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5
pointprocesses/code/pifouspikes.m
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@ -1,9 +1,10 @@
function spikes = pifouspikes( trials, input, tmaxdt, D, outau )
% Generate spike times of a perfect integrate-and-fire neuron
% with Ornstein-Uhlenbeck noise (colored noise).
% trials: the number of trials to be generated
% input: the stimulus either as a single value or as a vector
% tmaxdt: in case of a single value stimulus the duration of a trial
% in case of a vector as a stimulus the time step
% tmaxdt: in case of a single value stimulus: the duration of a trial
% in case of a vector as a stimulus: the time step
% D: the strength of additive white noise
% outau: time constant of the colored noise

61
pointprocesses/exercises/pointprocesses01.tex
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@ -99,10 +99,11 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
der drei Neurone miteinander vergleichen.
\begin{parts}
\part Lade die Spiketrains aus den drei Dateien. Achte darauf, dass sie verschiedene
Variablennamen bekommen.
Variablen\-namen bekommen.
\begin{solution}
\begin{lstlisting}
clear all
% not so good:
load poisson.mat
whos
poissonspikes = spikes;
@ -111,15 +112,23 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
load lifadapt.mat;
lifadaptspikes = spikes;
clear spikes;
% better:
clear all
x = load( 'poisson.mat' );
poissonspikes = x.spikes;
x = load( pifou.mat' );
pifouspikes = x.spikes;
x = load( 'lifadapt.mat' );
lifadaptspikes = x.spikes;
\end{lstlisting}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die die Spikezeiten der ersten
\code{tmax} Sekunden in einem Rasterplot visualisiert. In jeder
$t_{max}$ Sekunden in einem Rasterplot visualisiert. In jeder
Zeile des Rasterplots wird ein Spiketrain dargestellt. Jeder
einzelne Spike wird als senkrechte Linie zu der Zeit des
Auftretens des Spikes geplottet. Benutze die Funktion, um die
Spikeraster der ersten 1\,s der drei Neurone zu plotten.
Spikeraster der ersten 1\,s der drei Neurone nebeneinander zu plotten.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/spikeraster.m}
\lstinputlisting{../code/plotspikeraster.m}
@ -127,22 +136,22 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{spikeraster}}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzigen Vektor mit den Interspike-Intervallen
aller Trials von Spikezeiten zur\"uckgibt.
\part Schreibe eine Funktion, die einen einzigen Vektor mit den
Interspikeintervallen aller Trials von Spikezeiten zur\"uckgibt.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/isis.m}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die ein normiertes Histogramm aus
einem Vektor von Interspike-Intervallen, gegeben in Sekunden,
berechnet und dieses mit richtiger Achsenbeschriftung plottet. Die
Interspike-Intervalle sollen dabei in Millisekunden angegeben
werden. Die Funktion soll ausserdem den Mittelwert, die Standardabweichung,
und den Variationskoeffizienten der Interspike Intervalle berechnen
und diese im Plot mit angeben.
einem Vektor von Interspikeintervallen, gegeben in Sekunden,
berechnet und dieses mit richtiger Achsenbeschriftung plottet.
Die Interspikeintervalle sollen dabei in Millisekunden angegeben
werden. Die Funktion soll zus\"atzlich den Mittelwert, die
Standardabweichung, und den Variationskoeffizienten der
Interspikeintervalle berechnen und diese im Plot mit angeben.
Benutze diese und die vorherige Funktion, um die Interspike-Intervall Verteilung
der drei Neurone zu vergleichen.
Benutze die vorherige und diese Funktion, um die
Interspikeintervall Verteilung der drei Neurone zu vergleichen.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/isihist.m}
\lstinputlisting{../code/plotisih.m}
@ -150,16 +159,19 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=1\textwidth]{isihist}}
\end{solution}
\part Schreibe eine Funktion, die die Seriellen Korrelationen der
Interspike Intervalle f\"ur lags bis zu \code{maxlag} berechnet
und plottet. Die Seriellen Korrelationen $\rho_k$ f\"ur lag $k$
der Interspike Intervalle $T_i$ sind wie folgt definiert:
\part Schreibe eine Funktion, die die seriellen Korrelationen der
Interspikeintervalle f\"ur Lags bis zu \code{maxlag} berechnet und
plottet. Die Seriellen Korrelationen $\rho_k$ f\"ur Lag $k$ der
Interspikeintervalle $T_i$ sind die Korrelationskoeffizienten
zwischen den Interspikeintervallen $T_i$ und den um das Lag $k$
verschobenen Intervallen $T_{i+k}$:
\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i -
\langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T
\rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm
var}(T_i)} = {\rm corrcoef}(T_{i+k}, T_i) \] Benutze dies Funktion,
um die Interspike Intervall Korrelationen der drei Neurone zu
vergleichen.
var}(T_i)} = {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \]
Benutze diese Funktion, um die Interspikeintervall-Korrelationen
der drei Neurone zu vergleichen.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/isiserialcorr.m}
\lstinputlisting{../code/plotserialcorr.m}
@ -168,11 +180,10 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
\part Schreibe eine Funktion, die aus Spikezeiten
Histogramme aus der Anzahl von Spikes, die in Fenstern gegebener L\"ange $W$
gez\"ahlt werden, erzeugt und plottet. Zus\"atzlich soll die Funktion
die Poisson-Verteilung
\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \] mit der Rate
$\lambda$, die aus den Daten bestimmt werden kann, mit zu dem
Histogramm hineinzeichen.
gez\"ahlt werden, erzeugt und plottet.
Wende diese Funktion auf die drei
Datens\"atze an. Probiere verschiedene Fenstergr\"o{\ss}en $W$ aus.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/counthist.m}
\lstinputlisting{../code/plotcounthist.m}

81
pointprocesses/exercises/pointprocesses02.tex
View File

@ -11,11 +11,11 @@
\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry}
\pagestyle{headandfoot}
\ifprintanswers
\newcommand{\stitle}{: L\"osungen}
\newcommand{\stitle}{L\"osungen}
\else
\newcommand{\stitle}{}
\newcommand{\stitle}{\"Ubung}
\fi
\header{{\bfseries\large \"Ubung 6\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 27. Oktober, 2015}}
\header{{\bfseries\large \stitle}}{{\bfseries\large Punktprozesse 2}}{{\bfseries\large 27. Oktober, 2015}}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
jan.benda@uni-tuebingen.de}
\runningfooter{}{\thepage}{}
@ -89,26 +89,27 @@ jan.benda@uni-tuebingen.de}
\begin{questions}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \qt{Homogeneous Poisson process}
We use the Poisson process to generate spike trains on which we can test and imrpove some
standard analysis functions.
A homogeneous Poisson process of rate $\lambda$ (measured in Hertz) is a point process
where the probability of an event is independent of time $t$ and independent of previous events.
The probability $P$ of an event within a bin of width $\Delta t$ is
\question \qt{Homogener Poisson Prozess}
Wir wollen den homogenen Poisson Prozess benutzen um Spikes zu generieren,
mit denen wir die Analysfunktionen des vorherigen \"Ubungszettel \"uberpr\"ufen k\"onnen.
Ein homogener Poisson Prozess mit der Rate $\lambda$ (measured in Hertz) ist ein Punktprozess,
bei dem die Wahrschienlichkeit eines Ereignisses unabh\"angig von der Zeit $t$ und
unabh\"angig von vorherigen Ereignissen ist.
Die Wahrscheinlichkeit $P$ eines Ereignisses innerhalb eines Bins der Breite $\Delta t$ ist
\[ P = \lambda \cdot \Delta t \]
for sufficiently small $\Delta t$.
f\"ur gen\"ugend kleine $\Delta t$.
\begin{parts}
\part Write a function that generates $n$ homogeneous Poisson spike trains of a given duration $T_{max}$
with rate $\lambda$.
\part Schreibe eine Funktion die $n$ homogene Poisson Spiketrains
einer gegebenen Dauer $T_{max}$ mit rate $\lambda$ erzeugt.
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonspikes.m}
\end{solution}
\part Using this function, generate a few trials and display them in a raster plot.
\part Benutze diese Funktion um einige Trials von Spikes zu erzeugen
und plotte diese als Spikeraster.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/spikeraster.m}
\begin{lstlisting}
spikes = hompoissonspikes( 10, 100.0, 0.5 );
spikeraster( spikes )
@ -117,41 +118,31 @@ for sufficiently small $\Delta t$.
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.7\textwidth]{poissonraster100hz}}
\end{solution}
\part Write a function that extracts a single vector of interspike intervals
from the spike times returned by the first function.
\part Berechne Histogramme aus den Interspikeintervallen von $n$
Poisson Spiketrains mit der Rate $\lambda=100$\,Hz. Ver\"andere
\"uber die Dauer $T_{max}$ der Spiketrains und die Anzahl $n$ der
Trials die Anzahl der Intervalle und ver\"andere auch die Binbreite
des Histograms (fange mit 1\,ms an). Wieviele Interspikeintervalle
werden ben\"otigt um ein ``sch\"ones'' Histogramm zu erhalten? Wie
lange m\"usste man also von dem Neuron ableiten?
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/isis.m}
About 5000 intervals for 25 bins. This corresponds to a $5000 /
100\,\hertz = 50\,\second$ recording of a neuron firing with
100\,\hertz.
\end{solution}
\part Write a function that plots the interspike-interval histogram
from a vector of interspike intervals. The function should also
compute the mean, the standard deviation, and the CV of the intervals
and display the values in the plot.
\begin{solution}
\lstinputlisting{../code/isihist.m}
\end{solution}
\part Compute histograms for Poisson spike trains with rate
$\lambda=100$\,Hz. Play around with $T_{max}$ and $n$ and the bin width
(start with 1\,ms) of the histogram.
How many
interspike intervals do you approximately need to get a ``nice''
histogram? How long do you need to record from the neuron?
\begin{solution}
About 5000 intervals for 25 bins. This corresponds to a $5000 / 100\,\hertz = 50\,\second$ recording
of a neuron firing with 100\,\hertz.
\end{solution}
\part Compare the histogram with the true distribution of intervals $T$ of the Poisson process
\part Vergleiche das Histogramm mit der zu erwartenden Verteilung
der Intervalle $T$ des Poisson Prozesses
\[ p(T) = \lambda e^{-\lambda T} \]
for various rates $\lambda$.
mit rate $\lambda$.
\begin{solution}
\lstinputlisting{hompoissonisih.m}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih100hz}}
\colorbox{white}{\includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissonisih20hz}}
\end{solution}
\part What happens if you make the bin width of the histogram smaller than $\Delta t$
\part \extra Was pasiert mit den Histogrammen, wenn die Binbreite der Histogramme kleiner
als das bei der Erzeugung der $\Delta t$ der
used for generating the Poisson spikes?
\begin{solution}
The bins between the discretization have zero entries. Therefore
@ -199,4 +190,12 @@ for sufficiently small $\Delta t$.
\end{questions}
\end{document}
\end{document}
Zus\"atzlich soll die Funktion
die Poisson-Verteilung
\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \] mit der Rate
$\lambda$, die aus den Daten bestimmt werden kann, mit zu dem
Histogramm hineinzeichen. Hinweis: es gibt eine \code{matlab} Funktion,
die die Fakult\"at $n!$ berechnet.

24
pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex
View File

@ -56,19 +56,28 @@ erzeugt. Zum Beispiel:
\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$.
\end{itemize}
\subsection{Interval return maps}
Scatter plot von aufeinander folgenden Intervallen $(T_{i+k}, T_i)$ getrennt durch das ``lag'' $k$.
\subsection{Korrelationen der Intervalle}
In ``return maps'' werden die um das ``Lag'' $k$ verz\"ogerten
Intervalle $T_{i+k}$ gegen die Intervalle $T_i$ geplottet. Dies macht
m\"ogliche Abh\"angigkeiten von aufeinanderfolgenden Intervallen
sichtbar.
\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples}
\includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples}
\caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps and serial correlations.}
\caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps und
serielle Korrelationen zwischen aufeinander folgenden Intervallen
im Abstand des Lags $k$.}
\end{figure}
\subsection{Serielle Korrelationen der Intervalle}
Korrelationskoeffizient zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``lag'' $k$:
\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} \]
$\rho_0=1$ (Korrelation jedes Intervalls mit sich selber).
Solche Ab\"angigkeiten werden durch die serielle Korrelation der
Intervalle quantifiziert. Das ist der Korrelationskoeffizient
zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``Lag'' $k$:
\[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)}
= {\rm corr}(T_{i+k}, T_i) \]
\"Ublicherweise wird die Korrelation $\rho_k$ gegen den Lag $k$
aufgetragen (\figref{returnmapfig}). $\rho_0=1$ (Korrelation jedes
Intervalls mit sich selber).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@ -87,7 +96,6 @@ Statistik der Anzahl der Ereignisse $N_i$ innerhalb von Beobachtungsfenstern $i$
\item Varianz der Anzahl: $\sigma_N^2 = \langle (N - \langle N \rangle)^2 \rangle$.
\item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_N^2}{\mu_N}$.
\end{itemize}
Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz
\[ r = \frac{\langle N \rangle}{W} \; . \]