Small fixes in regression and likelihood

likelihood/lecture/likelihood.tex

@@ -28,7 +28,7 @@ den Parametern $\theta$.
 
 Wenn nun den $n$ unabh\"angigen Beobachtungen $x_1, x_2, \ldots x_n$
 die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x|\theta)$ zugrundeliegt
-(\enterm{i.i.d.} idependent and identically distributed), dann ist die
+(\enterm{i.i.d.} independent and identically distributed), dann ist die
 Verbundwahrscheinlichkeit $p(x_1,x_2, \ldots x_n|\theta)$ des
 Auftretens der Werte $x_1, x_2, \ldots x_n$, gegeben ein bestimmtes
 $\theta$,
@@ -71,14 +71,14 @@ Gr\"unden wird meistens das Maximum der logarithmierten Likelihood
 Wenn die Me{\ss}daten $x_1, x_2, \ldots x_n$ der Normalverteilung
 \eqnref{normpdfmean} entstammen, und wir den Mittelwert $\mu=\theta$ als
 einzigen Parameter der Verteilung betrachten, welcher Wert von
-$\theta$ maximiert dessen Likelhood?
+$\theta$ maximiert dessen Likelihood?
 
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{mlemean}
   \titlecaption{\label{mlemeanfig} Maximum Likelihood Sch\"atzung des
     Mittelwerts.}{Oben: Die Daten zusammen mit drei m\"oglichen
     Normalverteilungen mit unterschiedlichen Mittelwerten (Pfeile) aus
-    denen die Daten stammen k\"onnten.  Unteln links: Die Likelihood
+    denen die Daten stammen k\"onnten.  Unten links: Die Likelihood
     in Abh\"angigkeit des Mittelwerts als Parameter der
     Normalverteilungen. Unten rechts: die entsprechende
     Log-Likelihood. An der Position des Maximums bei $\theta=2$
@@ -91,15 +91,15 @@ Die Log-Likelihood \eqnref{loglikelihood} ist
   & = & \sum_{i=1}^n \log \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x_i-\theta)^2}{2\sigma^2}} \\
   & = & \sum_{i=1}^n - \log \sqrt{2\pi \sigma^2} -\frac{(x_i-\theta)^2}{2\sigma^2} \; .
 \end{eqnarray*}
-Der Logarithmus hat die sch\"one Eigenschaft die Exponentialfunktion
+Der Logarithmus hat die sch\"one Eigenschaft, die Exponentialfunktion
 der Normalverteilung auszul\"oschen, da der Logarithmus die
 Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist ($\log(e^x)=x$).
 
 Zur Bestimmung des Maximums der Log-Likelihood berechnen wir deren Ableitung
 nach dem Parameter $\theta$ und setzen diese gleich Null: 
 \begin{eqnarray*}
-  \frac{\text{d}}{\text{d}\theta} \log {\cal L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n) & = & \sum_{i=1}^n \frac{2(x_i-\theta)}{2\sigma^2} \;\; = \;\; 0 \\
-  \Leftrightarrow \quad \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n x_i \theta & = & 0 \\
+  \frac{\text{d}}{\text{d}\theta} \log {\cal L}(\theta|x_1,x_2, \ldots x_n) & = & \sum_{i=1}^n - \frac{2(x_i-\theta)}{2\sigma^2} \;\; = \;\; 0 \\
+  \Leftrightarrow \quad \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n \theta & = & 0 \\
   \Leftrightarrow \quad n \theta & = & \sum_{i=1}^n x_i \\
   \Leftrightarrow \quad \theta & = & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \;\; = \;\; \bar x
 \end{eqnarray*}
@@ -188,12 +188,12 @@ und setzen diese gleich Null:
 \Leftrightarrow \quad  \theta & = & \frac{\sum_{i=1}^n \frac{x_iy_i}{\sigma_i^2}}{ \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{\sigma_i^2}} \label{mleslope}
 \end{eqnarray}
 Damit haben wir nun einen anlytischen Ausdruck f\"ur die Bestimmung
-der Steigung $\theta$ des Regressionsgeraden gewonnen
+der Steigung $\theta$ der Regressionsgeraden gewonnen
 (\figref{mleproplinefig}).
 
 Ein Gradientenabstieg ist f\"ur das Fitten der Geradensteigung also
 gar nicht n\"otig. Das gilt allgemein f\"ur das Fitten von
-Koeffizienten von linear kombinierten Basisfunktionen. Wie z.B. die
+Koeffizienten von linear kombinierten Basisfunktionen. Wie z.B.
 die Steigung $m$ und der y-Achsenabschnitt $b$ einer Geradengleichung
 \[ y = m \cdot x +b \]
 oder allgemeiner die Koeffizienten $a_k$ eines Polynoms
@@ -279,8 +279,8 @@ als Funktion des Orientierungswinkels).
     bevorzugte Orientierung des Stimulus (farbige Linien).  Ein
     Stimulus einer bestimmten Orientierung aktiviert die Neurone in
     spezifischer Weise (Punkte). Unten: Die Log-Likelihood dieser
-    Aktivit\"aten wir maximal in der N\"ahe der wahren Orientierung
-    des Stimulus.}
+    Aktivit\"aten wird in der N\"ahe der wahren Orientierung
+    des Stimulus maximiert.}
 \end{figure}
 
 Das Gehirn ist aber mit dem umgekehrten Problem konfrontiert: gegeben