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statistics/lecture/statistics-de.tex

@@ -0,0 +1,296 @@
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{\tr{Descriptive statistics}{Deskriptive Statistik}}
+
+Bei der deskriptiven Statistik werden Datens\"atze durch wenige Kenngr\"o{\ss}en
+\"ubersichtlich dargestellt.
+
+Neben dem Histogramm, das die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Daten
+im Detail darstellt, werden u.a. folgende Kenngr\"o{\ss}en zur Beschreibung
+der Daten eingesetzt:
+\begin{description}
+\item[Lagema{\ss}e] (``location'', ``central tendency''):
+  arithmetisches Mittel, Median, Modus (``Mode'')
+\item[Streuungsma{\ss}e] (``spread'', ``dispersion''): Varianz,
+  Standardabweichung, Interquartilabstand,\linebreak Variations\-koeffizient
+  (``Coefficient of variation'')
+\item[Shape]: Schiefe (``skewness''), W\"olbung (``kurtosis'')
+\item[Zusammenhangsma{\ss}e]: Pearson Korrelationskoeffizient,
+  Spearman Rang\-korrelations\-koeffizient.
+\end{description}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{\tr{Mode, median, quartile, etc.}{Modus, Median, Quartil, etc.}}
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{median}
+  \titlecaption{\label{medianfig} Median, Mittelwert und Modus einer
+    Wahrscheinlichkeitsverteilung.}{Links: Bei der symmetrischen,
+    unimodalen Normalverteilung sind Median, Mittelwert und Modus
+    identisch.  Rechts: bei unsymmetrischen Verteilungen sind die drei
+    Gr\"o{\ss}en nicht mehr identisch. Der Mittelwert wird am
+    st\"arksten von einem starken Schwanz der Verteilung
+    herausgezogen. Der Median ist dagegen robuster, aber trotzdem
+    nicht unbedingt identsich mit dem Modus.}
+\end{figure}
+
+Der \determ{Modus} ist der h\"aufigste Wert, d.h. die Position des Maximums
+einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
+
+Der \determ{Median} teilt eine Liste von Messwerten so in zwei H\"alften, dass
+die eine H\"alfte der Daten nicht gr\"o{\ss}er und die andere H\"alfte
+nicht kleiner als der Median ist (\figref{medianfig}).
+
+\newpage
+\begin{exercise}{mymedian.m}{}
+  \tr{Write a function \code{mymedian()} that computes the median of a vector.}
+  {Schreibe eine Funktion \code{mymedian()}, die den Median eines Vektors zur\"uckgibt.}
+\end{exercise}
+
+\matlab{} stellt die Funktion \code{median()} zur Berechnung des Medians bereit.
+
+\newpage
+\begin{exercise}{checkmymedian.m}{}
+  \tr{Write a script that tests whether your median function really
+    returns a median above which are the same number of data than
+    below. In particular the script should test data vectors of
+    different length.}  {Schreibe ein Skript, das testet ob die
+    \code{mymedian()} Funktion wirklich die Zahl zur\"uckgibt, \"uber
+    der genauso viele Datenwerte liegen wie darunter. Das Skript sollte
+    insbesondere verschieden lange Datenvektoren testen.}
+\end{exercise}
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{quartile}
+  \titlecaption{\label{quartilefig} Median und Quartile einer Normalverteilung.}{}
+\end{figure}
+
+Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann weiter durch die Position
+ihrer \determ[Quartil]{Quartile} charakterisiert werden. Zwischen den
+Quartilen liegen jeweils 25\,\% der Daten
+(\figref{quartilefig}). Perzentile erlauben eine feinere
+Einteilung. Das 3. Quartil ist das 75. Perzentil, da 75\,\% der Daten
+unterhalb des 3. Quartils liegen.
+
+% \begin{definition}[\tr{quartile}{Quartile}]
+%   Die Quartile Q1, Q2 und Q3 unterteilen die Daten in vier gleich
+%   gro{\ss}e Gruppen, die jeweils ein Viertel der Daten enthalten.
+%   Das mittlere Quartil entspricht dem Median.
+% \end{definition}
+
+% \begin{exercise}{quartiles.m}{}
+%   \tr{Write a function that computes the first, second, and third quartile of a vector.}
+%   {Schreibe eine Funktion, die das erste, zweite und dritte Quartil als Vektor zur\"uckgibt.}
+% \end{exercise}
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{boxwhisker}
+  \titlecaption{\label{boxwhiskerfig} Box-Whisker Plot.}{Box-Whisker
+    Plots sind gut geeignet um mehrere unimodale Verteilungen
+    miteinander zu vergleichen.  Hier sind es jeweils 40
+    Zufallszahlen, die aus eine Normalverteilung gezogen worden sind.}
+\end{figure}
+
+\determ{Box-Whisker Plots} sind eine h\"aufig verwendete Darstellung,
+um die Verteilung unimodaler Daten zu visualisieren und vergleichbar
+zu machen mit anderen Daten. Dabei wird um den Median eine Box vom
+1. zum 3. Quartil gezeichnet. Die Whiskers deuten den minimalen und
+den maximalen Datenwert an (\figref{boxwhiskerfig}).
+
+\begin{exercise}{boxwhisker.m}{}
+  \tr{Generate eine $40 \times 10$ matrix of random numbers and
+    illustrate their distribution in a box-whicker plot
+    (\code{boxplot()} function). How to interpret the plot?}
+  {Erzeuge ein $40 \times 10$ Matrix
+    von Zufallszahlen und illustriere ihre Verteilungen in einem
+    Box-Whisker Plot (\code{boxplot()} Funktion, lies die Hilfe!). Wie ist der
+    Box-Whisker Plot zu interpretieren? Was hat es mit den Ausreissern auf sich?
+    Wie kann man erreichen, dass die Whisker den kleinsten und den gr\"o{\ss}ten
+    Datenwert anzeigen? Warum sind die unterschiedlichen Box-Whiskers nicht alle gleich,
+    obwohl sie aus der selben Verteilung gezogen worden sind?}
+\end{exercise}
+
+\section{\tr{Histogram}{Histogramm}}
+
+\determ[Histogramm]{Histogramme} z\"ahlen die H\"aufigkeit $n_i$ des
+Auftretens von $N=\sum_{i=1}^M n_i$ Messwerten in $M$
+Messbereichsklassen $i$ (Bins).  Die Klassen unterteilen den
+Wertebereich meist in angrenzende und gleich gro{\ss}e Intervalle.
+Histogramme k\"onnen verwendet werden, um die
+\determ{Wahrscheinlichkeitsverteilung} der Messwerte abzusch\"atzen.
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{diehistograms}
+  \titlecaption{\label{diehistogramsfig} Histogramme des Ergebnisses
+    von 100 oder 500 mal W\"urfeln.}{Links: das absolute Histogramm
+    z\"ahlt die Anzahl des Auftretens jeder Augenzahl. Rechts:
+    Normiert auf die Summe des Histogramms werden die beiden Messungen
+    untereinander als auch mit der theoretischen Verteilung $P=1/6$
+    vergleichbar.}
+\end{figure}
+
+Bei ganzzahligen Messdaten (z.B. die Augenzahl eines W\"urfels oder
+die Anzahl von Aktionspotentialen in einem bestimmten Zeitfenster)
+kann f\"ur jede auftretende Zahl eine Klasse definiert werden.  Damit
+die H\"ohe der Histogrammbalken unabh\"angig von der Anzahl der
+Messwerte wird, wird das Histogram auf die Anzahl der
+Messwerte normiert (\figref{diehistogramsfig}).  Die H\"ohe der
+Histogrammbalken gibt dann die Wahrscheinlichkeit $P(x_i)$ des
+Auftretens der Gr\"o{\ss}e $x_i$ in der $i$-ten Klasse an
+\[ P_i = \frac{n_i}{N} = \frac{n_i}{\sum_{i=1}^M n_i} \; . \]
+
+\begin{exercise}{rollthedie.m}{}
+  \tr{Write a function that simulates rolling a die $n$ times.}
+  {Schreibe eine Funktion, die das $n$-malige W\"urfeln mit einem W\"urfel simuliert.}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}{diehistograms.m}{}
+  Plotte Histogramme von 20, 100, und 1000-mal W\"urfeln.  Benutze
+  \code[hist()]{hist(x)}, erzwinge sechs Bins mit
+  \code[hist()]{hist(x,6)}, oder setze selbst sinnvolle Bins. Normiere
+  anschliessend das Histogram.
+\end{exercise}
+
+
+\section{\tr{Probability density function}{Wahrscheinlichkeitsdichte}}
+
+Meistens haben wir es jedoch mit reellen Messgr\"o{\ss}en zu tun
+(z.B. Gewicht von Tigern, L\"ange von Interspikeintervallen).  Es
+macht keinen Sinn dem Auftreten jeder einzelnen reelen Zahl eine
+Wahrscheinlichkeit zuzuordnen, denn die Wahrscheinlichkeit genau den
+Wert einer bestimmten reelen Zahl, z.B. 1.23456789, zu messen ist
+gleich Null, da es unabz\"ahlbar viele reelle Zahlen gibt.
+
+Sinnvoller ist es dagegen, nach der Wahrscheinlichkeit zu fragen, eine
+Zahl aus einem bestimmten Bereich zu erhalten, z.B. die
+Wahrscheinlichkeit $P(1.2<x<1.3)$, dass die Zahl $x$ einen Wert
+zwischen 1.2 und 1.3 hat.
+
+Im Grenzwert zu sehr kleinen Bereichen $\Delta x$ ist die Wahrscheinlichkeit
+eines Wertes $x$ zwischen $x_0$ und $x_0+\Delta x$
+\[ P(x_0<x<x_0+\Delta x) \approx p(x) \cdot \Delta x \; . \] 
+Die Gr\"o{\ss}e $p(x)$ ist eine sogenannte
+\determ{Wahrscheinlichkeitsdichte}. Sie ist keine einheitenlose
+Wahrscheinlichkeit mit Werten zwischen Null und Eins, sondern kann
+jeden positiven Wert annehmen und hat als Einheit den Kehrwert der
+Einheit von $x$.
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{pdfprobabilities}
+  \titlecaption{\label{pdfprobabilitiesfig} Wahrscheinlichkeiten bei
+  einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.}{}
+\end{figure}
+
+F\"ur beliebige Bereiche ist die Wahrscheinlichkeit f\"ur den Wert $x$ zwischen
+$x_1$ und $x_2$ gegeben durch
+\[ P(x_1 < x < x2) = \int\limits_{x_1}^{x_2} p(x) \, dx \; . \]
+Da die Wahrscheinlichkeit irgendeines Wertes $x$ Eins ergeben muss gilt die Normierung
+\begin{equation}
+  \label{pdfnorm}
+  P(-\infty < x < \infty) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} p(x) \, dx = 1 \; .
+\end{equation}
+
+\pagebreak[2]
+Die gesamte Funktion $p(x)$, die jedem Wert $x$ einen
+Wahrscheinlichkeitsdichte zuordnet wir auch
+\determ{Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion} (\enterm{probability
+  density function}, \enterm[pdf|see{probability density
+  function}]{pdf}, oder kurz \enterm[density|see{probability density
+  function}]{density}) genannt. Die bekannteste
+Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist die der \determ{Normalverteilung}
+\[ p_g(x) =
+\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
+--- die \determ{Gau{\ss}sche-Glockenkurve} mit Mittelwert $\mu$ und
+Standardabweichung $\sigma$.
+
+\begin{exercise}{gaussianpdf.m}{gaussianpdf.out}
+  \begin{enumerate}
+  \item Plotte die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung $p_g(x)$.
+  \item Berechne f\"ur die Normalverteilung mit Mittelwert Null und
+    Standardabweichung Eins die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen
+    0 und 1 zu erhalten.
+  \item Ziehe 1000 normalverteilte Zufallszahlen und bestimme von
+    diesen Zufallzahlen die Wahrscheinlichkeit der Zahlen zwischen
+    Null und Eins.
+  \item Berechne aus der Normalverteilung $\int_{-\infty}^{+\infty} p(x) \, dx$.
+  \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{pdfhistogram}
+  \titlecaption{\label{pdfhistogramfig} Histogramme mit verschiedenen
+    Klassenbreiten von normalverteilten Messwerten.}{Links: Die H\"ohe
+    des absoluten Histogramms h\"angt von der Klassenbreite
+    ab. Rechts: Bei auf das Integral normierten Histogrammen werden
+    auch unterschiedliche Klassenbreiten untereinander vergleichbar
+    und auch mit der theoretischen Wahrschinlichkeitsdichtefunktion
+    (blau).}
+\end{figure}
+
+\begin{exercise}{gaussianbins.m}{}
+  \tr{Draw 100 random data from a Gaussian distribution and plot
+    histograms with different bin sizes of the data.}  {Ziehe 100
+    normalverteilte Zufallszahlen und erzeuge Histogramme mit
+    unterschiedlichen Klassenbreiten. Was f\"allt auf?}
+\end{exercise}
+
+\pagebreak[2]
+Damit Histogramme von reellen Messwerten trotz unterschiedlicher
+Anzahl von Messungen und unterschiedlicher Klassenbreiten
+untereinander vergleichbar werden und mit bekannten
+Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen verglichen werden k\"onnen,
+m\"ussen sie auf das Integral Eins normiert werden
+\eqnref{pdfnorm}. Das Integral (nicht die Summe) \"uber das Histogramm
+soll Eins ergeben --- denn die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeiner
+der Messwerte auftritt mu{\ss} Eins sein. Das Integral ist die
+Fl\"ache des Histogramms, die sich aus der Fl\"ache der einzelnen
+Histogrammbalken zusammen setzt. Die Balken des Histogramms haben die
+H\"ohe $n_i$ und die Breite $\Delta x$. Die Gesamtfl\"ache $A$ des
+Histogramms ist also
+\[ A = \sum_{i=1}^N ( n_i \cdot \Delta x ) = \Delta x \sum_{i=1}^N n_i \]
+und das normierte Histogramm hat die H\"ohe
+\[ p(x_i) = \frac{n_i}{\Delta x \sum_{i=1}^N n_i} \] 
+Es muss also nicht nur durch die Summe, sondern auch durch die Breite
+$\Delta x$ der Klassen geteilt werden (\figref{pdfhistogramfig}).
+
+\pagebreak[4]
+\begin{exercise}{gaussianbinsnorm.m}{}
+  Normiere das Histogramm der vorherigen \"Ubung zu einer Wahrscheinlichkeitsdichte.
+\end{exercise}
+
+
+\section{\tr{Correlations}{Korrelationen}}
+
+\begin{figure}[tp]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{correlation}
+  \titlecaption{\label{correlationfig} Korrelationen zwischen Datenpaaren.}{}
+\end{figure}
+
+Bisher haben wir Eigenschaften einer einzelnen Me{\ss}gr\"o{\ss}e
+angeschaut.  Bei mehreren Me{\ss}gr\"o{\ss}en, kann nach
+Abh\"angigkeiten zwischen den beiden Gr\"o{\ss}en gefragt werden.  Der
+\determ[Korrelationskoeffizient]{Korrelations\-koeffizient}
+\[ r_{x,y} = \frac{Cov(x,y)}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{\langle
+  (x-\langle x \rangle)(y-\langle y \rangle) \rangle}{\sqrt{\langle
+    (x-\langle x \rangle)^2} \rangle \sqrt{\langle (y-\langle y
+    \rangle)^2} \rangle} \] 
+quantifiziert einfache lineare Zusammenh\"ange \matlabfun{corr()}. Der
+Korrelationskoeffizient ist die \determ{Kovarianz} normiert durch die
+Standardabweichungen.  Perfekt korrelierte Variablen ergeben einen
+Korrelationskoeffizienten von $+1$, antikorrelierte Daten einen
+Korrelationskoeffizienten von $-1$ und nicht korrelierte Daten einen
+Korrelationskoeffizienten nahe Null (\figrefb{correlationfig}).
+
+Nichtlineare Abh\"angigkeiten werden von dem Korrelationskoeffizienten
+nur unzureichend oder \"uberhaupt nicht erfasst (\figref{nonlincorrelationfig}).
+
+\begin{figure}[tp]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{nonlincorrelation}
+  \titlecaption{\label{nonlincorrelationfig} Korrelationen bei
+    nichtlineare Zusammenh\"angen.}{Der Korrelationskoeffizienten
+    erfasst nur lineare Zusammenh\"ange. Sowohl die quadratische
+    Abh\"angigkeit (links) als auch eine Rauschkorrelation (rechts),
+    bei der die Streuung der $y$-Werte von $x$ abh\"angen, ergeben
+    Korrelationskeffizienten nahe Null. $\xi$ sind normalverteilte
+    Zufallszahlen.}
+\end{figure}

statistics/lecture/statistics.tex

@@ -1,147 +1,129 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\chapter{\tr{Descriptive statistics}{Deskriptive Statistik}}
+\chapter{Descriptive statistics}
 
-Bei der deskriptiven Statistik werden Datens\"atze durch wenige Kenngr\"o{\ss}en
+Descriptive statistics characterizes data sets by means of a few measures.
-\"ubersichtlich dargestellt.
 
-Neben dem Histogramm, das die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Daten
+In addition to histograms that visualize the distribution of the data,
-im Detail darstellt, werden u.a. folgende Kenngr\"o{\ss}en zur Beschreibung
+the following measures are used for characterizing the data:
-der Daten eingesetzt:
 \begin{description}
-\item[Lagema{\ss}e] (``location'', ``central tendency''):
+\item[Location, central tendency] (``Lagema{\ss}e''):
-  arithmetisches Mittel, Median, Modus (``Mode'')
+  arithmetic mean, median, mode.
-\item[Streuungsma{\ss}e] (``spread'', ``dispersion''): Varianz,
+\item[Spread, dispersion] (``Streuungsma{\ss}e''): variance,
-  Standardabweichung, Interquartilabstand,\linebreak Variations\-koeffizient
+  standard deviation, inter-quartile range,\linebreak coefficient of variation
-  (``Coefficient of variation'')
+  (``Variationskoeffizient'').
-\item[Shape]: Schiefe (``skewnees''), W\"olbung (``kurtosis'')
+\item[Shape]: skewness (``Schiefe''), kurtosis (``W\"olbung'').
-\item[Zusammenhangsma{\ss}e]: Pearson Korrelationskoeffizient,
+\item[Dependence, association] (``Zusammenhangsma{\ss}e''): Pearson's correlation coefficient,
-  Spearmans Rang\-korrelations\-koeffizient.
+  Spearman's rank correlation coefficient.
 \end{description}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{\tr{Mode, median, quartile, etc.}{Modus, Median, Quartil, etc.}}
+\section{Mode, median, quartile, etc.}
 
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{median}
-  \titlecaption{\label{medianfig} Median, Mittelwert und Modus einer
+  \titlecaption{\label{medianfig} Median, mean and mode of a
-    Wahrscheinlichkeitsverteilung.}{Links: Bei der symmetrischen,
+    probability distribution.}{Left: Median, mean and mode are
-    unimodalen Normalverteilung sind Median, Mittelwert und Modus
+    identical for the symmetric and unimodal normal distribution.
-    identisch.  Rechts: bei unsymmetrischen Verteilungen sind die drei
+    Right: for asymmetric distributions these threa measures differ. A
-    Gr\"o{\ss}en nicht mehr identisch. Der Mittelwert wird am
+    heavy tail of a distribution pulls out the mean most strongly. In
-    st\"arksten von einem starken Schwanz der Verteilung
+    contrast, the median is more robust against heavy tails, but not
-    herausgezogen. Der Median ist dagegen robuster, aber trotzdem
+    necessarily identical with the mode.}
-    nicht unbedingt identsich mit dem Modus.}
 \end{figure}
 
-Der \determ{Modus} ist der h\"aufigste Wert, d.h. die Position des Maximums
+The \enterm{mode} is the most frequent value, i.e. the position of the maximum of the probability distribution.
-einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
 
-Der \determ{Median} teilt eine Liste von Messwerten so in zwei H\"alften, dass
+The \enterm{median} separates a list of data values into two halves
-die eine H\"alfte der Daten nicht gr\"o{\ss}er und die andere H\"alfte
+such that one half of the data is not greater and the other half is
-nicht kleiner als der Median ist (\figref{medianfig}).
+not smaller than the median (\figref{medianfig}).
 
 \newpage
 \begin{exercise}{mymedian.m}{}
-  \tr{Write a function \code{mymedian()} that computes the median of a vector.}
+  Write a function \code{mymedian()} that computes the median of a vector.
-  {Schreibe eine Funktion \code{mymedian()}, die den Median eines Vektors zur\"uckgibt.}
 \end{exercise}
 
-\matlab{} stellt die Funktion \code{median()} zur Berechnung des Medians bereit.
+\matlab{} provides the function \code{median()} for computing the median.
 
 \newpage
 \begin{exercise}{checkmymedian.m}{}
-  \tr{Write a script that tests whether your median function really
+  Write a script that tests whether your median function really
-    returns a median above which are the same number of data than
+  returns a median above which are the same number of data than
-    below. In particular the script should test data vectors of
+  below. In particular the script should test data vectors of
-    different length.}  {Schreibe ein Skript, das testet ob die
+  different length.
-    \code{mymedian()} Funktion wirklich die Zahl zur\"uckgibt, \"uber
-    der genauso viele Datenwerte liegen wie darunter. Das Skript sollte
-    insbesondere verschieden lange Datenvektoren testen.}
 \end{exercise}
 
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{quartile}
-  \titlecaption{\label{quartilefig} Median und Quartile einer Normalverteilung.}{}
+  \titlecaption{\label{quartilefig} Median and quartiles of a normal distribution.}{}
 \end{figure}
 
-Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung kann weiter durch die Position
+The distribution of data can be further characterized by the position
-ihrere \determ[Quartil]{Quartile} charakterisiert werden. Zwischen den
+of its \enterm[quartile]{quartiles}. Neighboring quartiles are
-Quartilen liegen jeweils 25\,\% der Daten
+separated by 25\,\% of the data (\figref{quartilefig}).
-(\figref{quartilefig}). Perzentile erlauben eine feinere
+\enterm[percentile]{Percentiles} allow to characterize the
-Einteilung. Das 3. Quartil ist das 75. Perzentil, da 75\,\% der Daten
+distribution of the data in more detail. The 3$^{\rm rd}$ quartile
-unterhalb des 3. Quartils liegen.
+corresponds to the 75$^{\rm th}$ percentile, because 75\,\% of the
+data are smaller than the 3$^{\rm rd}$ quartile.
 
-% \begin{definition}[\tr{quartile}{Quartile}]
+% \begin{definition}[quartile]
 %   Die Quartile Q1, Q2 und Q3 unterteilen die Daten in vier gleich
 %   gro{\ss}e Gruppen, die jeweils ein Viertel der Daten enthalten.
 %   Das mittlere Quartil entspricht dem Median.
 % \end{definition}
 
 % \begin{exercise}{quartiles.m}{}
-%   \tr{Write a function that computes the first, second, and third quartile of a vector.}
+%   Write a function that computes the first, second, and third quartile of a vector.
-%   {Schreibe eine Funktion, die das erste, zweite und dritte Quartil als Vektor zur\"uckgibt.}
 % \end{exercise}
 
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{boxwhisker}
-  \titlecaption{\label{boxwhiskerfig} Box-Whisker Plot.}{Box-Whisker
+  \titlecaption{\label{boxwhiskerfig} Box-Whisker Plot.}{Box-whisker
-    Plots sind gut geeignet um mehrere unimodale Verteilungen
+    plots are well suited for comparing unimodal distributions.  Each
-    miteinander zu vergleichen.  Hier sind es jeweils 40
+    box-whisker characterizes 40 random numbers that have been drawn
-    normalverteilte Zufallszahlen.}
+    from a normal distribution.}
 \end{figure}
 
-\determ{Box-Whisker Plots} sind eine h\"aufig verwendete Darstellung
+\enterm{Box-whisker plots} are commonly used to visualize and compare
-um die Verteilung unimodaler Daten zu visualisieren und vergleichbar
+the distribution of unimodal data. Aa box is drawn around the median
-zu machen mit anderen Daten. Dabei wird um den Median eine Box vom
+that extends from the 1$^{\rm st}$ to the 3$^{\rm rd}$ quartile. The
-1. zum 3. Quartil gezeichnet. Die Whiskers deuten den minimalen und
+whiskers mark the minimum and maximum value of the data set
-den maximalen Datenwert an (\figref{boxwhiskerfig}).
+(\figref{boxwhiskerfig}).
 
 \begin{exercise}{boxwhisker.m}{}
-  \tr{Generate eine $40 \times 10$ matrix of random numbers and
+  Generate eine $40 \times 10$ matrix of random numbers and
-    illustrate their distribution in a box-whicker plot
+  illustrate their distribution in a box-whicker plot
-    (\code{boxplot()} function). How to interpret the plot?}
+  (\code{boxplot()} function). How to interpret the plot?
-  {Erzeuge ein $40 \times 10$ Matrix
-    von Zufallszahlen und illustriere ihre Verteilungen in einem
-    Box-Whisker Plot (\code{boxplot()} Funktion, lies die Hilfe!). Wie ist der
-    Box-Whisker Plot zu interpretieren? Was hat es mit den Ausreissern auf sich?
-    Wie kann man erreichen, dass die Whisker den kleinsten und den gr\"o{\ss}ten
-    Datenwert anzeigen? Warum sind die unterschiedlichen Box-Whiskers nicht alle gleich,
-    obwohl sie aus der selben Verteilung gezogen worden sind?}
 \end{exercise}
 
-\section{\tr{Histogram}{Histogramm}}
+\section{Histograms}
 
-\determ[Histogramm]{Histogramme} z\"ahlen die H\"aufigkeit $n_i$ des
+\enterm[Histogram]{Histograms} count the frequency $n_i$ of
-Auftretens von $N=\sum_{i=1}^M n_i$ Messwerten in $M$
+$N=\sum_{i=1}^M n_i$ measurements in $M$ bins $i$.  The bins tile the
-Messbereichsklassen $i$ (Bins).  Die Klassen unterteilen den
+data range usually into intervals of the same size. Histograms are
-Wertebereich meist in angrenzende und gleich gro{\ss}e Intervalle.
+often used to estimate the \enterm{probability distribution} of the
-Histogramme k\"onnen verwendet werden, um die
+data values.
-\determ{Wahrscheinlichkeitsverteilung} der Messwerte abzusch\"atzen.
 
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{diehistograms}
-  \titlecaption{\label{diehistogramsfig} Histogramme des Ergebnisses
+  \titlecaption{\label{diehistogramsfig} Histograms resulting from 100
-    von 100 oder 500 mal W\"urfeln.}{Links: das absolute Histogramm
+    or 500 times rolling a die.}{Left: the absolute frequency
-    z\"ahlt die Anzahl des Auftretens jeder Augenzahl. Rechts:
+    histogram counts the frequency of each number the die
-    Normiert auf die Summe des Histogramms werden die beiden Messungen
+    shows. Right: When normalized by the sum of the frequency
-    untereinander als auch mit der theoretischen Verteilung $P=1/6$
+    histogram the two data sets become comparable with each other and
-    vergleichbar.}
+    with the expected theoretical distribution of $P=1/6$.}
 \end{figure}
 
-Bei ganzzahligen Messdaten (z.B. die Augenzahl eines W\"urfels oder
+For integer data values (e.g. die number of the faces of a die or the
-die Anzahl von Aktionspotentialen in einem bestimmten Zeitfenster)
+number of action potential occurring within a fixed time window) a bin
-kann f\"ur jede auftretende Zahl eine Klasse definiert werden.  Damit
+can be defined for each data value.  The histogram is usually
-die H\"ohe der Histogrammbalken unabh\"angig von der Anzahl der
+normalized by the total number of measurements to make it
-Messwerte wird, wird das Histogram auf die Anzahl der
+independent of size of the data set (\figref{diehistogramsfig}). Then
-Messwerte normiert (\figref{diehistogramsfig}).  Die H\"ohe der
+the height of each histogram bar equals the probability $P(x_i)$ of
-Histogrammbalken gibt dann die Wahrscheinlichkeit $P(x_i)$ des
+the data value $x_i$ in the $i$-th bin:
-Auftretens der Gr\"o{\ss}e $x_i$ in der $i$-ten Klasse an
+\[ P(x_i) = P_i = \frac{n_i}{N} = \frac{n_i}{\sum_{i=1}^M n_i} \; . \]
-\[ P_i = \frac{n_i}{N} = \frac{n_i}{\sum_{i=1}^M n_i} \; . \]
 
 \begin{exercise}{rollthedie.m}{}
-  \tr{Write a function that simulates rolling a die $n$ times.}
+  Write a function that simulates rolling a die $n$ times.
-  {Schreibe eine Funktion, die das $n$-malige W\"urfeln mit einem W\"urfel simuliert.}
 \end{exercise}
 
 \begin{exercise}{diehistograms.m}{}
@@ -152,7 +134,7 @@ Auftretens der Gr\"o{\ss}e $x_i$ in der $i$-ten Klasse an
 \end{exercise}
 
 
-\section{\tr{Probability density function}{Wahrscheinlichkeitsdichte}}
+\section{Probability density functions}
 
 Meistens haben wir es jedoch mit reellen Messgr\"o{\ss}en zu tun
 (z.B. Gewicht von Tigern, L\"ange von Interspikeintervallen).  Es
@@ -228,10 +210,9 @@ Standardabweichung $\sigma$.
 \end{figure}
 
 \begin{exercise}{gaussianbins.m}{}
-  \tr{Draw 100 random data from a Gaussian distribution and plot
+  Draw 100 random data from a Gaussian distribution and plot
-    histograms with different bin sizes of the data.}  {Ziehe 100
+  histograms with different bin sizes of the data. What do you
-    normalverteilte Zufallszahlen und erzeuge Histogramme mit
+  observe?
-    unterschiedlichen Klassenbreiten. Was f\"allt auf?}
 \end{exercise}
 
 \pagebreak[2]
@@ -259,7 +240,7 @@ $\Delta x$ der Klassen geteilt werden (\figref{pdfhistogramfig}).
 \end{exercise}
 
 
-\section{\tr{Correlations}{Korrelationen}}
+\section{Correlations}
 
 \begin{figure}[tp]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{correlation}