error_gradient}
|
||||
\titlecaption{Der Gradienten der Fehlerfl\"ache.}
|
||||
{Jeder Pfeil zeigt die Richtung und die
|
||||
Steigung f\"ur verschiedene Parameterkombination aus Steigung und
|
||||
y-Achsenabschnitt an. Die Kontourlinien im Hintergrund
|
||||
$y$-Achsenabschnitt an. Die Kontourlinien im Hintergrund
|
||||
illustrieren die Fehlerfl\"ache. Warme Farben stehen f\"ur
|
||||
gro{\ss}e Fehlerwerte, kalte Farben f\"ur kleine. Jede
|
||||
Kontourlinie steht f\"ur eine Linie gleichen
|
||||
Fehlers.}\label{gradientquiverfig}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}{lsqGradient.m}{}\label{gradientexercise}
|
||||
Implementiert eine Funktion \code{lsqGradient}, die den aktuellen
|
||||
Parametersatz als 2-elementigen Vektor, die x-Werte und die y-Werte
|
||||
als Argumente entgegennimmt und den Gradienten zur\"uckgibt.
|
||||
\begin{exercise}{lsqGradient.m}{}\label{gradientexercise}%
|
||||
Implementiere eine Funktion \code{lsqGradient}, die die $x$- und
|
||||
$y$-Werte der Messdaten sowie den Parametersatz $(m, b)$ der
|
||||
Geradengleichung als 2-elementigen Vektor als Argumente
|
||||
entgegennimmt und den Gradienten an dieser Stelle zur\"uckgibt.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}{errorGradient.m}{}
|
||||
Benutzt die Funktion aus vorheriger \"Ubung (\ref{gradientexercise}),
|
||||
um f\"ur die jede Parameterkombination aus der Fehlerfl\"ache
|
||||
Benutzt die Funktion aus der vorherigen \"Ubung (\ref{gradientexercise}),
|
||||
um f\"ur jede Parameterkombination aus der Fehlerfl\"ache
|
||||
(\"Ubung \ref{errorsurfaceexercise}) auch den Gradienten zu
|
||||
berechnen und darzustellen. Vektoren im Raum k\"onnen mithilfe der
|
||||
Funktion \code{quiver} geplottet werden.
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Gradientenabstieg}
|
||||
|
||||
Zu guter Letzt muss ``nur'' noch der Gradientenabstieg implementiert
|
||||
werden. Die daf\"ur ben\"otigten Zutaten sollten wir aus den
|
||||
vorangegangenen \"Ubungen haben. Wir brauchen: 1. Die Fehlerfunktion
|
||||
Zu guter Letzt muss nur noch der Gradientenabstieg implementiert
|
||||
werden. Die daf\"ur ben\"otigten Zutaten haben wir aus den
|
||||
vorangegangenen \"Ubungen bereits vorbereitet. Wir brauchen: 1. Die Fehlerfunktion
|
||||
(\code{meanSquareError.m}), 2. die Zielfunktion (\code{lsqError.m})
|
||||
und 3. den Gradienten (\code{lsqGradient.m}). Der Algorithmus
|
||||
f\"ur den Abstieg lautet:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Starte mit einer beliebigen Parameterkombination $p_0 = (m_0,
|
||||
n_0)$.
|
||||
b_0)$.
|
||||
\item \label{computegradient} Berechne den Gradienten an der akutellen Position $p_i$.
|
||||
\item Wenn die L\"ange des Gradienten einen bestimmten Wert
|
||||
unterschreitet, haben wir das Minum gefunden und k\"onnen die Suche
|
||||
@ -287,14 +328,14 @@ f\"ur den Abstieg lautet:
|
||||
wird (z.B. \code{norm(gradient) < 0.1}).
|
||||
\item \label{gradientstep} Gehe einen kleinen Schritt ($\epsilon =
|
||||
0.01$) in die entgegensetzte Richtung des Gradienten:
|
||||
\[p_{i+1} = p_i - \epsilon \cdot \bigtriangledown g(m_i, n_i)\]
|
||||
\[p_{i+1} = p_i - \epsilon \cdot \nabla e(m_i, b_i)\]
|
||||
\item Wiederhole die Schritte \ref{computegradient} -- \ref{gradientstep}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Abbildung \ref{gradientdescentfig} zeigt den Verlauf des
|
||||
Gradientenabstiegs. Von einer Startposition aus wird die Position
|
||||
solange ver\"andert, wie der Gradient eine bestimmte Gr\"o{\ss}e
|
||||
\"uberschreitet. An den Stellen, an denen der Gradient sehr stark ist
|
||||
\"uberschreitet. An den Stellen, an denen der Gradient sehr stark ist,
|
||||
ist auch die Ver\"anderung der Position gro{\ss} und der Abstand der
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Punkte in Abbildung \ref{gradientdescentfig} gro{\ss}.
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@ -318,3 +359,37 @@ Punkte in Abbildung \ref{gradientdescentfig} gro{\ss}.
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\item Erstelle einen Plot, der den besten Fit in die Daten plottet.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\section{Fazit}
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Mit dem Gradientenabstieg haben wir eine wichtige Methode zur
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Bestimmung eines globalen Minimums einer Kostenfunktion
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kennengelernt. F\"ur den Fall des Kurvenfits mit einer
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Geradengleichung zeigt der mittlere quadratische Abstand als
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Kostenfunktion in der Tat ein einziges klar definiertes Minimum.
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Wie wir im n\"achsten Kapitel sehen werden, kann die Position des
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Minimums bei Geradengleichungen sogar analytisch bestimmt werden, der
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Gradientenabstieg w\"are also gar nicht n\"otig
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\matlabfun{polyfit}. Bei allen nichtlinearen Funktionen, wie z.B. der
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Exponentialfunktion $f(x;\lambda) = \exp(\lambda x)$ gibt es aber
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keine analytische L\"osung, und das Minimum der Kostenfunktion muss
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numerisch, z.B. mit dem Gradientenabstiegsverfhren bestimmt werden.
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Um noch schneller das Minimum zu finden, kann der Gradientenabstieg
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auf vielf\"altige Wei{\ss}e verfeinert werden. z.B. kann die
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Schrittweite an die St\"arke des Gradienten angepasst werden. Diese
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numerischen Tricks sind in bereits vorhandenen Funktionen
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implementiert. Allgemeine Funktionen sind f\"ur beliebige
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Kostenfunktionen gemacht \matlabfun{fminsearch}, w\"ahrend spezielle
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Funktionen z.B. f\"ur die Minimierung des quadratischen Abstands bei
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einem Kurvenfit angeboten werden \matlabfun{lsqcurvefit}.
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\begin{important}
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Das Finden des globalen Minimums ist leider nur selten so leicht wie
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bei einem Geradenfit. Oft gibt es viele Nebenminima, in denen der
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Gradientenabstieg enden kann, obwohl das gesuchte globale Minimum
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noch weit entfernt ist. Darum ist es meist sehr wichtig, wirklich
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gute Startwerte f\"ur die zu bestimmenden Parameter der
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Kostenfunktion zu haben.
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\end{important}
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