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Small updates on pointprocesses

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Jan Benda
2015-10-27 09:12:03 +01:00
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commit 8fb45e4164
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24
pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex
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@@ -56,19 +56,28 @@ erzeugt. Zum Beispiel:
\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
\end{itemize}
\subsection{Interval return maps}
Scatter plot von aufeinander folgenden Intervallen $(T_{i+k}, T_i)$ getrennt durch das ``lag'' $k$.
\subsection{Korrelationen der Intervalle}
In ``return maps'' werden die um das ``Lag'' $k$ verz\"ogerten
Intervalle $T_{i+k}$ gegen die Intervalle $T_i$ geplottet. Dies macht
m\"ogliche Abh\"angigkeiten von aufeinanderfolgenden Intervallen
sichtbar.
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples}
\includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples}
\caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps and serial correlations.}
\caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps und
serielle Korrelationen zwischen aufeinander folgenden Intervallen
im Abstand des Lags $k$.}
\end{figure}
\subsection{Serielle Korrelationen der Intervalle}
Korrelationskoeffizient zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``lag'' $k$:
\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} \]
$\rho_0=1$ (Korrelation jedes Intervalls mit sich selber).
Solche Ab\"angigkeiten werden durch die serielle Korrelation der
Intervalle quantifiziert. Das ist der Korrelationskoeffizient
zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``Lag'' $k$:
\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)}
= {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \]
\"Ublicherweise wird die Korrelation $\rho_k$ gegen den Lag $k$
aufgetragen (\figref{returnmapfig}). $\rho_0=1$ (Korrelation jedes
Intervalls mit sich selber).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -87,7 +96,6 @@ Statistik der Anzahl der Ereignisse $N_i$ innerhalb von Beobachtungsfenstern $i$
\item Varianz der Anzahl: $\sigma_N^2 = \langle (N - \langle N \rangle)^2 \rangle$.
\item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_N^2}{\mu_N}$.
\end{itemize}
Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz
\[ r = \frac{\langle N \rangle}{W} \; . \]