diff --git a/statistics/exercises/exercises03.tex b/statistics/exercises/exercises03.tex new file mode 100644 index 0000000..11e4320 --- /dev/null +++ b/statistics/exercises/exercises03.tex @@ -0,0 +1,149 @@ +\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam} + +\usepackage[german]{babel} +\usepackage{pslatex} +\usepackage[mediumspace,mediumqspace,Gray]{SIunits} % \ohm, \micro +\usepackage{xcolor} +\usepackage{graphicx} +\usepackage[breaklinks=true,bookmarks=true,bookmarksopen=true,pdfpagemode=UseNone,pdfstartview=FitH,colorlinks=true,citecolor=blue]{hyperref} + +%%%%% layout %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\usepackage[left=20mm,right=20mm,top=25mm,bottom=25mm]{geometry} +\pagestyle{headandfoot} +\ifprintanswers +\newcommand{\stitle}{: L\"osungen} +\else +\newcommand{\stitle}{} +\fi +\header{{\bfseries\large \"Ubung 8\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 29. November, 2016}} +\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email: +jan.benda@uni-tuebingen.de} +\runningfooter{}{\thepage}{} + +\setlength{\baselineskip}{15pt} +\setlength{\parindent}{0.0cm} +\setlength{\parskip}{0.3cm} +\renewcommand{\baselinestretch}{1.15} + +%%%%% listings %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\usepackage{listings} +\lstset{ + language=Matlab, + basicstyle=\ttfamily\footnotesize, + numbers=left, + numberstyle=\tiny, + title=\lstname, + showstringspaces=false, + commentstyle=\itshape\color{darkgray}, + breaklines=true, + breakautoindent=true, + columns=flexible, + frame=single, + xleftmargin=1em, + xrightmargin=1em, + aboveskip=10pt +} + +%%%%% math stuff: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{bm} +\usepackage{dsfont} +\newcommand{\naZ}{\mathds{N}} +\newcommand{\gaZ}{\mathds{Z}} +\newcommand{\raZ}{\mathds{Q}} +\newcommand{\reZ}{\mathds{R}} +\newcommand{\reZp}{\mathds{R^+}} +\newcommand{\reZpN}{\mathds{R^+_0}} +\newcommand{\koZ}{\mathds{C}} + +%%%%% page breaks %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\newcommand{\continue}{\ifprintanswers% +\else +\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage% +\fi} +\newcommand{\continuepage}{\ifprintanswers% +\newpage +\else +\vfill\hspace*{\fill}$\rightarrow$\newpage% +\fi} +\newcommand{\newsolutionpage}{\ifprintanswers% +\newpage% +\else +\fi} + +%%%%% new commands %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\newcommand{\qt}[1]{\textbf{#1}\\} +\newcommand{\pref}[1]{(\ref{#1})} +\newcommand{\extra}{--- Zusatzaufgabe ---\ \mbox{}} +\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\begin{document} + +\input{instructions} + + +\begin{questions} + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\question \qt{Statistik des Random Walks} +Im folgenden wollen wir einige Eigenschaften des Random Walks bestimmen. +\begin{parts} + \part Schreibe eine Funktion, die einen einzelnen Random Walk mit + Startwert 0 f\"ur $n$ Schritte und Wahrscheinlichkeit $p$ f\"ur + einen positiven Schritt als Vektor zur\"uckgibt. + + \part Visualisiere jeweils 10 Random Walks mit $p=0.5$ zusammen in einem Plot + f\"ur $n=100$, $n=1000$ und $n=10000$ (drei Plots). + + Sch\"atze aus den Abbildungen ab, wie sich der Mittelwert und die + Standardabweichung des Random Walks mit der Zeit (Schritte) sich + entwickelt. + + \part \"Uberpr\"uefe deine Hypothese zum Mittelwert und zur + Standardabweichung, indem du von $m$ Random Walks ($m \ge 10$) f\"ur + jeden z.B. zehnten Schritt den Mittelwert und die Standardabweichung + \"uber die Positionen der $m$ Random Walks berechnest. + + Wie h\"angt also die Standardabweichung von der Anzahl der Schritte + ab? Wie entwickelt sich die Standardabweichung f\"ur eine sehr + gro{\ss}e Anzahl von Schritten? + + \part \extra Erstelle eine Grafik, die die Verteilung der Position + eines Random Walkers zu drei verschiedenen Zeitpunkten zeigt. +\end{parts} +\begin{solution} + \lstinputlisting{randomwalk.m} + \lstinputlisting{randomwalkstatistics.m} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{randomwalk-traces}\\ + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-stdev} + \includegraphics[width=0.5\textwidth]{randomwalk-hists} +\end{solution} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\question \qt{\extra 2D Random Walk} +Bisher hat sich unser Random Walker nur in einer Dimension bewegt +(nur vorw\"arts oder r\"uckw\"arts). Er kann aber auch in mehreren Dimensionen laufen!\\ +In zwei Dimensionen wird dazu in jedem Schritt eine weitere +Zufallszahl gezogen, die bestimmt ob er einen Schritt nach links oder +rechts gemacht hat. Die Bewegung nach vorne/hinten bzw. links/rechts +sind unabh\"angig voneinander. +\begin{parts} + \part Wie kann unter Verwendung unserer Funktion f\"ur den + eindimensionalen Random Walk ein zweidimensionaler Random Walk + simuliert werden? + \part Erstelle h\"ubsche Bilder, die zweidimensionalen Random + Walks verschiedener L\"ange (bis zu mindestens $n=1000000$) illustrieren. + \part Animationen sind auch sch\"on! z.B. mit dem \code{pause} Befehl. + \part Anstatt einfach den Weg des Random Walks zu zeichnen, kann man + sich auch merken, wie oft er an jeder Stelle vorbeigekommen ist und + mit einem Farbcode plotten. +\end{parts} + +\end{questions} + +\end{document} +