New design pattern chapter.

Next exercises for point processes.

pointprocesses/lecture/pointprocesses-chapter.tex

@@ -224,48 +224,3 @@
 
 \end{document}
 
-
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{\tr{Homogeneous Poisson process}{Homogener Poisson Prozess}}
-
-\begin{figure}[t]
-  \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz}
-  \caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Poisson-Spikes.}
-\end{figure}
-
-The probability $p(t)\delta t$ of an event occuring at time $t$
-is independent of $t$ and independent of any previous event
-(independent of event history).
-
-The probability $P$ for an event occuring within a time bin of width $\Delta t$
-is
-\[ P=\lambda \cdot \Delta t \]
-for a Poisson process with rate $\lambda$.
-
-\subsection{Statistics of homogeneous Poisson process}
-
-\begin{figure}[t]
-  \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill
-  \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz}
-  \caption{\label{hompoissonisihfig}Interspike interval histograms of poisson spike train.}
-\end{figure}
-
-\begin{itemize}
-\item Exponential distribution of intervals $T$: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$
-\item Mean interval $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$
-\item Variance of intervals $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$
-\item Coefficient of variation $CV_{ISI} = 1$
-\item Serial correlation $\rho_k =0$ for $k>0$ (renewal process!)   
-\item Fano factor $F=1$
-\end{itemize}
-
-\subsection{Count statistics of Poisson process}
-
-\begin{figure}[t]
-  \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill
-  \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms}
-  \caption{\label{hompoissoncountfig}Count statistics of poisson spike train.}
-\end{figure}
-
-Poisson distribution:
-\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]

pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex

@@ -113,3 +113,52 @@ Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feue
 % \end{figure}
 
 
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section{Homogener Poisson Prozess}
+F\"ur kontinuierliche Me{\ss}gr\"o{\ss}en ist die Normalverteilung
+u.a. wegem dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine
+\"ahnliche Rolle spilet bei Punktprozessen der ``Poisson Prozess''.
+
+Beim homogenen Poisson Prozess treten Ereignisse mit einer festen Rate
+$\lambda=\text{const.}$ auf und sind unabh\"angig von der Zeit $t$ und
+unabh\"angig von den Zeitpunkten fr\"uherer Ereignisse. Die
+Wahrscheinlichkeit zu irgendeiner Zeit ein Ereigniss in einem kleinen
+Zeitfenster der Breite $\Delta t$ zu bekommen ist
+\[ P = \lambda \cdot \Delta t \; . \]
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz}
+  \caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Spikes eine homogenen
+    Poisson Prozesse mit $\lambda=100$\,Hz.}
+\end{figure}
+
+Beim inhomogenen Poisson Prozess h\"angt die Rate $\lambda$ von der
+Zeit ab: $\lambda = \lambda(t)$.
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill
+  \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz}
+  \caption{\label{hompoissonisihfig}Interspikeintervallverteilungen
+    zweier Poissonprozesse.}
+\end{figure}
+
+Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften:
+\begin{itemize}
+\item Die Intervalle $T$ sind exponentiell verteilt: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$ .
+\item Das mittlere Intervall ist $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$ .
+\item Die Varianz der Intervalle ist $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$ .
+\item Der Variationskoeffizient ist also immer $CV_{ISI} = 1$ .
+\item Die seriellen Korrelationen $\rho_k =0$ for $k>0$, da das
+  Auftreten der Ereignisse unabh\"angig von der Vorgeschichte ist. Ein
+  solcher Prozess wird auch Erneuerungsprozess genannt (``renewal
+  process'').
+\item Die Anzahl der Ereignisse $k$ innerhalb eines Fensters der L\"ange W ist Poissonverteilt:
+\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]
+\item Der Fano Faktor ist immer $F=1$ .
+\end{itemize}
+
+\begin{figure}[t]
+  \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill
+  \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms}
+  \caption{\label{hompoissoncountfig}Z\"ahlstatistik von Poisson Spikes.}
+\end{figure}