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pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex

@@ -38,22 +38,49 @@ erzeugt. Zum Beispiel:
     Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).}
 \end{figure}
 
+F\"ur die Neurowissenschaften ist die Statistik der Punktprozesse
+besonders wichtig, da die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als
+zeitlicher Punktprozess betrachtet werden k\"onnen und entscheidend
+f\"ur die Informations\"ubertragung sind.
+
+Bei Punktprozessen k\"onnen wir die Zeitpunkte $t_i$ ihres Auftretens,
+die Intervalle zwischen diesen Zeitpunkten $T_i=t_{i+1}-t_i$, sowie
+die Anzahl der Ereignisse $n_i$ bis zu einer bestimmten Zeit betrachten
+(\figref{pointprocessscetchfig}).
+
+Zwei Punktprozesse mit verschiedenen Eigenschaften sind in
+\figref{rasterexamplesfig} als Rasterplot dargestellt, bei dem die
+Zeitpunkte der Ereignisse durch senkrechte Striche markiert werden.
+
+
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
-\section{Intervall Statistik}
+\section{Intervallstatistik}
+
+Die Intervalle $T_i=t_{i+1}-t_i$ zwischen aufeinanderfolgenden
+Ereignissen sind reelle, positive Zahlen. Bei Aktionspotentialen
+(``Spikes'') heisen die Intervalle auch
+``Interspikeintervalle''. Deren Statistik kann mit den \"ublichen
+Gr\"o{\ss}en beschrieben werden.
 
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{isihexamples}\hfill
-  \caption{\label{isihexamplesfig}Interspike-Intervall Histogramme der in
+  \caption{\label{isihexamplesfig}Interspikeintervall Histogramme der in
     \figref{rasterexamplesfig} gezeigten Spikes.}
 \end{figure}
 
-\subsection{(Interspike) Intervall Statistik erster Ordnung}
+\subsection{Intervallstatistik erster Ordnung}
 \begin{itemize}
-\item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$. Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT = 1$.
-\item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$.
-\item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex}
-\item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$.
-\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
+\item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$
+  (\figref{isihexamplesfig}). Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT
+  = 1$.
+\item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle =
+  \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$.
+\item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T
+  \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex}
+\item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} =
+  \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$.
+\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} =
+  \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
 \end{itemize}
 
 \subsection{Korrelationen der Intervalle}
@@ -65,7 +92,7 @@ sichtbar.
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples}
   \includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples}
-  \caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps und
+  \caption{\label{returnmapfig}Interspikeintervall return maps und
     serielle Korrelationen zwischen aufeinander folgenden Intervallen
     im Abstand des Lags $k$.}
 \end{figure}
@@ -89,15 +116,17 @@ Intervalls mit sich selber).
 %   \caption{\label{countstatsfig}Count Statistik.}
 % \end{figure}
 
-Statistik der Anzahl der Ereignisse $N_i$ innerhalb von Beobachtungsfenstern $i$ der Breite $W$.
+Die Anzahl der Ereignisse $n_i$ in Zeifenstern $i$ der
+L\"ange $W$ ergeben ganzzahlige, positive Zufallsvariablen die meist durch folgende
+Sch\"atzer charakterisiert werden:
 \begin{itemize}
-\item Histogramm der counts $N_i$.
-\item Mittlere Anzahl von Ereignissen: $\mu_N = \langle N \rangle$.
-\item Varianz der Anzahl: $\sigma_N^2 = \langle (N - \langle N \rangle)^2 \rangle$.
-\item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_N^2}{\mu_N}$.
+\item Histogramm der counts $n_i$.
+\item Mittlere Anzahl von Ereignissen: $\mu_N = \langle n \rangle$.
+\item Varianz der Anzahl: $\sigma_n^2 = \langle (n - \langle n \rangle)^2 \rangle$.
+\item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_n^2}{\mu_n}$.
 \end{itemize}
 Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz
-\[ r = \frac{\langle N \rangle}{W} \; . \]
+\[ r = \frac{\langle n \rangle}{W} \; . \]
 
 % \begin{figure}[t]
 %   \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth}
@@ -116,25 +145,25 @@ Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feue
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Homogener Poisson Prozess}
 F\"ur kontinuierliche Me{\ss}gr\"o{\ss}en ist die Normalverteilung
-u.a. wegem dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine
+u.a. wegen dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine
 \"ahnliche Rolle spilet bei Punktprozessen der ``Poisson Prozess''.
 
 Beim homogenen Poisson Prozess treten Ereignisse mit einer festen Rate
 $\lambda=\text{const.}$ auf und sind unabh\"angig von der Zeit $t$ und
-unabh\"angig von den Zeitpunkten fr\"uherer Ereignisse. Die
-Wahrscheinlichkeit zu irgendeiner Zeit ein Ereigniss in einem kleinen
-Zeitfenster der Breite $\Delta t$ zu bekommen ist
+unabh\"angig von den Zeitpunkten fr\"uherer Ereignisse
+(\figref{hompoissonfig}). Die Wahrscheinlichkeit zu irgendeiner Zeit
+ein Ereigniss in einem kleinen Zeitfenster der Breite $\Delta t$ zu
+bekommen ist
 \[ P = \lambda \cdot \Delta t \; . \]
+Beim inhomogenen Poisson Prozess h\"angt die Rate $\lambda$ von der
+Zeit ab: $\lambda = \lambda(t)$.
 
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz}
-  \caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Spikes eine homogenen
-    Poisson Prozesse mit $\lambda=100$\,Hz.}
+  \caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Spikes eines homogenen
+    Poisson Prozesses mit $\lambda=100$\,Hz.}
 \end{figure}
 
-Beim inhomogenen Poisson Prozess h\"angt die Rate $\lambda$ von der
-Zeit ab: $\lambda = \lambda(t)$.
-
 \begin{figure}[t]
   \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill
   \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz}
@@ -144,16 +173,17 @@ Zeit ab: $\lambda = \lambda(t)$.
 
 Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften:
 \begin{itemize}
-\item Die Intervalle $T$ sind exponentiell verteilt: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$ .
+\item Die Intervalle $T$ sind exponentiell verteilt: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$ (\figref{hompoissonisihfig}).
 \item Das mittlere Intervall ist $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$ .
 \item Die Varianz der Intervalle ist $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$ .
 \item Der Variationskoeffizient ist also immer $CV_{ISI} = 1$ .
-\item Die seriellen Korrelationen $\rho_k =0$ for $k>0$, da das
+\item Die seriellen Korrelationen $\rho_k =0$ f\"ur $k>0$, da das
   Auftreten der Ereignisse unabh\"angig von der Vorgeschichte ist. Ein
   solcher Prozess wird auch Erneuerungsprozess genannt (``renewal
   process'').
 \item Die Anzahl der Ereignisse $k$ innerhalb eines Fensters der L\"ange W ist Poissonverteilt:
 \[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]
+ (\figref{hompoissoncountfig})
 \item Der Fano Faktor ist immer $F=1$ .
 \end{itemize}