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spike_trains/lecture/psth_sta.tex

@@ -26,9 +26,11 @@ Eine klassische Darstellung zeitabh\"angiger neuronaler Aktivit\"at
 ist das sogenannte Peri Stimulus Zeithistogramm (peri stimulus time
 histogram, PSTH). Es wird der zeitliche Verlauf der Feuerrate $r(t)$
 dargestellt. Die Einheit der Feuerrate ist Hertz, das heisst, die
-Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Dabei gibt es verschiedene
-Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung
-\ref{psthfig} dargestellt.
+Anzahl Aktionspotentiale pro Sekunde. Es verschiedene Methoden diese
+zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung \ref{psthfig}
+dargestellt. Alle Methoden haben ihre Berechtigung und ihre Vor- und
+Nachteile. Im folgenden werden die drei Methoden aus Abbildung
+\ref{psthfig} n\"aher erl\"autert.
 
 \begin{figure}
   \includegraphics[width=\columnwidth]{psth_comparison}
@@ -40,48 +42,93 @@ Methoden diese zu bestimmen. Drei solcher Methoden sind in Abbildung
     Gauss Kern bestimmt.}\label{psthfig}
 \end{figure}
 
+
 \paragraph{Instantane Feuerrate}
 Ein sehr einfacher Weg, die zeitabh\"angige Feuerrate zu bestimmen ist
-die sogenannte \textit{instantane Feuerrate}. Dabie wird die Feuerrate
+die sogenannte \textit{instantane Feuerrate}. Dabei wird die Feuerrate
 aus dem Kehrwert des \textit{Interspike Intervalls}, der Zeit zwischen
-zwei aufeinanderfolgender Aktionspotentiale, bestimmt. Die
-abgesch\"atzte Feuerrate ist g\"ultig f\"ur das gesammte Interspike
-Intervall. Sie ist sehr einfach zu berechnen und hat den Vorteil keine
-Annahme \"uber eine relevante Zeitskala (der codierung oder des
-Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle) zu machen. $r(t)$ ist
-keine kontinuierliche Funktion, die Spr\"unge in der Feuerrate können f\"ur
-manche Analysen nachteilig sein.
+zwei aufeinander folgenden Aktionspotentialen (Abbildung \ref{isipsth}
+A), bestimmt. Die abgesch\"atzte Feuerrate (Abbildung \ref{isipsth} B)
+ist g\"ultig f\"ur das gesammte Interspike Intervall
+\ref{isipsth}. Diese Methode hat den Vorteil, dass sie sehr einfach zu
+berechnen ist und keine Annahme \"uber eine relevante Zeitskala (der
+Kodierung oder des Auslesemechanismus der postsynaptischen Zelle)
+macht. $r(t)$ ist allerdings keine kontinuierliche Funktion, die
+Spr\"unge in der Feuerrate k\"onnen f\"ur manche Analysen nachteilig
+sein. Des Weiteren ist die Feuerrate nie null, auch wenn lange keine
+Aktionspotentiale generiert wurden.
+
+\begin{figure}[!htb]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{isi_method}
+  \caption{\textbf{Bestimmung des PSTH aus dem Interspike
+      Interval. A)} Skizze eines Rasterplots einer einzelnen
+    neuronalen Antwort. Jeder vertikale Strich notiert den Zeitpunkt
+    eines Aktionspotentials. Die Pfeile zwischen aufeinanderfolgenden
+    Aktionspotentialen illustrieren das Interspike
+    Interval. \textbf{B)} Der Kehrwert des Interspike Intervalls ist
+    die Feuerrate.}\label{isipsth}
+\end{figure}
+
 
 \paragraph{Binning Methode}
-Bei der Binning Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige Abschnitte
-(Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in die
-jeweiligen Bins fallen gez\"ahlt. Um diese Z\"ahlungen in die Feuerrate
-umzurechnen muss noch mit der Binweite normiert werden. \textbf{Tipp:}
-Um die Anzahl Spikes pro Bin zu berechnen kann die \code{hist}
-Funktion benutzt werden. Das so berechnete PSTH hat wiederum eine
-stufige Form, die von der Wahl der Binweite anh\"angt. Die Binweite
-bestimmt die zeitliche Auflösung mit der Darstellung. \"Anderungen in
-der Feuerrate, die innerhalb eines Bins vorkommen koennen nicht
-aufglöst werden. Die Wahl der Binweite stellt somit eine Annahme \"uber
-die relevante Zeitskala der Verarbeitung dar. Auch hier ist $r(t)$
-keine koninuierliche Funktion.
+Bei der Binning Methode wird die Zeitachse in gleichm\"aßige
+Abschnitte (Bins) eingeteilt und die Anzahl Aktionspotentiale, die in
+die jeweiligen Bins fallen, gez\"ahlt (Abbildung \ref{binpsth} A). Um
+diese Z\"ahlungen in die Feuerrate umzurechnen muss noch mit der
+Binweite normiert werden. Die bestimmte Feuerrate gilt f\"ur das
+gesamte Bin (Abbildung \ref{binpsth} B). \textbf{Tipp:} Um die Anzahl
+Spikes pro Bin zu berechnen kann die \code{hist} Funktion benutzt
+werden. Das so berechnete PSTH hat wiederum eine stufige Form, die von
+der Wahl der Binweite anh\"angt. Die Binweite bestimmt die zeitliche
+Aufl\"osung der Darstellung. \"Anderungen in der Feuerrate, die
+innerhalb eines Bins vorkommen k\"onnen nicht aufgl\"ost werden. Die
+Wahl der Binweite stellt somit eine Annahme \"uber die relevante
+Zeitskala der Verarbeitung dar. Auch hier ist $r(t)$ keine
+koninuierliche Funktion.
+
+\begin{figure}[h!]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{bin_method}
+  \caption{\textbf{Bestimmung des PSTH mit der Binning Methode. A)}
+    Skizze eines Rasterplots einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder
+    vertikale Strich notiert den Zeitpunkt eines
+    Aktionspotentials. Die roten gestrichelten Linien stellen die
+    Grenzen der Bins dar und die Zahlen geben den Spike Count pro Bin
+    an. \textbf{B)} Die Feuerrate erh\"alt man indem das
+    Zeithistogramm mit der Binweite normiert.}\label{binpsth}
+\end{figure}
 
 
 \paragraph{Faltungsmethode}
-Bei der Faltungsmethode geht man anders vor. Die Aktionspotentialfolge
-wird ``bin\"ar'' dargestellt. Eine Antwort wird als Vektor dargestellt,
-in dem die Zeitpunkte der Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle
-anderen Elemente des Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser
-bin\"are Spiketrain mit einem Gausskern bestimmter Breite gefaltet. 
+Bei der Faltungsmethode geht man etwas anders vor. Die
+Aktionspotentialfolge wird ``bin\"ar'' dargestellt. Das heisst, dass
+eine Antwort als Vektor dargestellt wird, in welchem die Zeitpunkte der
+Aktionspotentiale als 1 notiert werden. Alle anderen Elemente des
+Vektors sind 0. Anschlie{\ss}end wir dieser bin\"are Spiketrain mit
+einem Gauss Kern bestimmter Breite gefaltet.
  
 \[r(t) = \int_{-\infty}^{\infty}d\tau \omega(\tau)\rho(t-\tau) \],
 wobei $\omega(\tau)$ der Filterkern und $\rho(t)$ die bin\"are Antwort
 ist. Bildlich geprochen wird jede 1 in $rho(t)$ durch den Filterkern
-ersetzt.  Die Faltungsmethode f\"uhrt, anders als die anderen Methoden,
-zu einer kontinuierlichen Funktion was f\"ur spektrale Analysen von
-Vorteil sein kann. Die Wahl der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur
-Binweite, die zeitliche Aufl\"osung von $r(t)$. Man macht eine Annahme
-\"uber die relevante Zeitskala.
+ersetzt (Abbildung \ref{convpsth} A). Wenn der Kern richtig normiert
+wurde (Integral 1), ergibt sich die Feuerrate direkt aus der
+\"Uberlagerung der Kerne (Abb. \ref{convpsth} B). Die Faltungsmethode
+f\"uhrt, anders als die anderen Methoden, zu einer kontinuierlichen
+Funktion was f\"ur spektrale Analysen von Vorteil sein kann. Die Wahl
+der Kernbreite bestimmt, \"ahnlich zur Binweite, die zeitliche
+Aufl\"osung von $r(t)$. Man macht also eine Annahme \"uber die
+relevante Zeitskala.
+
+\begin{figure}[h!]
+  \includegraphics[width=\columnwidth]{conv_method}
+  \caption{\textbf{Schematische Darstellung der Faltungsmethode. A)}
+    Rasterplot einer einzelnen neuronalen Antwort. Jeder vertikale
+    Strich notiert den Zeitpunkt eines Aktionspotentials. In der
+    Faltung werden die mit einer 1 notierten Aktionspotential durch
+    den Faltungskern ersetzt. \textbf{B)} Bei korrekter Normierung des
+    Kerns ergibt sich die Feuerrate direkt aus der \"Uberlagerung der
+    Kerne.}\label{convpsth}
+\end{figure}
+
 
 
 \section{Spike triggered Average}