Vectors finished

pointprocesses/lecture/pointprocessscetchA.eps

@@ -1,7 +1,7 @@
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 %%Title: pointprocessscetchA.tex
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-%%CreationDate: Wed Oct 28 18:47:55 2015
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@@ -430,10 +430,10 @@ SDict begin [
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   /Subject (gnuplot plot)
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pointprocesses/lecture/pointprocessscetchB.eps

@@ -1,7 +1,7 @@
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 } ifelse

programming/lectures/programming.tex

@@ -0,0 +1,491 @@
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\chapter{\tr{Programming basics}{Grundlagen der Programmierung in Matlab}}
+
+\section{Variablen und Datentypen}
+
+\subsection{Variablen}
+
+Eine Variable ist ein Zeiger auf eine Stelle im Speicher. Dieser
+Zeiger hat einen Namen, den Variablennamen, und einen Datentyp
+(Abbildung \ref{variablefig}).Im Speicher wird der Wert der Variablen
+bin\"ar gespeichert. Wird auf den Wert der Variable zugegriffen, wird
+dieses Bitmuster je nach Datentyp interpretiert. Das Beispiel in
+Abbildung \ref{variablefig} zeigt, dass das gleiche Bitmuster im einen
+Fall als 8-Bit Integer Datentyp zur Zahl 38 interpretiert wird und im
+anderen Fall als Character zum kaufm\"annischen ``und'' ausgewertet
+wird. In Matlab sind Datentypen nicht von sehr zentraler
+Bedeutung. Wir werden uns dennoch sp\"ater etwas genauer mit ihnen
+befassen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\begin{subfigure}{.5\textwidth}
+  \includegraphics[width=0.8\textwidth]{variable}
+  \label{variable:a}
+\end{subfigure}%
+\begin{subfigure}{.5\textwidth}
+  \includegraphics[width=.8\textwidth]{variableB}
+  \label{variable:b}
+\end{subfigure}
+\caption{\textbf{Variablen.}  Variablen sind Zeiger auf eine Adresse
+  im Speicher, die einen Namen und einen Datentypen beinhalten. Im
+  Speicher ist der Wert der Variable bin\"ar gespeichert. Abh\"angig
+  vom Datentyp wird dieses Bitmuster unterschiedlich
+  interpretiert.}\label{variablefig}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Erzeugen von Variablen}
+In Matlab kann eine Variable auf der Kommandozeile, in einem Skript
+oder einer Funktion an beliebiger Stelle erzeugen. Das folgende
+Listing zeigt zwei M\"oglichkeiten:
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[label=varListing1, caption=Erzeugen von Variablen]
+>> y = []
+y = 
+   []
+>>
+>> x = 38
+x =
+   38
+\end{lstlisting}
+\normalsize 
+
+Die Zeile 1 kann etwa so gelesen werden:''Erzeuge eine Variable mit
+dem Namen y und weise ihr einen leeren Wert zu.''  Das
+Gleichheitszeichen ist der sogenannte
+\textit{Zuweisungsoperator}. Zeile 5 definiert eine Variable x, der
+nun der Zahlenwert 38 zugewiesen wird. Da Matlab, wenn nicht anders
+angegeben immer den ``double'' Datentypen benutzt, haben beide
+Variablen diesen Datentyp.
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[label=varListing2, caption={Erfragen des Datentyps einer Variable, Listen aller definierten Variablen.}]
+>>disp(class(x))
+    double
+>>
+>> who % oder whos um mehr Information zu bekommen
+\end{lstlisting}
+\normalsize 
+
+Bei der Namensgebung ist zu beachten, dass Matlab auf Gro{\ss}- und
+Kleinschreibung achtet und ein Variablennane mit einem alphabethischen
+Zeichen beginnen muss. Des Weiteren sind Umlaute, Sonder- und
+Leerzeichen in Variablennamen nicht erlaubt.
+
+
+\subsection{Arbeiten mit Variablen}
+
+Nat\"urlich kann man mit den Variablen auch arbeiten, bzw
+rechnen. Matlab kennt alle normalen arithmetischen Operatoren wie
+\code{+, -, *. /}. Die Potenz wird \"uber das Dach Symbol \code{\^}
+dargestellt. Das folgende Listing zeigt, wie sie benutzt werden.
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[label=varListing3, caption={Rechnen mit Variablen.}]
+>> x = 1;
+>> x + 10
+ans = 
+  11
+>>
+>> x % x wurde nicht veraendert
+ans =
+  1
+>>
+>> y = 2;
+>>
+>> x + y
+ans = 
+  3
+>>
+>> z = x + y
+z =
+  3
+>>
+>> z = z * 5;
+>> z 
+z = 
+  15
+>>
+>> clear z
+\end{lstlisting}
+\normalsize
+
+Beachtenswert ist z.B. in Zeilen 3 und 6, dass wir mit dem Inhalt
+einer Variablen rechnen k\"onnen, ohne dass dadurch ihr Wert
+ver\"andert w\"urde. Wenn der Wert einer Variablen ver\"andert werden
+soll, dann muss dieser der Variable expliyit zugewiesen werden (mit
+dem \code{=} Zuweisungsoperator, z.B. Zeilen 16, 20). Zeile 25 zeigt
+wie eine einzelne Variable gel\"oscht wird.
+
+
+\subsection{Datentypen}
+
+Der Datentyp bestimmt, wie die im Speicher abgelegten Bitmuster
+interpretiert werden. Die Wichtigsten Datentpyen sind folgende:
+
+\begin{itemize}
+\item \textit{integer} - Ganze Zahlen. Hier gibt es mehrere
+  Unterarten, die wir in Matlab (meist) ignorieren k\"onnen.
+\item \textit{double} - Flie{\ss}kommazahlen.
+\item \textit{complex} - Komplexe Zahlen.
+\item \textit{logical} - Boolesche Werte, die als wahr
+  (\textit{true}) oder falsch (\textit{false}) interpretiert werden.
+\item \textit{char} - ASCII Zeichen
+\end{itemize}
+
+Unter den numerischen Datentypen gibt es verschiedene Arten mit
+unterschiedlichem Speicherbedarf und Wertebreich.
+
+\begin{table}[]
+\centering
+\caption{Gel\"aufige Datentypen und ihr Wertebereich.}
+\label{dtypestab}
+\begin{tabular}{l|l|c|cl}
+Datentyp & Speicherbedarf & Wertebereich & Beispiel \\ \cline{1-4}
+double & 64 bit &  &  Flie{\ss}kommazahlen.\\ \cline{1-4}
+int & 64 bit & $-2^{31} bis 2^{31}-1$ &  Ganzzahlige Werte  \\ \cline{1-4}
+int16 & 64 bit & $-2^{15} bis 2^{15}-1$ & Digitalisierte Spannungen. \\ \cline{1-4}
+uint8 & 64 bit & 0 bis 255 & Digitalisierte Imaging Daten. \\ \cline{1-4}
+ &  &  &  
+\end{tabular}
+\end{table}
+
+
+Matlab arbeitet meist mit dem ``double'' Datentyp wenn numerische
+Daten gespeichert werden. Dennoch lohnt es sich, sich ein wenig mit
+den Datentypen auseinanderzusetzen. Ein Szenario, dass in der
+Neurobiologie nicht selten ist, ist, dass wir die elektrische
+Aktivit\"at einer Nervenzelle messen. Die gemessenen Spannungen werden
+mittels Messkarte digitalisiert und auf dem Rechner
+gespeichert. Typischerweise k\"onnen mit solchen Messkarten Spannungen
+im Bereich $\pm 10$\,V gemessen werden. Die Aufl\"osung der Wandler
+betr\"agt typischerweise 16 bit. Das heisst, dass der gesamte
+Spannungsbereich in $2^{16}$ Schritte aufgeteilt ist. Um Speicherplatz
+zu sparen ist es sinnvoll, die gemessenen Daten als ``int16'' Werte im
+Rechner abzulegen. Die Daten als ``echte'' Spannungen, also als
+Flie{\ss}kommawerte, abzulegen w\"urde den 4-fachen Speicherplatz
+ben\"otigen.
+
+
+
+\section{Vektoren und Matrizen}
+
+\begin{definition}[Vektoren und Matrizen]
+  Vektoren und Matrizen sind die wichtigsten Datenstrukturen in
+  Matlab. In andern Programmiersprachen spricht man von ein-
+  bzw. mehrdimensionalen Feldern. Felder sind Datenstrukturen, die
+  mehrere Werte des geleichen Datentyps in einer Variablen
+  vereinen. Da Matalb seinen Ursprung in der Verarbeitung von
+  mathematischen Vektoren und Matrizen hat werden sie hier auch so
+  genannt.\\
+
+  In Wahrheit existiert auch in Matlab kein Unterschied zwischen
+  beiden Datenstrukturen. Im Hintergrund sind auch Vektoren
+  2-diemsensionale Matrizen bei denen eine Dimension die Gr\"o{\ss}e 1
+  hat.
+\end{definition}
+
+
+\subsection{Vektoren}
+
+Im Gegensatz zu den Variablen, die einzelene Werte beinhalten,
+Skalare, kann ein Vektor mehrere Werte des gleichen Datentyps
+beinhalten (Abbildung \ref{vectorfig} B). Die Variable ``test''
+enth\"alt in diesem Beispiel vier ganzzahlige Werte. 
+
+
+\begin{figure}
+  \includegraphics[width=0.8\columnwidth]{scalarArray}
+  \caption{\textbf{Skalare und Vektoren. A)} Eine skalare Variable kann
+      genau einen Wert tragen. \textbf{B)} Ein Vektor kann mehrer
+      Werte des gleichen Datentyps (z.B. ganzzahlige Integer Werte)
+      beinhalten. Matlab kennt den Zeilen- (row-) und Spaltenvektor
+      (columnvector).}\label{vectorfig}
+\end{figure}
+
+Das folgende Listing zeigt, wie einfache Vektoren erstellt werden
+k\"onnen. 
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[label=arrayListing1, caption={Erstellen einfacher Zeilenvektoren.}]
+>> a = [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] % Erstellen eines Zeilenvektors
+   a =
+    0  1   2   3   4   5   6   7   8   9
+>>
+>> b = (0:9) % etwas bequemer
+   b = 
+    0  1   2   3   4   5   6   7   8   9
+>>
+>> c = (0:2:10)                   
+   c = 
+    0  2  4  6  8  10
+\end{lstlisting}
+\normalsize
+
+Die L\"ange eines Vektors kann mithilfe der Funktion \code{length()}
+bestimmt werden. \"Ahnliche Information kann man \"uber die Funktion
+\code{size()} erhalten. Im Falle des Vektors \code{a} von oben erh\"alt
+man folgende Ausgabe:
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[label=arrayListing2, caption={Gr\"o{\ss}e von Vektoren.}]
+>> length(a)
+ans =
+     10
+>> size(a)
+ans =
+     1  10
+\end{lstlisting}
+\normalsize
+
+Diese Ausgabe zeigt, dass Vektoren im Grunde 2-dimensional sind. Bei
+einem Zeilenvektor hat die erste Dimension die Gr\"o{\ss}e
+1. \code{length(a)} gibt die l\"angste Ausdehnung an.
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[label=arrayListing3, caption={Spaltenvektoren.}]
+>> b = [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10] % Erstellen eines Spaltenvektors
+   b =
+     1
+     2
+     ....
+     9
+     10
+>> length(b)
+ans =
+     10
+>> size(b)
+ans =
+     10  1
+>> b = b'; % Transponieren
+>> size(b)
+ans =
+     1  10
+\end{lstlisting}
+
+Der \code{'}- Operator transponiert den Spaltenvektor zu einem
+Zeilenvektor.  
+
+\subsubsection{Zugriff auf Inhalte von Vektoren}
+\begin{figure}
+  \includegraphics[width=0.4\columnwidth]{arrayIndexing}
+  \caption{\textbf{Indices von Vektoren.} Jedes Feld eines Vektors hat
+    einen Index mit dem auf den jeweiligen Inhalt zugegriffen werden
+    kann.}\label{vectorindexingfig}
+\end{figure}
+
+Der Zugriff auf die Inhalte eines Vektors erfolgt \"uber den Index
+(Abbildung \ref{vectorindexingfig}). Jedes Feld in einem Vektor hat
+einen \textit{Index} \"uber den auf die Werte des Vektors zugegriffen
+werden kann. Dabei spielt es keine Rolle, ob es sich um einen Zeilen-
+oder Spaltenvektor handlet. \textbf{Achtung!}  Anders als viele andere
+Sprachen beginnt Matlab mit dem Index 1. Die Listings
+\ref{arrayListing4} und \ref{arrayListing5} zeigen wie man mit dem
+Index auf die Inhalte zugreifen kann.
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[label=arrayListing4, caption={Zugriff auf den Inhalt von Vektoren I}]
+>> a = (11:20);
+>> a(1) % das 1. Element
+ans =
+     11 
+>> a(5) % das 5. Element
+ans =
+     15
+>> a(end) % das letzte Element
+ans =
+     20
+\end{lstlisting}
+\normalsize
+
+Hierbei kann man auf einzelne Werte zugreifen oder, analog zur
+Erzeugung von Vektoren, die \code{:} Notation verwenden um auf mehrere
+Element gleichzeitig zuzugreifen.
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[caption={Zugriff auf den Inhalt von Vektoren I}, label=arrayListing5]
+>> a([1 3 5]) % das 1., 3. und 5. Element
+ans =
+     11  13  15
+>> a(2:4) % alle element von Index 2 bis 4
+ans =
+     12  13  14 
+>> a(1:2:end) %jedes zweite Element
+ans =
+     11  13  15  17  19
+\end{lstlisting}
+\normalsize
+
+\paragraph{Frage:}
+Der R\"uckgabewert von \code{size(a)} ist wieder ein Vektor der
+L\"ange 2. Wie k\"onnte man also die Gr\"o{\ss}e von \code{a} in der
+zweiten Dimension herausfinden?
+
+\paragraph{Antwort:}
+Man speichert den R\"uckgabewert in einer Variable (\code{s = size(a);})
+und gibt den Inhalt an der Stelle 2 aus (\code{disp(s(2))}).
+
+
+\subsubsection{Operationen auf Vektoren}
+
+Nat\"urlich kann man mit Vektoren auch rechnen. Listing
+\ref{arrayListing5} zeigt Rechnungen mit Vektoren.
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[caption={Rechnen mit Vektoren.},label=arrayListing5]
+>> a = (0:2:8);
+>> a + 5 % addiere einen Skalar
+ans =
+     5  7  9  11  13
+
+>> a - 5 % subtrahiere einen Skalar
+ans =
+     -5  -3  -1  1  3
+
+>>  a .* 2 % Multiplication
+ans =
+     0  4  8  12  16
+
+>> a ./ 2 % Division
+ans =
+     0  1  2  3  4
+
+>> a(1:3) + a(2:4) % Addieren von 2 Vektoren
+ans = 
+     2  6  10
+>>
+>> a(1:2) + a(2:4) % Vektoren muessen gleich gross sein!
+    ??? Error using ==> plus
+    Matrix dimensions must agree.
+\end{lstlisting}
+\normalsize
+
+Wird ein Vektor mit einem skalaren Wert verrechnet, dann ist das
+Problemlos m\"oglich. Bei der Multiplikation (Zeile 10), der Division
+(Zeile 14) und auch der Potenzierung sollte man mit vorangestellem '.'
+klar machen, dass es sich um einen \textit{elementweise} Verarbeitung
+handelt. F\"ur diese elementweisen Operationen kennt Matlab die
+Operatoren \code{.*, ./} und \code{.\^}. Die einfachen Operatoren sind
+im Kontext von Vektoren und Matrizen anders belegt, als man es
+vielleicht erwarten w\"urde. Es sind dann die entsprechenden
+Matrixoperationen, die man aus der linearen Algebrar kennt (s.u.).
+
+Zu Beachten ist des Weiteren noch die Fehlermeldung am SChluss von
+Listing \ref{arrayListing5}. Wenn zwei Vektoren (elementweise)
+miteinander verrechnet werden sollen muss nicht nur die Anzahl Element
+übereinstimmen sondern es muss auch das Layout (Zeilen- oder
+Spaltenvektoren) \"ubereinstimmen.
+
+
+Will man Elemente aus einem Vektor entfernen, dann weist man den
+entsprechenden Zellen einen leeren Wert (\code{[]}) zu.
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[label=arrayListing6, caption={L\"oschen von Elementen aus einem Vektor.}]
+>> a = (0:2:8);
+>> length(a) 
+ans =
+     5
+
+>> a(1) =  [] % loesche das erste Element
+a = 2 4 6 8
+
+>> a([1 3]) = []
+a = 4 8 
+
+>> length(a)
+ans =
+     2
+\end{lstlisting}
+
+Neben dem L\"oschen von Vektorinhalten kann man Vektoren auch
+erweitern oder zusammensetzen. Auch hier muss das Layout der Vektoren
+\"ubereinstimmen (Listing \ref{arrayListing7}, Zeile 12). Will man
+einen Vektor erweitern, kann man \"uber das Ende hinaus
+zuweisen. Matlab erweitert dann die Variable. Auch hierbei muss auf
+das Layout geachtet werden. Zudem ist dieser Vorgang
+``rechenintensiv'' und man sollte, soweit m\"oglich, vermeiden
+Vektoren bei Bedarf einfach zu erweitern.
+
+\footnotesize
+\begin{lstlisting}[caption={Zusammenf\"ugen und erweitern von Vektoren.}, label=arrayListing7]
+>> a = (0:2:8);
+>> b = (10:2:19);
+>> c = [a b] % erstelle einen Vektor aus einer Liste von Vektoren
+   c =
+       0     2     4     6     8    10    12    14    16    18
+>> length(c) 
+ans = 
+     10
+>> length(a) + length(b) 
+ans =
+     10
+>> c = [a b'];
+Error using horzcat
+Dimensions of matrices being concatenated are not consistent.
+
+>> b(6:8) = [1 2 3 4];
+\end{lstlisting}
+
+
+\subsection{Matrizen}
+
+\begin{figure}
+  \includegraphics[width=0.5\columnwidth]{matrices}
+  \caption{\textbf{Indices von Vektoren.} Jedes Feld eines Vektors hat
+    einen Index mit dem auf den jeweiligen Inhalt zugegriffen werden
+    kann.}\label{vectorindexingfig}
+\end{figure}
+
+
+\begin{figure}
+  \includegraphics[width=0.9\columnwidth]{matrixIndexing}
+  \caption{\textbf{Indices von Vektoren.} Jedes Feld eines Vektors hat
+    einen Index mit dem auf den jeweiligen Inhalt zugegriffen werden
+    kann.}\label{vectorindexingfig}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+  \includegraphics[width=0.9\columnwidth]{matrixLinearIndexing}
+  \caption{\textbf{Indices von Vektoren.} Jedes Feld eines Vektors hat
+    einen Index mit dem auf den jeweiligen Inhalt zugegriffen werden
+    kann.}\label{vectorindexingfig}
+\end{figure}
+
+
+
+\section{Boolesche Operationen}
+
+
+\section{Logisches Indizieren}
+
+
+\section{Kontrollstrukturen}
+
+\begin{definition}[Kontrollstrukturen]
+  In der Regel wird ein Programm Zeile f\"ur Zeile von oben nach unten
+  ausgef\"uhrt. Manchmal muss der Kontrollfluss aber so gesteuert
+  werden, dass bestimmte Teile des Programmcodes wiederholt oder nur
+  unter bestimmten Bedingungen ausgef\"uhrt werden. Von grosser
+  Bedeutung sind hier zwei Strukturen:
+  \begin{enumerate}
+    
+  \item Schleifen.
+  \item Bedingte Anweisungen und Verzweigungen.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+
+\section{Skripte und Funktionen}
+
+
+\section{Graphische Darstellung von Daten}
+
+
+\begin{figure}
+  \includegraphics[width=0.9\columnwidth]{./images/convincing}
+  \caption{Die Folgen schlecht annotierter
+    Plots. \url{www.xkcd.com}} \label{xkcdplotting}
+\end{figure}

scientificcomputing-script.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[12pt]{report}
+g\documentclass[12pt]{report}
 
 \input{header}
 

spike_trains/lecture/psth_sta.tex

@@ -26,9 +26,11 @@ Eine klassische Darstellung zeitabh\"angiger neuronaler Aktivit\"at
 ist das sogenannte Peri Stimulus Zeithistogramm (peri stimulus time
 histogram, PSTH). Es wird der zeitliche Verlauf der Feuerrate $r(t)$
 dargestellt. Die Einheit der Feuerrate ist Hertz, das heisst, die
-Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Dabei gibt es verschiedene
+Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Es verschiedene Methoden diese
-Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung
+zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung \ref{psthfig}
-\ref{psthfig} dargestellt.
+dargestellt. Alle Methoden haben ihre Berechtigung und ihre Vor- und
+Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus Abbildung
+\ref{psthfig} n\"aher erl\"autert.
 
 \begin{figure}
   \includegraphics[width=\columnwidth]{psth_comparison}
@@ -40,48 +42,93 @@ Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung
     Gauss Kern bestimmt.}\label{psthfig}
 \end{figure}
 
+
 \paragraph{Instantane Feuerrate}
 Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist
-die sogenannte \textit{instantane Feuerrate}. Dabie wird die Feuerrate
+die sogenannte \textit{instantane Feuerrate}. Dabei wird die Feuerrate
 aus dem Kehrwert des \textit{Interspike Intervalls}, der Zeit zwischen
-zwei aufeinanderfolgender Aktionspotentiale, bestimmt. Die
+zwei aufeinander folgenden Aktionspotentialen (Abbildung \ref{isipsth}
-abgesch\"atzte Feuerrate ist g\"ultig f\"ur das gesammte Interspike
+A), bestimmt. Die abgesch\"atzte Feuerrate (Abbildung \ref{isipsth} B)
-Intervall. Sie ist sehr einfach zu berechnen und hat den Vorteil keine
+ist g\"ultig f\"ur das gesammte Interspike Intervall
-Annahme \"uber eine relevante Zeitskala (der codierung oder des
+\ref{isipsth}. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie sehr einfach zu
-Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle) zu machen. $r(t)$ ist
+berechnen ist und keine Annahme \"uber eine relevante Zeitskala (der
-keine kontinuierliche Funktion, die Spr\"unge in der Feuerrate können f\"ur
+Kodierung oder des Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle)
-manche Analysen nachteilig sein.
+macht. $r(t)$ ist allerdings keine kontinuierliche Funktion, die
+Spr\"unge in der Feuerrate k\"onnen f\"ur manche Analysen nachteilig
+sein. Des Weiteren ist die Feuerrate nie null, auch wenn lange keine
+Aktionspotentiale generiert wurden.
+
+\begin{figure}[!htb]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{isi_method}
+  \caption{\textbf{Bestimmung des PSTH aus dem Interspike
+      Interval. A)} Skizze eines Rasterplots einer einzelnen
+    neuronalen Antwort. Jeder vertikale Strich notiert den Zeitpunkt
+    eines Aktionspotentials. Die Pfeile zwischen aufeinanderfolgenden
+    Aktionspotentialen illustrieren das Interspike
+    Interval. \textbf{B)} Der Kehrwert des Interspike Intervalls ist
+    die Feuerrate.}\label{isipsth}
+\end{figure}
+
 
 \paragraph{Binning Methode}
-Bei der Binning Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige Abschnitte
+Bei der Binning Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige
-(Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in die
+Abschnitte (Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in
-jeweiligen Bins fallen gez\"ahlt. Um diese Z\"ahlungen in die Feuerrate
+die jeweiligen Bins fallen, gez\"ahlt (Abbildung \ref{binpsth} A). Um
-umzurechnen muss noch mit der Binweite normiert werden. \textbf{Tipp:}
+diese Z\"ahlungen in die Feuerrate umzurechnen muss noch mit der
-Um die Anzahl Spikes pro Bin zu berechnen kann die \code{hist}
+Binweite normiert werden. Die bestimmte Feuerrate gilt f\"ur das
-Funktion benutzt werden. Das so berechnete PSTH hat wiederum eine
+gesamte Bin (Abbildung \ref{binpsth} B). \textbf{Tipp:} Um die Anzahl
-stufige Form, die von der Wahl der Binweite anh\"angt. Die Binweite
+Spikes pro Bin zu berechnen kann die \code{hist} Funktion benutzt
-bestimmt die zeitliche Auflösung mit der Darstellung. \"Anderungen in
+werden. Das so berechnete PSTH hat wiederum eine stufige Form, die von
-der Feuerrate, die innerhalb eines Bins vorkommen koennen nicht
+der Wahl der Binweite anh\"angt. Die Binweite bestimmt die zeitliche
-aufglöst werden. Die Wahl der Binweite stellt somit eine Annahme \"uber
+Aufl\"osung der Darstellung. \"Anderungen in der Feuerrate, die
-die relevante Zeitskala der Verarbeitung dar. Auch hier ist $r(t)$
+innerhalb eines Bins vorkommen k\"onnen nicht aufgl\"ost werden. Die
-keine koninuierliche Funktion.
+Wahl der Binweite stellt somit eine Annahme \"uber die relevante
+Zeitskala der Verarbeitung dar. Auch hier ist $r(t)$ keine
+koninuierliche Funktion.
+
+\begin{figure}[h!]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{bin_method}
+  \caption{\textbf{Bestimmung des PSTH mit der Binning Methode. A)}
+    Skizze eines Rasterplots einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder
+    vertikale Strich notiert den Zeitpunkt eines
+    Aktionspotentials. Die roten gestrichelten Linien stellen die
+    Grenzen der Bins dar und die Zahlen geben den Spike Count pro Bin
+    an. \textbf{B)} Die Feuerrate erh\"alt man indem das
+    Zeithistogramm mit der Binweite normiert.}\label{binpsth}
+\end{figure}
 
 
 \paragraph{Faltungsmethode}
-Bei der Faltungsmethode geht man anders vor. Die Aktionspotentialfolge
+Bei der Faltungsmethode geht man etwas anders vor. Die
-wird ``bin\"ar'' dargestellt. Eine Antwort wird als Vektor dargestellt,
+Aktionspotentialfolge wird ``bin\"ar'' dargestellt. Das heisst, dass
-in dem die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle
+eine Antwort als Vektor dargestellt wird, in welchem die Zeitpunkte der
-anderen Elemente des Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser
+Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle anderen Elemente des
-bin\"are Spiketrain mit einem Gausskern bestimmter Breite gefaltet. 
+Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser bin\"are Spiketrain mit
+einem Gauss Kern bestimmter Breite gefaltet.
  
 \[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty}d\tau \omega(\tau)\rho(t-\tau) \],
 wobei $\omega(\tau)$ der Filterkern und $\rho(t)$ die bin\"are Antwort
 ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $rho(t)$ durch den Filterkern
-ersetzt.  Die Faltungsmethode f\"uhrt, anders als die anderen Methoden,
+ersetzt (Abbildung \ref{convpsth} A). Wenn der Kern richtig normiert
-zu einer kontinuierlichen Funktion was f\"ur spektrale Analysen von
+wurde (Integral 1), ergibt sich die Feuerrate direkt aus der
-Vorteil sein kann. Die Wahl der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur
+\"Uberlagerung der Kerne (Abb. \ref{convpsth} B). Die Faltungsmethode
-Binweite, die zeitliche Aufl\"osung von $r(t)$. Man macht eine Annahme
+f\"uhrt, anders als die anderen Methoden, zu einer kontinuierlichen
-\"uber die relevante Zeitskala.
+Funktion was f\"ur spektrale Analysen von Vorteil sein kann. Die Wahl
+der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur Binweite, die zeitliche
+Aufl\"osung von $r(t)$. Man macht also eine Annahme \"uber die
+relevante Zeitskala.
+
+\begin{figure}[h!]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{conv_method}
+  \caption{\textbf{Schematische Darstellung der Faltungsmethode. A)}
+    Rasterplot einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale
+    Strich notiert den Zeitpunkt eines Aktionspotentials. In der
+    Faltung werden die mit einer 1 notierten Aktionspotential durch
+    den Faltungskern ersetzt. \textbf{B)} Bei korrekter Normierung des
+    Kerns ergibt sich die Feuerrate direkt aus der \"Uberlagerung der
+    Kerne.}\label{convpsth}
+\end{figure}
+
 
 
 \section{Spike triggered Average}