spiketrain chapter work

spike_trains/lecture/psth_sta.tex

@@ -23,7 +23,7 @@ Stimulus zu analysieren.
 \section{Darstellung der zeitabh\"angigen Feuerrate}
 
 Eine klassische Darstellung zeitabh\"angiger neuronaler Aktivit\"at
-ist das sog. Peri Stimulus Zeithistogramm (peri stimulus time
+ist das sogenannte Peri Stimulus Zeithistogramm (peri stimulus time
 histogram, PSTH). Es wird der zeitliche Verlauf der Feuerrate $r(t)$
 dargestellt. Die Einheit der Feuerrate ist Hertz, das heisst, die
 Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Dabei gibt es verschiedene
@@ -32,16 +32,102 @@ Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung
 
 \begin{figure}
   \includegraphics[width=\columnwidth]{images/psth_comparison}
-  \caption{}\label{psthfig}
+  \caption{\textbf{Verschiedene Methoden das PSTH zu bestimmen. A)}
+    Rasterplot einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale
+    Strich notiert den Zeitpunkt eines Aktionspotentials. \textbf{B)}
+    PSTH aus der instantanen Feuerrate bestimmt. \textbf{C)} PSTH mit
+    der Binning Methode. \textbf{D)} Feuerrate durch Faltung mit einem
+    Gauss Kern bestimmt.}\label{psthfig}
 \end{figure}
 
+\paragraph{Instantane Feuerrate}
+Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist
+die sogenannte \textit{instantane Feuerrate}. Dabie wird die Feuerrate
+aus dem Kehrwert des \textit{Interspike Intervalls}, der Zeit zwischen
+zwei aufeinanderfolgender Aktionspotentiale, bestimmt. Die
+abgesch\"atzte Feuerrate ist g\"ultig f\"ur das gesammte Interspike
+Intervall. Sie ist sehr einfach zu berechnen und hat den Vorteil keine
+Annahme \"uber eine relevante Zeitskala (der codierung oder des
+Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle) zu machen. $r(t)$ ist
+keine kontinuierliche Funktion, die Spr\"unge in der Feuerrate können f\"ur
+manche Analysen nachteilig sein.
+
+\paragraph{Binning Methode}
+Bei der Binning Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige Abschnitte
+(Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in die
+jeweiligen Bins fallen gez\"ahlt. Um diese Z\"ahlungen in die Feuerrate
+umzurechnen muss noch mit der Binweite normiert werden. \textbf{Tipp:}
+Um die Anzahl Spikes pro Bin zu berechnen kann die \code{hist}
+Funktion benutzt werden. Das so berechnete PSTH hat wiederum eine
+stufige Form, die von der Wahl der Binweite anh\"angt. Die Binweite
+bestimmt die zeitliche Auflösung mit der Darstellung. \"Anderungen in
+der Feuerrate, die innerhalb eines Bins vorkommen koennen nicht
+aufglöst werden. Die Wahl der Binweite stellt somit eine Annahme \"uber
+die relevante Zeitskala der Verarbeitung dar. Auch hier ist $r(t)$
+keine koninuierliche Funktion.
+
+
+\paragraph{Faltungsmethode}
+Bei der Faltungsmethode geht man anders vor. Die Aktionspotentialfolge
+wird ``bin\"ar'' dargestellt. Eine Antwort wird als Vektor dargestellt,
+in dem die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle
+anderen Elemente des Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser
+bin\"are Spiketrain mit einem Gausskern bestimmter Breite gefaltet. 
+ 
+\[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty}d\tau \omega(\tau)\rho(t-\tau) \],
+wobei $\omega(\tau)$ der Filterkern und $\rho(t)$ die bin\"are Antwort
+ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $rho(t)$ durch den Filterkern
+ersetzt.  Die Faltungsmethode f\"uhrt, anders als die anderen Methoden,
+zu einer kontinuierlichen Funktion was f\"ur spektrale Analysen von
+Vorteil sein kann. Die Wahl der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur
+Binweite, die zeitliche Aufl\"osung von $r(t)$. Man macht eine Annahme
+\"uber die relevante Zeitskala.
 
 
 \section{Spike triggered Average}
-
-Der Spike triggered average (STA) ist der mittlere Stimulus, der zu
-einem Aktionspotential in der neuronalen Antwort f\"uhrt.
+Die graphischer Darstellung der Feuerrate reicht nicht aus um den
+Zusammenhang zwischen neuronaler Antwort und einem Stimulus zu
+analysieren.  Eine Methode mehr \"uber diesen zu erfahren ist der
+Spike triggered average (STA). Der STA ist der mittlere Stimulus, der
+zu einem Aktionspotential in der neuronalen Antwort f\"uhrt.
 
 \begin{equation}
   STA(\tau) = \frac{1}{\langle n \rangle} \left\langle  \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{s(t_i - \tau)} \right\rangle
 \end{equation}
+
+Der STA l\"a{\ss}t sich relativ einfach berechnen, indem aus dem
+Stimulus f\"ur jeden beobachteten Spike ein entsprechender Abschnitt
+ausgeschnitten wird und diese dann mittelt (Abbildung
+\ref{stafig}). 
+
+\begin{figure}
+  \includegraphics[width=0.5\columnwidth]{images/sta}
+  \caption{\textbf{Spike Triggered Average eines P-Typ
+      Elektrorezeptors.} Der Rezeptor wurde mit einem ``white-noise''
+    Stimulus getrieben. Zeitpunkt 0 ist der Zeitpunkt des beobachteten
+    Aktionspotentials.}\label{stafig}
+\end{figure}
+
+Aus dem STA k\"onnen verschiedene Informationen \"uber den
+Zusammenhang zwischen Stimulus und neuronaler Antwort gewonnen
+werden. Die Breite des STA repr\"asentiert die zeitliche Pr\"azision,
+mit der Stimulus und Antwort zusammenh\"angen und wie weit das neuron
+zeitlich integriert. Die Amplitude des STA (gegeben in der gleichen
+Einheit, wie der Stimulus) deutet auf die Empfindlichkeit des Neurons
+bez\"uglich des Stimulus hin. Eine hohe Amplitude besagt, dass es
+einen starken Stimulus ben\"otigt um ein Aktionspotential
+hervorzurufen. Aus dem zeitlichen Versatz des STA kann die Zeit
+abgelesen werden, die das System braucht um auf den Stimulus zu
+antworten.
+
+Der STA kann auch dazu benutzt werden, aus den Antworten der Zelle den
+Stimulus zu rekonstruieren (Abbildung
+\ref{reverse_reconstruct_fig}). Bei der \textit{invertierten
+  Rekonstruktion} wird die Zellantwort mit dem STA gefaltet.
+
+\begin{figure}
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{images/reconstruction}
+  \caption{\textbf{Rekonstruktion des Stimulus mittels STA.} Die
+    Zellantwort wird mit dem STA gefaltet um eine Rekonstruktion des
+    Stimulus zu erhalten.}\label{reverse_reconstruct_fig}
+\end{figure}