diff --git a/pointprocesses/lecture/pointprocesses_de.tex b/pointprocesses/lecture/pointprocesses_de.tex
new file mode 100644
index 0000000..4b0850f
--- /dev/null
+++ b/pointprocesses/lecture/pointprocesses_de.tex
@@ -0,0 +1,515 @@
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{Analyse von Spiketrains}
+
+\selectlanguage{ngerman}
+
+\determ[Aktionspotential]{Aktionspotentiale} (\enterm{spikes}) sind die Tr\"ager der
+Information in Nervensystemen.  Dabei ist in erster Linie nur der
+Zeitpunkt des Auftretens eines Aktionspotentials von Bedeutung. Die
+genaue Form des Aktionspotentials spielt keine oder nur eine
+untergeordnete Rolle.
+
+Nach etwas Vorverarbeitung haben elektrophysiologische Messungen
+deshalb Listen von Spikezeitpunkten als Ergebniss --- sogenannte
+\enterm{spiketrains}. Diese Messungen k\"onnen wiederholt werden und
+es ergeben sich mehrere \enterm{trials} von Spiketrains
+(\figref{rasterexamplesfig}).
+
+Spiketrains sind Zeitpunkte von Ereignissen --- den Aktionspotentialen
+--- und deren Analyse f\"allt daher in das Gebiet der Statistik von
+sogenannten \determ[Punktprozess]{Punktprozessen}.
+
+\begin{figure}[ht]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{rasterexamples}
+  \titlecaption{\label{rasterexamplesfig}Raster-Plot.}{Raster-Plot von
+    jeweils 10 Realisierungen eines station\"arenen Punktprozesses
+    (homogener Poisson Prozess mit Rate $\lambda=20$\;Hz, links) und
+    eines nicht-station\"aren Punktprozesses (perfect
+    integrate-and-fire Neuron getrieben mit Ohrnstein-Uhlenbeck
+    Rauschen mit Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).  Jeder
+    vertikale Strich markiert den Zeitpunkt eines Ereignisses.
+    Jede Zeile zeigt die Ereignisse eines trials.}
+\end{figure}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Punktprozesse}
+
+Ein zeitlicher Punktprozess (\enterm{point process}) ist ein
+stochastischer Prozess, der eine Abfolge von Ereignissen zu den Zeiten
+$\{t_i\}$, $t_i \in \reZ$, generiert.
+
+\begin{ibox}{Beispiele von Punktprozessen}
+Jeder Punktprozess wird durch einen sich in der Zeit kontinuierlich
+entwickelnden Prozess generiert. Wann immer dieser Prozess eine
+Schwelle \"uberschreitet wird ein Ereigniss des Punktprozesses
+erzeugt. Zum Beispiel:
+\begin{itemize}
+\item Aktionspotentiale/Herzschlag: wird durch die Dynamik des
+  Membranpotentials eines Neurons/Herzzelle erzeugt.
+\item Erdbeben: wird durch die Dynamik des Druckes zwischen
+  tektonischen Platten auf beiden Seiten einer geologischen Verwerfung
+  erzeugt.
+\item Zeitpunkt eines Grillen/Frosch/Vogelgesangs: wird durch die
+  Dynamik des Nervensystems und des Muskelapparates erzeugt.
+\end{itemize}
+\end{ibox}
+
+\begin{figure}[t]
+  \texpicture{pointprocessscetch}
+  \titlecaption{\label{pointprocessscetchfig} Statistik von
+    Punktprozessen.}{Ein Punktprozess ist eine Abfolge von
+    Zeitpunkten $t_i$ die auch durch die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$
+    oder die Anzahl der Ereignisse $n_i$ beschrieben werden kann. }
+\end{figure}
+
+F\"ur die Neurowissenschaften ist die Statistik der Punktprozesse
+besonders wichtig, da die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als
+zeitlicher Punktprozess betrachtet werden k\"onnen und entscheidend
+f\"ur die Informations\"ubertragung sind.
+
+Bei Punktprozessen k\"onnen wir die Zeitpunkte $t_i$ ihres Auftretens,
+die Intervalle zwischen diesen Zeitpunkten $T_i=t_{i+1}-t_i$, sowie
+die Anzahl der Ereignisse $n_i$ bis zu einer bestimmten Zeit betrachten
+(\figref{pointprocessscetchfig}).
+
+Zwei Punktprozesse mit verschiedenen Eigenschaften sind in
+\figref{rasterexamplesfig} als Rasterplot dargestellt, bei dem die
+Zeitpunkte der Ereignisse durch senkrechte Striche markiert werden.
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
+\section{Intervallstatistik}
+
+Die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ zwischen aufeinanderfolgenden
+Ereignissen sind reelle, positive Zahlen. Bei Aktionspotentialen
+heisen die Intervalle auch \determ{Interspikeintervalle}
+(\enterm{interspike intervals}). Deren Statistik kann mit den
+\"ublichen Gr\"o{\ss}en beschrieben werden.
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=0.96\textwidth]{isihexamples}\vspace{-2ex}
+  \titlecaption{\label{isihexamplesfig}Interspikeintervall Histogramme}{der in
+    \figref{rasterexamplesfig} gezeigten Spikes.}
+\end{figure}
+
+\begin{exercise}{isis.m}{}
+  Schreibe eine Funktion \code{isis()}, die aus mehreren trials von Spiketrains die
+  Interspikeintervalle bestimmt und diese in einem Vektor
+  zur\"uckgibt. Jeder trial der Spiketrains ist ein Vektor mit den
+  Spikezeiten gegeben in Sekunden als Element in einem \codeterm{cell-array}.
+\end{exercise}
+
+\subsection{Intervallstatistik erster Ordnung}
+\begin{itemize}
+\item Wahrscheinlichkeitsdichte $p(T)$ der Intervalle $T$
+  (\figref{isihexamplesfig}). Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT
+  = 1$.
+\item Mittleres Intervall: $\mu_{ISI} = \langle T \rangle =
+  \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$.
+\item Standardabweichung der Intervalle: $\sigma_{ISI} = \sqrt{\langle (T - \langle T
+  \rangle)^2 \rangle}$\vspace{1ex}
+\item \determ{Variationskoeffizient} (\enterm{coefficient of variation}): $CV_{ISI} =
+  \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$.
+\item \determ{Diffusionskoeffizient} (\enterm{diffusion coefficient}): $D_{ISI} =
+  \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
+\end{itemize}
+
+\begin{exercise}{isihist.m}{}
+  Schreibe eine Funktion \code{isiHist()}, die einen Vektor mit Interspikeintervallen
+  entgegennimmt und daraus ein normiertes Histogramm der Interspikeintervalle
+  berechnet.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}{plotisihist.m}{}
+  Schreibe eine Funktion, die die Histogrammdaten der Funktion
+  \code{isiHist()} entgegennimmt, um das Histogramm zu plotten.  Im
+  Plot sollen die Interspikeintervalle in Millisekunden aufgetragen
+  werden.  Das Histogramm soll zus\"atzlich mit Mittelwert,
+  Standardabweichung und Variationskoeffizient der
+  Interspikeintervalle annotiert werden.
+\end{exercise}
+
+\subsection{Korrelationen der Intervalle}
+In \enterm{return maps} werden die um das \enterm{lag} $k$ verz\"ogerten
+Intervalle $T_{i+k}$ gegen die Intervalle $T_i$ geplottet. Dies macht
+m\"ogliche Abh\"angigkeiten von aufeinanderfolgenden Intervallen
+sichtbar.
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples}
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples}
+  \titlecaption{\label{returnmapfig}Interspikeintervall return maps und
+    serielle Korrelationen}{zwischen aufeinander folgenden Intervallen
+    im Abstand des Lags $k$.}
+\end{figure}
+
+Solche Ab\"angigkeiten werden durch die \determ{serielle
+  Korrelationen} (\enterm{serial correlations}) der Intervalle
+quantifiziert.  Das ist der \determ{Korrelationskoeffizient} zwischen
+aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch lag $k$:
+\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} 
+= {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \]
+\"Ublicherweise wird die Korrelation $\rho_k$ gegen den Lag $k$
+aufgetragen (\figref{returnmapfig}).  $\rho_0=1$ (Korrelation jedes
+Intervalls mit sich selber).
+
+\begin{exercise}{isiserialcorr.m}{}
+  Schreibe eine Funktion \code{isiserialcorr()}, die einen Vektor mit Interspikeintervallen
+  entgegennimmt und daraus die seriellen Korrelationen berechnet und plottet.
+  \pagebreak[4]
+\end{exercise}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Z\"ahlstatistik}
+
+% \begin{figure}[t]
+%   \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz10ms}\hfill
+%   \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz100ms}
+%   \titlecaption{\label{countstatsfig}Count Statistik.}{}
+% \end{figure}
+
+Die Anzahl der Ereignisse $n_i$ in Zeifenstern $i$ der
+L\"ange $W$ ergeben ganzzahlige, positive Zufallsvariablen, die meist
+durch folgende Sch\"atzer charakterisiert werden:
+\begin{itemize}
+\item Histogramm der counts $n_i$.
+\item Mittlere Anzahl von Ereignissen: $\mu_N = \langle n \rangle$.
+\item Varianz der Anzahl: $\sigma_n^2 = \langle (n - \langle n \rangle)^2 \rangle$.
+\item \determ{Fano Faktor} (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_n^2}{\mu_n}$.
+\end{itemize}
+Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (Spikes pro
+Zeit, \determ{Feuerrate}) gemessen in Hertz \sindex[term]{Feuerrate!mittlere Rate}
+\begin{equation}
+  \label{firingrate}
+  r = \frac{\langle n \rangle}{W} \; .
+\end{equation}
+
+% \begin{figure}[t]
+%   \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
+%     Poisson process $\lambda=100$\,Hz:\\
+%     \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonfano100hz}
+%   \end{minipage}
+%   \hfill
+%   \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
+%     LIF $I=10$, $\tau_{adapt}=100$\,ms:\\
+%     \includegraphics[width=1\textwidth]{lifadaptfano10-100ms}
+%   \end{minipage}
+%   \titlecaption{\label{fanofig}Fano factor.}{}
+% \end{figure}
+
+\begin{exercise}{counthist.m}{}
+  Schreibe eine Funktion \code{counthist()}, die aus mehreren trials
+  von Spiketrains die Verteilung der Anzahl der Spikes in Fenstern
+  einer der Funktion \"ubergegebenen Breite bestimmt, das Histogramm
+  plottet und zur\"uckgibt. Jeder trial der Spiketrains ist ein Vektor
+  mit den Spikezeiten gegeben in Sekunden als Element in einem
+  \codeterm{cell-array}.
+\end{exercise}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Homogener Poisson Prozess}
+F\"ur kontinuierliche Me{\ss}gr\"o{\ss}en ist die Normalverteilung
+u.a. wegen dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine
+\"ahnliche Rolle spielt bei Punktprozessen der \determ{Poisson
+  Prozess}.
+
+Beim \determ[Poisson Prozess!homogener]{homogenen Poisson Prozess}
+treten Ereignisse mit einer festen Rate $\lambda=\text{const.}$ auf
+und sind unabh\"angig von der Zeit $t$ und unabh\"angig von den
+Zeitpunkten fr\"uherer Ereignisse (\figref{hompoissonfig}). Die
+Wahrscheinlichkeit zu irgendeiner Zeit ein Ereigniss in einem kleinen
+Zeitfenster der Breite $\Delta t$ zu bekommen ist
+\begin{equation}
+  \label{hompoissonprob}
+  P = \lambda \cdot \Delta t \; . 
+\end{equation}
+Beim \determ[Poisson Prozess!inhomogener]{inhomogenen Poisson Prozess}
+h\"angt die Rate $\lambda$ von der Zeit ab: $\lambda = \lambda(t)$.
+
+\begin{exercise}{poissonspikes.m}{}
+  Schreibe eine Funktion \code{poissonspikes()}, die die Spikezeiten
+  eines homogenen Poisson-Prozesses mit gegebener Rate in Hertz f\"ur
+  eine Anzahl von trials gegebener maximaler L\"ange in Sekunden in
+  einem \codeterm{cell-array} zur\"uckgibt. Benutze \eqnref{hompoissonprob}
+  um die Spikezeiten zu bestimmen.
+\end{exercise}
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz}
+  \titlecaption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Spikes eines homogenen
+    Poisson Prozesses mit $\lambda=100$\,Hz.}{}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill
+  \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz}
+  \titlecaption{\label{hompoissonisihfig}Interspikeintervallverteilungen
+    zweier Poissonprozesse.}{}
+\end{figure}
+
+Der homogene Poissonprozess hat folgende Eigenschaften:
+\begin{itemize}
+\item Die Intervalle $T$ sind exponentiell verteilt (\figref{hompoissonisihfig}):
+  \begin{equation}
+    \label{poissonintervals}
+    p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .
+  \end{equation}
+\item Das mittlere Intervall ist $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$ .
+\item Die Varianz der Intervalle ist $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$ .
+\item Der Variationskoeffizient ist also immer $CV_{ISI} = 1$ .
+\item Die \determ[serielle Korrelationen]{seriellen Korrelationen}
+  $\rho_k =0$ f\"ur $k>0$, da das Auftreten der Ereignisse
+  unabh\"angig von der Vorgeschichte ist. Ein solcher Prozess wird
+  auch \determ{Erneuerungsprozess} genannt (\enterm{renewal process}).
+\item Die Anzahl der Ereignisse $k$ innerhalb eines Fensters der
+  L\"ange W ist \determ[Poisson-Verteilung]{Poissonverteilt}:
+\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]
+ (\figref{hompoissoncountfig})
+\item Der \determ{Fano Faktor} ist immer $F=1$ .
+\end{itemize}
+
+\begin{exercise}{hompoissonspikes.m}{}
+  Schreibe eine Funktion \code{hompoissonspikes()}, die die Spikezeiten
+  eines homogenen Poisson-Prozesses mit gegebener Rate in Hertz f\"ur
+  eine Anzahl von trials gegebener maximaler L\"ange in Sekunden in
+  einem \codeterm{cell-array} zur\"uckgibt. Benutze die exponentiell-verteilten
+  Interspikeintervalle \eqnref{poissonintervals}, um die Spikezeiten zu erzeugen.
+\end{exercise}
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill
+  \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms}
+  \titlecaption{\label{hompoissoncountfig}Z\"ahlstatistik von Poisson Spikes.}{}
+\end{figure}
+
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Zeitabh\"angige Feuerraten}
+
+Bisher haben wir station\"are Spiketrains betrachtet, deren Statistik
+sich innerhalb der Analysezeit nicht ver\"andert (station\"are
+Punktprozesse).  Meistens jedoch \"andert sich die Statistik der
+Spiketrains eines Neurons mit der Zeit. Z.B. kann ein sensorisches
+Neuron auf einen Reiz hin mit einer erh\"ohten Feuerrate antworten
+(nichtstation\"arer Punktprozess).
+
+Wie die mittlere Anzahl der Spikes sich mit der Zeit ver\"andert, die
+\determ{Feuerrate} $r(t)$, ist die wichtigste Gr\"o{\ss}e bei
+nicht-station\"aren Spiketrains.  Die Einheit der Feuerrate ist Hertz,
+also Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Es gibt verschiedene
+Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung
+\ref{psthfig} dargestellt. Alle Methoden haben ihre Berechtigung und
+ihre Vor- und Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus
+Abbildung \ref{psthfig} n\"aher erl\"autert.
+
+\begin{figure}[tp]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{firingrates}
+  \titlecaption{Bestimmung der zeitabh\"angigen
+    Feuerrate.}{\textbf{A)} Rasterplot eines Spiketrains. \textbf{B)}
+    Feurerrate aus der instantanen Feuerrate bestimmt. \textbf{C)}
+    klassisches PSTH mit der Binning Methode. \textbf{D)} Feuerrate
+    durch Faltung mit einem Gauss Kern bestimmt.}\label{psthfig}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Instantane Feuerrate}
+
+\begin{figure}[tp]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{isimethod}
+  \titlecaption{Instantane Feuerrate.}{Skizze eines Spiketrains
+    (oben).  Die Pfeile zwischen aufeinanderfolgenden
+    Aktionspotentialen mit den Zahlen in Millisekunden illustrieren
+    die Interspikeintervalle. Der Kehrwert des Interspikeintervalle
+    ergibt die instantane Feuerrate.}\label{instrate}
+\end{figure}
+
+Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist
+die sogenannte \determ[Feuerrate!instantane]{instantane Feuerrate}
+(\enterm[firing rate!instantaneous]{instantaneous firing rate}). Dabei
+wird die Feuerrate aus dem Kehrwert der Interspikeintervalle, der Zeit
+zwischen zwei aufeinander folgenden Aktionspotentialen
+(\figref{instrate} A), bestimmt. Die abgesch\"atzte Feuerrate
+(\figref{instrate} B) ist g\"ultig f\"ur das gesammte
+Interspikeintervall. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie sehr
+einfach zu berechnen ist und keine Annahme \"uber eine relevante
+Zeitskala (der Kodierung oder des Auslesemechanismus der
+postsynaptischen Zelle) macht. $r(t)$ ist allerdings keine
+kontinuierliche Funktion, die Spr\"unge in der Feuerrate k\"onnen
+f\"ur manche Analysen nachteilig sein. Au{\ss}erdem wird die Feuerrate
+nie gleich Null, auch wenn lange keine Aktionspotentiale generiert
+wurden.
+
+\begin{exercise}{instantaneousRate.m}{}
+  Implementiere die Absch\"atzung der Feuerrate auf Basis der
+  instantanen Feuerrate. Plotte die Feuerrate als Funktion der Zeit.
+\end{exercise}
+
+
+\subsection{Peri-Stimulus-Zeit-Histogramm}
+W\"ahrend die Instantane Rate den Kehrwert der Zeit von einem bis zum
+n\"achsten Aktionspotential misst, sch\"atzt das sogenannte
+\determ{Peri-Stimulus-Zeit-Histogramm} (\enterm{peri stimulus time
+  histogram}, \determ[PSTH|see{Peri-Stimulus-Zeit-Histogramm}]{PSTH})
+die Wahrscheinlichkeit ab, zu einem Zeitpunkt Aktionspotentiale
+anzutreffen. Es wird versucht die mittlere Rate \eqnref{firingrate} im
+Grenzwert kleiner Beobachtungszeiten abzusch\"atzen:
+\begin{equation}
+  \label{psthrate}
+  r(t) = \lim_{W \to 0} \frac{\langle n \rangle}{W} \; ,
+\end{equation}
+wobei die Anzahl $n$ der Aktionspotentiale, die im Zeitintervall
+$(t,t+W)$ aufgetreten sind, \"uber trials gemittelt wird.  Eine solche
+Rate enspricht der zeitabh\"angigen Rate $\lambda(t)$ des inhomogenen
+Poisson-Prozesses. 
+
+Das PSTH \eqnref{psthrate} kann entweder \"uber die Binning-Methode
+oder durch Verfaltung mit einem Kern bestimmt werden. Beiden Methoden
+gemeinsam ist die Notwendigkeit der Wahl einer zus\"atzlichen Zeitskala,
+die der Beobachtungszeit $W$ in \eqnref{psthrate} entspricht.
+
+\subsubsection{Binning-Methode}
+
+\begin{figure}[tp]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{binmethod}
+  \titlecaption{Bestimmung des PSTH mit der Binning Methode.}{Der
+    gleiche Spiketrain wie in \figref{instrate}. Die grauen Linien
+    markieren die Grenzen der Bins und die Zahlen geben die Anzahl der Spikes
+    in jedem Bin an (oben). Die Feuerrate ergibt sich aus dem
+    mit der Binbreite normierten Zeithistogramm (unten).}\label{binpsth}
+\end{figure}
+
+Bei der Binning-Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige
+Abschnitte (Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in
+die jeweiligen Bins fallen, gez\"ahlt (\figref{binpsth} A). Um diese
+Z\"ahlungen in die Feuerrate umzurechnen muss noch mit der Binweite
+normiert werden. Das ist \"aquivalent zur Absch\"atzung einer
+Wahrscheinlichkeitsdichte. Es kann auch die \code{hist()} Funktion zur
+Bestimmung des PSTHs verwendet werden. \sindex[term]{Feuerrate!Binningmethode}
+
+Die bestimmte Feuerrate gilt f\"ur das gesamte Bin (\figref{binpsth}
+B). Das so berechnete PSTH hat wiederum eine stufige Form, die von der
+Wahl der Binweite anh\"angt.  $r(t)$ ist also keine stetige
+Funktion. Die Binweite bestimmt die zeitliche Aufl\"osung der
+Absch\"atzung. \"Anderungen in der Feuerrate, die innerhalb eines Bins
+vorkommen k\"onnen nicht aufgl\"ost werden. Mit der Wahl der Binweite
+wird somit eine Annahme \"uber die relevante Zeitskala des Spiketrains
+gemacht.
+
+\pagebreak[4]
+\begin{exercise}{binnedRate.m}{}
+  Implementiere die Absch\"atzung der Feuerrate mit der ``binning''
+  Methode. Plotte das PSTH.
+\end{exercise}
+
+\subsubsection{Faltungsmethode}
+
+\begin{figure}[tp]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{convmethod}
+  \titlecaption{Bestimmung des PSTH mit der Faltungsmethode.}{Der
+    gleiche Spiketrain wie in \figref{instrate}. Bei der Verfaltung
+    des Spiketrains mit einem Faltungskern wird jeder Spike durch den
+    Faltungskern ersetzt (oben). Bei korrekter Normierung des
+    Kerns ergibt sich die Feuerrate direkt aus der \"Uberlagerung der
+    Kerne.}\label{convrate}
+\end{figure}
+
+Bei der Faltungsmethode werden die harten Kanten der Bins der
+Binning-Methode vermieden. Der Spiketrain wird mit einem Kern
+verfaltet, d.h.  jedes Aktionspotential wird durch den Kern ersetzt.
+Zur Berechnung wird die Aktionspotentialfolge zun\"achst
+``bin\"ar'' dargestellt. Dabei wird ein Spiketrain als
+(Zeit-)Vektor dargestellt, in welchem die Zeitpunkte der
+Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle anderen Elemente des
+Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser bin\"are Spiketrain mit
+einem Gau{\ss}-Kern bestimmter Breite verfaltet:
+ \[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \omega(\tau) \, \rho(t-\tau) \, {\rm d}\tau \; , \]
+wobei $\omega(\tau)$ der Filterkern und $\rho(t)$ die bin\"are Antwort
+ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $\rho(t)$ durch den Filterkern
+ersetzt (Abbildung \ref{convrate} A). Wenn der Kern richtig normiert
+wurde (Integral gleich Eins), ergibt sich die Feuerrate direkt aus der
+\"Uberlagerung der Kerne (Abb. \ref{convrate} B). \sindex[term]{Feuerrate!Faltungsmethode}
+
+Die Faltungsmethode f\"uhrt, anders als die anderen Methoden, zu einer
+stetigen Funktion was insbesondere f\"ur spektrale Analysen von
+Vorteil sein kann. Die Wahl der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur
+Binweite, die zeitliche Aufl\"osung von $r(t)$. Die Breite des Kerns
+macht also auch wieder eine Annahme \"uber die relevante Zeitskala des
+Spiketrains.
+
+\pagebreak[4]
+\begin{exercise}{convolutionRate.m}{}
+  Verwende die Faltungsmethode um die Feuerrate zu bestimmen. Plotte
+  das Ergebnis.
+\end{exercise}
+
+\section{Spike-triggered Average}
+Die graphischer Darstellung der Feuerrate allein reicht nicht aus um
+den Zusammenhang zwischen neuronaler Antwort und einem Stimulus zu
+analysieren.  Eine Methode um mehr \"uber diesen Zusammenhang zu
+erfahren, ist der \enterm{spike-triggered average}
+(\enterm[STA|see{spike-triggered average}]{STA}). Der STA
+\begin{equation}
+  STA(\tau) = \langle s(t - \tau) \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} s(t_i - \tau)
+\end{equation}
+der $N$ Aktionspotentiale zu den Zeiten $t_i$ in Anwort auf den
+Stimulus $s(t)$ ist der mittlere Stimulus, der zu einem
+Aktionspotential in der neuronalen Antwort f\"uhrt.
+
+Der STA l\"a{\ss}t sich relativ einfach berechnen, indem aus dem
+Stimulus f\"ur jeden beobachteten Spike ein entsprechender Abschnitt
+ausgeschnitten wird und diese dann gemittelt werde (\figref{stafig}). 
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{sta}
+  \titlecaption{Spike-triggered Average eines P-Typ Elektrorezeptors
+    und Stimulusrekonstruktion.}{Der STA (links): der Rezeptor
+    wurde mit einem ``white-noise'' Stimulus getrieben. Zeitpunkt 0
+    ist der Zeitpunkt des beobachteten Aktionspotentials. Die Kurve
+    ergibt sich aus dem gemittelten Stimulus je 50\,ms vor und nach
+    einem Aktionspotential. Stimulusrekonstruktion mittels
+    STA (rechts). Die Zellantwort wird mit dem STA gefaltet um eine
+    Rekonstruktion des Stimulus zu erhalten.}\label{stafig}
+\end{figure}
+
+Aus dem STA k\"onnen verschiedene Informationen \"uber den
+Zusammenhang zwischen Stimulus und neuronaler Antwort gewonnen
+werden. Die Breite des STA repr\"asentiert die zeitliche Pr\"azision,
+mit der Stimulus und Antwort zusammenh\"angen und wie weit das Neuron
+zeitlich integriert. Die Amplitude des STA (gegeben in der gleichen
+Einheit wie der Stimulus) deutet auf die Empfindlichkeit des Neurons
+bez\"uglich des Stimulus hin. Eine hohe Amplitude besagt, dass es
+einen starken Stimulus ben\"otigt, um ein Aktionspotential
+hervorzurufen. Aus dem zeitlichen Versatz des STA kann die Zeit
+abgelesen werden, die das System braucht, um auf den Stimulus zu
+antworten.
+
+Der STA kann auch dazu benutzt werden, aus den Antworten der Zelle den
+Stimulus zu rekonstruieren (\figref{stafig} B). Bei der
+\determ[invertierte Rekonstruktion]{invertierten Rekonstruktion} wird
+die Zellantwort mit dem STA verfaltet.
+
+\begin{exercise}{spikeTriggeredAverage.m}{}
+  Implementiere eine Funktion, die den STA ermittelt. Verwende dazu
+  den Datensatz \file{sta\_data.mat}. Die Funktion sollte folgende
+  R\"uckgabewerte haben:
+  \vspace{-1ex}
+  \begin{itemize}
+    \setlength{\itemsep}{0ex}
+  \item den Spike-Triggered-Average.
+  \item die Standardabweichung der individuellen STAs.
+  \item die Anzahl Aktionspotentiale, die zur Berechnung des STA verwendet wurden.
+  \vspace{-2ex}
+  \end{itemize}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}{reconstructStimulus.m}{}
+  Rekonstruiere den Stimulus mithilfe des STA und der Spike
+  Zeiten. Die Funktion soll Vektor als R\"uckgabewert haben, der
+  genauso gro{\ss} ist wie der Originalstimulus aus der Datei
+  \file{sta\_data.mat}.
+\end{exercise}
+
+\selectlanguage{english}