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Jan Benda
2015-10-27 19:26:33 +01:00
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2
pointprocesses/exercises/hompoissonspikes.m
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@@ -14,6 +14,6 @@ function spikes = hompoissonspikes( trials, rate, tmax )
x = rand( trials, ceil(tmax/dt) );
spikes = cell( trials, 1 );
for k=1:trials
spikes{k} = find( x(k,:) >= 1.0-p ) * dt;
spikes{k} = find( x(k,:) < p ) * dt;
end
end

74
pointprocesses/exercises/pointprocesses02.tex
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@@ -93,7 +93,7 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
Wir wollen den homogenen Poisson Prozess benutzen um Spikes zu generieren,
mit denen wir die Analysfunktionen des vorherigen \"Ubungszettel \"uberpr\"ufen k\"onnen.
Ein homogener Poisson Prozess mit der Rate $\lambda$ (measured in Hertz) ist ein Punktprozess,
Ein homogener Poisson Prozess mit der Rate $\lambda$ (gemessen in Hertz) ist ein Punktprozess,
bei dem die Wahrschienlichkeit eines Ereignisses unabh\"angig von der Zeit $t$ und
unabh\"angig von vorherigen Ereignissen ist.
Die Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ereignisses innerhalb eines Bins der Breite $\Delta t$ ist
@@ -102,7 +102,7 @@ f\"ur gen\"ugend kleine $\Delta t$.
\begin{parts}
\part Schreibe eine Funktion die $n$ homogene Poisson Spiketrains
einer gegebenen Dauer $T_{max}$ mit rate $\lambda$ erzeugt.
einer gegebenen Dauer $T_{max}$ mit Rate $\lambda$ erzeugt.
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonspikes.m}
\end{solution}
@@ -122,8 +122,8 @@ f\"ur gen\"ugend kleine $\Delta t$.
Poisson Spiketrains mit der Rate $\lambda=100$\,Hz. Ver\"andere
\"uber die Dauer $T_{max}$ der Spiketrains und die Anzahl $n$ der
Trials die Anzahl der Intervalle und ver\"andere auch die Binbreite
des Histograms (fange mit 1\,ms an). Wieviele Interspikeintervalle
werden ben\"otigt um ein ``sch\"ones'' Histogramm zu erhalten? Wie
des Histograms (fang mit 1\,ms an). Wieviele Interspikeintervalle
werden ben\"otigt, um ein ``sch\"ones'' Histogramm zu erhalten? Wie
lange m\"usste man also von dem Neuron ableiten?
\begin{solution}
About 5000 intervals for 25 bins. This corresponds to a $5000 /
@@ -131,56 +131,62 @@ f\"ur gen\"ugend kleine $\Delta t$.
100\,\hertz.
\end{solution}
\part Vergleiche das Histogramm mit der zu erwartenden Verteilung
\part Vergleiche Interspike-Intervall Histogramme von Poisson-Spikes
verschiedener Raten $\lambda$ mit der theoretisch zu erwartenden Verteilung
der Intervalle $T$ des Poisson Prozesses
\[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \]
mit rate $\lambda$.
\[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \; .\]
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonisih.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih100hz}}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih20hz}}
\end{solution}
\part \extra Was pasiert mit den Histogrammen, wenn die Binbreite der Histogramme kleiner
als das bei der Erzeugung der $\Delta t$ der
used for generating the Poisson spikes?
\part \extra Was pasiert mit den Histogrammen, wenn die Binbreite
der Histogramme kleiner als das bei der Erzeugung der Poisson
Spiketrains verwendete $\Delta t$ ist?
\begin{solution}
The bins between the discretization have zero entries. Therefore
the other ones become higher than they should be.
Die Bins zwischen der durch $\Delta t$ vorgegebenen
Diskretisierung haben den Wert 0. Dadurch werden aber die anderen
durch die Normierung h\"oher als sie sein sollten.
\end{solution}
\part Plot the mean interspike interval, the corresponding standard deviation, and the CV
as a function of the rate $\lambda$ of the Poisson process.
Compare the ../code with the theoretical expectations for the dependence on $\lambda$.
\part Plotte den Mittelwert der Interspikeintervalle, die
dazugeh\"orige Standardabweichung und den Variationskoeffizienten
als Funktion der Rate $\lambda$ des Poisson Prozesses. Vergleiche
die Ergebnisse mit den theoretischen Erwartungen (siehe Vorlesungsskript).
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonisistats.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{poissonisistats}}
\end{solution}
\part Write a function that computes serial correlations for the interspike intervals
for a range of lags.
The serial correlations $\rho_k$ at lag $k$ are defined as
\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} \]
Use this function to show that interspike intervals of Poisson spikes are independent.
\part Plotte die seriellen Korrelationen von Poisson-Spiketrains und
erkl\"are kurz das Ergebniss.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/isiserialcorr.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{poissonserial100hz}}
\mbox{}\\[-2ex]\hspace*{2cm}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.8\textwidth]{poissonserial100hz}}\\
Alle Korrelationen zwischen Interspikeintervallen sind Null, da
beim Poisson Prozess das Auftreten jedes Spikes unabh\"angig von
den vorherigen Spikes ist.
\end{solution}
\part Write a function that generates from spike times
a histogram of spike counts in a count window of given duration $W$.
The function should also plot the Poisson distribution
\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]
for the rate $\lambda$ determined from the spike trains.
\part Vergleiche Histogramme von Spikecounts gez\"ahlt in Fenstern
der Breite $W$ mit der Poisson Verteilung
\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \; , \]
wobei die Rate $\lambda$ aus den Daten bestimmt werden
soll. Hinweis: es gibt eine \code{matlab} Funktion, die die
Fakult\"at $n!$ berechnet.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/counthist.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms}}
\end{solution}
\part Write a function that computes mean count, variance of count and the corresponding Fano factor
for a range of count window durations. The function should generate tow plots: one plotting
the count variance against the mean, the other one the Fano factor as a function of the window duration.
\part Schreibe eine Funktion, die die mittlere Anzahl, die Varianz
und den Fano-Faktor der Anzahl der Spikes in einem Fenster der
Breite $W$ bestimmt. Benutze die Funktion, um diese Parameter f\"ur
verschiedene Fensterbreiten $W$ zu bestimmen. Zwei Plots sollen aus
den Ergebnissen angefertigt werden: (i) Varianz gegen Mittelwert der counts.
(ii) Fano Faktor als Funktion der Fensterbreite.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/fano.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.98\textwidth]{poissonfano100hz}}
@@ -191,11 +197,3 @@ f\"ur gen\"ugend kleine $\Delta t$.
\end{questions}
\end{document}
Zus\"atzlich soll die Funktion
die Poisson-Verteilung
\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \] mit der Rate
$\lambda$, die aus den Daten bestimmt werden kann, mit zu dem
Histogramm hineinzeichen. Hinweis: es gibt eine \code{matlab} Funktion,
die die Fakult\"at $n!$ berechnet.

45
pointprocesses/lecture/pointprocesses-chapter.tex
View File

@@ -224,48 +224,3 @@
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{\tr{Homogeneous Poisson process}{Homogener Poisson Prozess}}
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz}
\caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Poisson-Spikes.}
\end{figure}
The probability $p(t)\delta t$ of an event occuring at time $t$
is independent of $t$ and independent of any previous event
(independent of event history).
The probability $P$ for an event occuring within a time bin of width $\Delta t$
is
\[ P=\lambda \cdot \Delta t \]
for a Poisson process with rate $\lambda$.
\subsection{Statistics of homogeneous Poisson process}
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz}
\caption{\label{hompoissonisihfig}Interspike interval histograms of poisson spike train.}
\end{figure}
\begin{itemize}
\item Exponential distribution of intervals $T$: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$
\item Mean interval $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$
\item Variance of intervals $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$
\item Coefficient of variation $CV_{ISI} = 1$
\item Serial correlation $\rho_k =0$ for $k>0$ (renewal process!)
\item Fano factor $F=1$
\end{itemize}
\subsection{Count statistics of Poisson process}
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms}
\caption{\label{hompoissoncountfig}Count statistics of poisson spike train.}
\end{figure}
Poisson distribution:
\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]

49
pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex
View File

@@ -113,3 +113,52 @@ Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feue
% \end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Homogener Poisson Prozess}
F\"ur kontinuierliche Me{\ss}gr\"o{\ss}en ist die Normalverteilung
u.a. wegem dem Zentralen Grenzwertsatz die Standardverteilung. Eine
\"ahnliche Rolle spilet bei Punktprozessen der ``Poisson Prozess''.
Beim homogenen Poisson Prozess treten Ereignisse mit einer festen Rate
$\lambda=\text{const.}$ auf und sind unabh\"angig von der Zeit $t$ und
unabh\"angig von den Zeitpunkten fr\"uherer Ereignisse. Die
Wahrscheinlichkeit zu irgendeiner Zeit ein Ereigniss in einem kleinen
Zeitfenster der Breite $\Delta t$ zu bekommen ist
\[ P = \lambda \cdot \Delta t \; . \]
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz}
\caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Spikes eine homogenen
Poisson Prozesse mit $\lambda=100$\,Hz.}
\end{figure}
Beim inhomogenen Poisson Prozess h\"angt die Rate $\lambda$ von der
Zeit ab: $\lambda = \lambda(t)$.
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz}
\caption{\label{hompoissonisihfig}Interspikeintervallverteilungen
zweier Poissonprozesse.}
\end{figure}
Der homogne Poissonprozess hat folgende Eigenschaften:
\begin{itemize}
\item Die Intervalle $T$ sind exponentiell verteilt: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$ .
\item Das mittlere Intervall ist $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$ .
\item Die Varianz der Intervalle ist $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$ .
\item Der Variationskoeffizient ist also immer $CV_{ISI} = 1$ .
\item Die seriellen Korrelationen $\rho_k =0$ for $k>0$, da das
Auftreten der Ereignisse unabh\"angig von der Vorgeschichte ist. Ein
solcher Prozess wird auch Erneuerungsprozess genannt (``renewal
process'').
\item Die Anzahl der Ereignisse $k$ innerhalb eines Fensters der L\"ange W ist Poissonverteilt:
\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \]
\item Der Fano Faktor ist immer $F=1$ .
\end{itemize}
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms}
\caption{\label{hompoissoncountfig}Z\"ahlstatistik von Poisson Spikes.}
\end{figure}