diff --git a/likelihood/lecture/likelihood.tex b/likelihood/lecture/likelihood.tex index 3166153..b69c5ec 100644 --- a/likelihood/lecture/likelihood.tex +++ b/likelihood/lecture/likelihood.tex @@ -5,7 +5,7 @@ In vielen Situationen wollen wir einen oder mehrere Parameter $\theta$ einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sch\"atzen, so dass die Verteilung die Daten $x_1, x_2, \ldots x_n$ am besten beschreibt. -Maximum-Likelihood-Sch\"atzer w\"ahlen wir die Parameter so, dass die +Maximum-Likelihood-Sch\"atzer w\"ahlen die Parameter so, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Daten aus der Verteilung stammen, am gr\"o{\ss}ten ist. @@ -16,10 +16,9 @@ $\theta$'') die Wahrscheinlichkeits(dichte)verteilung von $x$ mit dem Parameter(n) $\theta$. Das k\"onnte die Normalverteilung \begin{equation} \label{normpdfmean} - p(x|\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-\theta)^2}{2\sigma^2}} + p(x|\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \end{equation} -sein mit -fester Standardverteilung $\sigma$ und dem Mittelwert $\mu$ als +sein mit dem Mittelwert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ als Parameter $\theta$. Wenn nun den $n$ unabh\"angigen Beobachtungen $x_1, x_2, \ldots x_n$ @@ -59,9 +58,10 @@ das Maximum der logarithmierten Likelihood (``Log-Likelihood'') gesucht: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Beispiel: Das arithmetische Mittel} -Wenn die Me{\ss}daten $x_1, x_2, \ldots x_n$ der Normalverteilung \eqnref{normpdfmean} -entstammen, und wir den Mittelwert $\mu$ als einzigen Parameter der Verteilung betrachten, -welcher Wert von $\theta$ maximiert dessen Likelhood? +Wenn die Me{\ss}daten $x_1, x_2, \ldots x_n$ der Normalverteilung +\eqnref{normpdfmean} entstammen, und wir den Mittelwert $\mu=\theta$ als +einzigen Parameter der Verteilung betrachten, welcher Wert von +$\theta$ maximiert dessen Likelhood? \begin{figure}[t] \includegraphics[width=1\textwidth]{mlemean} @@ -101,7 +101,7 @@ Normalverteilung mit diesem Mittelwert gezogen worden sind. die Log-Likelihood (aus der Summe der logarithmierten Wahrscheinlichkeiten) f\"ur den Mittelwert als Parameter. Vergleiche die Position der Maxima mit den aus den Daten berechneten - Mittelwerte. + Mittelwert. \end{exercise} @@ -125,19 +125,19 @@ gegeben sind. Der Parameter $\theta$ soll so gew\"ahlt werden, dass die Log-Likelihood maximal wird. Der erste Term der Summe ist unabh\"angig von $\theta$ und kann deshalb bei der Suche nach dem -Maximum weggelassen werden. +Maximum weggelassen werden: \begin{eqnarray*} & = & - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i-f(x_i;\theta)}{\sigma_i} \right)^2 \end{eqnarray*} Anstatt nach dem Maximum zu suchen, k\"onnen wir auch das Vorzeichen der Log-Likelihood -umdrehen und nach dem Minimum suchen. Dabei k\"onnen wir auch den Faktor $1/2$ vor der Summe vernachl\"assigen --- auch das \"andert nichts an der Position des Minimums. +umdrehen und nach dem Minimum suchen. Dabei k\"onnen wir auch den Faktor $1/2$ vor der Summe vernachl\"assigen --- auch das \"andert nichts an der Position des Minimums: \begin{equation} \label{chisqmin} \theta_{mle} = \text{argmin}_{\theta} \; \sum_{i=1}^n \left( \frac{y_i-f(x_i;\theta)}{\sigma_i} \right)^2 \;\; = \;\; \text{argmin}_{\theta} \; \chi^2 \end{equation} Die Summe der quadratischen Abst\"ande normiert auf die jeweiligen Standardabweichungen wird auch mit $\chi^2$ bezeichnet. Der Wert des -Parameters $\theta$ welcher den quadratischen Abstand minimiert ist +Parameters $\theta$, welcher den quadratischen Abstand minimiert, ist also identisch mit der Maximierung der Wahrscheinlichkeit, dass die Daten tats\"achlich aus der Funktion stammen k\"onnen. Minimierung des $\chi^2$ ist also eine Maximum-Likelihood Sch\"atzung. Aber nur, wenn @@ -169,33 +169,33 @@ und setzen diese gleich Null: \end{eqnarray} Damit haben wir nun einen anlytischen Ausdruck f\"ur die Bestimmung der Steigung $\theta$ des Regressionsgeraden gewonnen. Ein -Gradientenabstieg ist f\"ur das Fitten der Geradensteigung also gar nicht -n\"otig. Das gilt allgemein f\"ur das Fitten von Koeffizienten von -linear kombinierten Basisfunktionen. Parameter die nichtlinear in -einer Funktion enthalten sind k\"onnen aber nicht analytisch aus den -Daten berechnet werden. Da bleibt dann nur auf numerische Verfahren -zur Optimierung der Kostenfunktion, wie z.B. der Gradientenabstieg, -zur\"uckzugreifen. +Gradientenabstieg ist f\"ur das Fitten der Geradensteigung also gar +nicht n\"otig. Das gilt allgemein f\"ur das Fitten von Koeffizienten +von linear kombinierten Basisfunktionen. Parameter, die nichtlinear in +einer Funktion enthalten sind, k\"onnen im Gegensatz dazu nicht +analytisch aus den Daten berechnet werden. F\"ur diesen Fall bleibt +dann nur auf numerische Verfahren zur Optimierung der Kostenfunktion, +wie z.B. der Gradientenabstieg, zur\"uckzugreifen. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Fits von Wahrscheinlichkeitsverteilungen} Zum Abschluss betrachten wir noch den Fall, bei dem wir die Parameter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (z.B. Mittelwert und -Standardabweichung der Normalverteilung) an ein Datenset fitten wolle. +Standardabweichung der Normalverteilung) an ein Datenset fitten wollen. Ein erster Gedanke k\"onnte sein, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion durch Minimierung des quadratischen -Abstands an ein Histogram der Daten zu fitten. Das ist aber aus +Abstands an ein Histogramm der Daten zu fitten. Das ist aber aus folgenden Gr\"unden nicht die Methode der Wahl: (i) Wahrscheinlichkeitsdichten k\"onnen nur positiv sein. Darum k\"onnen insbesondere bei kleinen Werten die Daten nicht symmetrisch streuen, -wie es bei normalverteilte Daten der Fall ist. (ii) Die Datenwerte +wie es bei normalverteilten Daten der Fall ist. (ii) Die Datenwerte sind nicht unabh\"angig, da das normierte Histogram sich zu Eins aufintegriert. Die beiden Annahmen normalverteilte und unabh\"angige Daten, die die Minimierung des quadratischen Abstands \eqnref{chisqmin} zu einem Maximum-Likelihood Sch\"atzer machen, sind -also verletzt. (iii) Das Histgramm h\"angt von der Wahl der +also verletzt. (iii) Das Histogramm h\"angt von der Wahl der Klassenbreite ab. Den direkten Weg, eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion an ein @@ -213,7 +213,6 @@ z.B. dem Gradientenabstieg, gel\"ost wird. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Links: die 100 Datenpunkte, die aus der Gammaverteilung 2. Ordnung (rot) gezogen worden sind. Der Maximum-Likelihood-Fit ist orange dargestellt. Rechts: das - normierte Histogramm der Daten zusammen mit der \"uber Minimierung - des quadratischen Abstands zum Histogramm berechneten Fits ist - potentiell schlechter.} + normierte Histogramm der Daten zusammen mit dem \"uber Minimierung + des quadratischen Abstands zum Histogramm berechneten Fit.} \end{figure} diff --git a/pointprocesses/lecture/isihexamples.py b/pointprocesses/lecture/isihexamples.py new file mode 100644 index 0000000..9d50fbc --- /dev/null +++ b/pointprocesses/lecture/isihexamples.py @@ -0,0 +1,101 @@ +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt + +def hompoisson(rate, trials, duration) : + spikes = [] + for k in range(trials) : + times = [] + t = 0.0 + while t < duration : + t += np.random.exponential(1/rate) + times.append( t ) + spikes.append( times ) + return spikes + +def inhompoisson(rate, trials, dt) : + spikes = [] + p = rate*dt + for k in range(trials) : + x = np.random.rand(len(rate)) + times = dt*np.nonzero(x= vthresh : + v = vreset + times.append(k*dt) + spikes.append( times ) + return spikes + +def isis( spikes ) : + isi = [] + for k in xrange(len(spikes)) : + isi.extend(np.diff(spikes[k])) + return isi + +def plotisih( ax, isis, binwidth=None ) : + if binwidth == None : + nperbin = 200.0 # average number of isis per bin + bins = len(isis)/nperbin # number of bins + binwidth = np.max(isis)/bins + if binwidth < 5e-4 : # half a millisecond + binwidth = 5e-4 + h, b = np.histogram(isis, np.arange(0.0, np.max(isis)+binwidth, binwidth), density=True) + ax.text(0.9, 0.85, 'rate={:.0f}Hz'.format(1.0/np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.text(0.9, 0.75, 'mean={:.0f}ms'.format(1000.0*np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.text(0.9, 0.65, 'CV={:.2f}'.format(np.std(isis)/np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.set_xlabel('ISI [ms]') + ax.set_ylabel('p(ISI) [1/s]') + ax.bar( 1000.0*b[:-1], h, 1000.0*np.diff(b) ) + +# parameter: +rate = 20.0 +drate = 50.0 +trials = 10 +duration = 100.0 +dt = 0.001 +tau = 0.1; + +# homogeneous spike trains: +homspikes = hompoisson(rate, trials, duration) + +# OU noise: +rng = np.random.RandomState(54637281) +time = np.arange(0.0, duration, dt) +x = np.zeros(time.shape)+rate +n = rng.randn(len(time))*drate*tau/np.sqrt(dt)+rate +for k in xrange(1,len(x)) : + x[k] = x[k-1] + (n[k]-x[k-1])*dt/tau +x[x<0.0] = 0.0 + +# pif spike trains: +inhspikes = pifspikes(x, trials, dt, D=0.3) + +fig = plt.figure( figsize=(9,4) ) +ax = fig.add_subplot(1, 2, 1) +ax.set_title('stationary') +ax.set_xlim(0.0, 200.0) +ax.set_ylim(0.0, 40.0) +plotisih(ax, isis(homspikes)) + +ax = fig.add_subplot(1, 2, 2) +ax.set_title('non-stationary') +ax.set_xlim(0.0, 200.0) +ax.set_ylim(0.0, 40.0) +plotisih(ax, isis(inhspikes)) + +plt.tight_layout() +plt.savefig('isihexamples.pdf') +plt.show() diff --git a/pointprocesses/lecture/pointprocesses-chapter.tex b/pointprocesses/lecture/pointprocesses-chapter.tex index dea0924..8ecbb10 100644 --- a/pointprocesses/lecture/pointprocesses-chapter.tex +++ b/pointprocesses/lecture/pointprocesses-chapter.tex @@ -223,3 +223,49 @@ \include{pointprocesses} \end{document} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +\section{\tr{Homogeneous Poisson process}{Homogener Poisson Prozess}} + +\begin{figure}[t] + \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz} + \caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Poisson-Spikes.} +\end{figure} + +The probability $p(t)\delta t$ of an event occuring at time $t$ +is independent of $t$ and independent of any previous event +(independent of event history). + +The probability $P$ for an event occuring within a time bin of width $\Delta t$ +is +\[ P=\lambda \cdot \Delta t \] +for a Poisson process with rate $\lambda$. + +\subsection{Statistics of homogeneous Poisson process} + +\begin{figure}[t] + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz} + \caption{\label{hompoissonisihfig}Interspike interval histograms of poisson spike train.} +\end{figure} + +\begin{itemize} +\item Exponential distribution of intervals $T$: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$ +\item Mean interval $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$ +\item Variance of intervals $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$ +\item Coefficient of variation $CV_{ISI} = 1$ +\item Serial correlation $\rho_k =0$ for $k>0$ (renewal process!) +\item Fano factor $F=1$ +\end{itemize} + +\subsection{Count statistics of Poisson process} + +\begin{figure}[t] + \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill + \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms} + \caption{\label{hompoissoncountfig}Count statistics of poisson spike train.} +\end{figure} + +Poisson distribution: +\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \] \ No newline at end of file diff --git a/pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex b/pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex index 94eea66..b654a20 100644 --- a/pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex +++ b/pointprocesses/lecture/pointprocesses.tex @@ -28,71 +28,51 @@ erzeugt. Zum Beispiel: Dynamik des Nervensystems und des Muskelapparates erzeugt. \end{itemize} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Rate eines Punktprozesses} -Rate of events $r$ (``spikes per time'') measured in Hertz. -\begin{itemize} -\item Number of events $N$ per observation time $W$: $r = \frac{N}{W}$ -\item Without boundary effects: $r = \frac{N-1}{t_N-t_1}$ -\item Inverse interval: $r = \frac{1}{\mu_{ISI}}$ -\end{itemize} +\begin{figure}[t] + \includegraphics[width=1\textwidth]{rasterexamples} + \caption{\label{rasterexamplesfig}Raster-Plot von jeweils 10 + Realisierungen eines station\"arenen Punktprozesses (homogener + Poisson Prozess mit Rate $\lambda=20$\;Hz, links) und eines + nicht-station\"aren Punktprozesses (perfect integrate-and-fire + Neuron getrieben mit Ohrnstein-Uhlenbeck Rauschen mit + Zeitkonstante $\tau=100$\,ms, rechts).} +\end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Intervall Statistiken} +\section{Intervall Statistik} \begin{figure}[t] - \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisih100hz}\hfill - \includegraphics[width=0.45\textwidth]{lifisih16} - \caption{\label{isihfig}Interspike-Intervall Histogramme von einem Poisson Prozess (links) - und einem Integrate-and-Fire Neuron (rechts).} + \includegraphics[width=1\textwidth]{isihexamples}\hfill + \caption{\label{isihexamplesfig}Interspike-Intervall Histogramme der in + \figref{rasterexamplesfig} gezeigten Spikes.} \end{figure} -\subsection{First order (Interspike) interval statistics} +\subsection{(Interspike) Intervall Statistik erster Ordnung} \begin{itemize} -\item Histogram $p(T)$ of intervals $T$. Normalized to $\int_0^{\infty} p(T) \; dT = 1$ -\item Mean interval $\mu_{ISI} = \langle T \rangle = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$ -\item Variance of intervals $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex} -\item Coefficient of variation $CV_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$ -\item Diffusion coefficient $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$ +\item Histogramm $p(T)$ der Intervalle $T$. Normiert auf $\int_0^{\infty} p(T) \; dT = 1$. +\item Mittleres Intervall $\mu_{ISI} = \langle T \rangle = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n T_i$. +\item Varianz der Intervalle $\sigma_{ISI}^2 = \langle (T - \langle T \rangle)^2 \rangle$\vspace{1ex} +\item Variationskoeffizient (``Coefficient of variation'') $CV_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}}{\mu_{ISI}}$. +\item Diffusions Koeffizient $D_{ISI} = \frac{\sigma_{ISI}^2}{2\mu_{ISI}^3}$. \end{itemize} \subsection{Interval return maps} -Scatter plot between succeeding intervals separated by lag $k$. +Scatter plot von aufeinander folgenden Intervallen $(T_{i+k}, T_i)$ getrennt durch das ``lag'' $k$. \begin{figure}[t] - \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} - LIF $I=10$, $\tau_{adapt}=100$\,ms:\\ - \includegraphics[width=1\textwidth]{lifadaptreturnmap10-100ms} - \end{minipage} - \hfill - \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} - LIF $I=15.7$, $\tau_{OU}=100$\,ms:\\ - \includegraphics[width=1\textwidth]{lifoureturnmap16-100ms} - \end{minipage} - \caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps.} + \includegraphics[width=1\textwidth]{returnmapexamples} + \includegraphics[width=1\textwidth]{serialcorrexamples} + \caption{\label{returnmapfig}Interspike-Intervall return maps and serial correlations.} \end{figure} -\subsection{Serial correlations of the intervals} -Correlation coefficients between succeeding intervals separated by lag $k$: +\subsection{Serielle Korrelationen der Intervalle} +Korrelationskoeffizient zwischen aufeinander folgenden Intervallen getrennt durch ``lag'' $k$: \[ \rho_k = \frac{\langle (T_{i+k} - \langle T \rangle)(T_i - \langle T \rangle) \rangle}{\langle (T_i - \langle T \rangle)^2\rangle} = \frac{{\rm cov}(T_{i+k}, T_i)}{{\rm var}(T_i)} \] -$\rho_0=1$ (correlation of each interval with itself). - -\begin{figure}[t] - \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} - LIF $I=10$, $\tau_{adapt}=100$\,ms:\\ - \includegraphics[width=1\textwidth]{lifadaptserial10-100ms} - \end{minipage} - \hfill - \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} - LIF $I=15.7$, $\tau_{OU}=100$\,ms:\\ - \includegraphics[width=1\textwidth]{lifouserial16-100ms} - \end{minipage} - \caption{\label{serialcorrfig}Serial correlations.} -\end{figure} +$\rho_0=1$ (Korrelation jedes Intervalls mit sich selber). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{Count statistics} +\section{Z\"ahlstatistik} \begin{figure}[t] \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthist100hz10ms}\hfill @@ -100,9 +80,16 @@ $\rho_0=1$ (correlation of each interval with itself). \caption{\label{countstatsfig}Count Statistik.} \end{figure} -Histogram of number of events $N$ (counts) within observation window of duration $W$. +Statistik der Anzahl der Ereignisse $N_i$ innerhalb von Beobachtungsfenstern $i$ der Breite $W$. +\begin{itemize} +\item Histogramm der counts $N_i$. +\item Mittlere Anzahl von Ereignissen: $\mu_N = \langle N \rangle$. +\item Varianz der Anzahl: $\sigma_N^2 = \langle (N - \langle N \rangle)^2 \rangle$. +\item Fano Faktor (Varianz geteilt durch Mittelwert): $F = \frac{\sigma_N^2}{\mu_N}$. +\end{itemize} -\subsection{Fano factor} +Insbesondere ist die mittlere Rate der Ereignisse $r$ (``Spikes pro Zeit'', Feuerrate) gemessen in Hertz +\[ r = \frac{\langle N \rangle}{W} \; . \] \begin{figure}[t] \begin{minipage}[t]{0.49\textwidth} @@ -117,55 +104,4 @@ Histogram of number of events $N$ (counts) within observation window of duration \caption{\label{fanofig}Fano factor.} \end{figure} -Statistics of number of events $N$ within observation window of duration $W$. -\begin{itemize} -\item Mean count: $\mu_N = \langle N \rangle$ -\item Count variance: $\sigma_N^2 = \langle (N - \langle N \rangle)^2 \rangle$ -\item Fano factor (variance divided by mean): $F = \frac{\sigma_N^2}{\mu_N}$ -\end{itemize} - - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% -\section{\tr{Homogeneous Poisson process}{Homogener Poisson Prozess}} - -\begin{figure}[t] - \includegraphics[width=1\textwidth]{poissonraster100hz} - \caption{\label{hompoissonfig}Rasterplot von Poisson-Spikes.} -\end{figure} - -The probability $p(t)\delta t$ of an event occuring at time $t$ -is independent of $t$ and independent of any previous event -(independent of event history). - -The probability $P$ for an event occuring within a time bin of width $\Delta t$ -is -\[ P=\lambda \cdot \Delta t \] -for a Poisson process with rate $\lambda$. - -\subsection{Statistics of homogeneous Poisson process} - -\begin{figure}[t] - \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp20hz}\hfill - \includegraphics[width=0.45\textwidth]{poissonisihexp100hz} - \caption{\label{hompoissonisihfig}Interspike interval histograms of poisson spike train.} -\end{figure} - -\begin{itemize} -\item Exponential distribution of intervals $T$: $p(T) = \lambda e^{-\lambda T}$ -\item Mean interval $\mu_{ISI} = \frac{1}{\lambda}$ -\item Variance of intervals $\sigma_{ISI}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$ -\item Coefficient of variation $CV_{ISI} = 1$ -\item Serial correlation $\rho_k =0$ for $k>0$ (renewal process!) -\item Fano factor $F=1$ -\end{itemize} - -\subsection{Count statistics of Poisson process} - -\begin{figure}[t] - \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz10ms}\hfill - \includegraphics[width=0.48\textwidth]{poissoncounthistdist100hz100ms} - \caption{\label{hompoissoncountfig}Count statistics of poisson spike train.} -\end{figure} -Poisson distribution: -\[ P(k) = \frac{(\lambda W)^ke^{\lambda W}}{k!} \] \ No newline at end of file diff --git a/pointprocesses/lecture/rasterexamples.py b/pointprocesses/lecture/rasterexamples.py new file mode 100644 index 0000000..c7c2433 --- /dev/null +++ b/pointprocesses/lecture/rasterexamples.py @@ -0,0 +1,86 @@ +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt + +def hompoisson(rate, trials, duration) : + spikes = [] + for k in range(trials) : + times = [] + t = 0.0 + while t < duration : + t += np.random.exponential(1/rate) + times.append( t ) + spikes.append( times ) + return spikes + +def inhompoisson(rate, trials, dt) : + spikes = [] + p = rate*dt + for k in range(trials) : + x = np.random.rand(len(rate)) + times = dt*np.nonzero(x= vthresh : + v = vreset + times.append(k*dt) + spikes.append( times ) + return spikes + +# parameter: +rate = 20.0 +drate = 50.0 +trials = 10 +duration = 2.0 +dt = 0.001 +tau = 0.1; + +# homogeneous spike trains: +homspikes = hompoisson(rate, trials, duration) + +# OU noise: +rng = np.random.RandomState(54637281) +time = np.arange(0.0, duration, dt) +x = np.zeros(time.shape)+rate +n = rng.randn(len(time))*drate*tau/np.sqrt(dt)+rate +for k in xrange(1,len(x)) : + x[k] = x[k-1] + (n[k]-x[k-1])*dt/tau +x[x<0.0] = 0.0 + +# inhomogeneous spike trains: +#inhspikes = inhompoisson(x, trials, dt) +# pif spike trains: +inhspikes = pifspikes(x, trials, dt, D=0.3) + +fig = plt.figure( figsize=(9,4) ) +ax = fig.add_subplot(1, 2, 1) +ax.set_title('stationary') +ax.set_xlim(0.0, duration) +ax.set_ylim(-0.5, trials-0.5) +ax.set_xlabel('Time [s]') +ax.set_ylabel('Trials') +ax.eventplot(homspikes, colors=[[0, 0, 0]], linelength=0.8) + +ax = fig.add_subplot(1, 2, 2) +ax.set_title('non-stationary') +ax.set_xlim(0.0, duration) +ax.set_ylim(-0.5, trials-0.5) +ax.set_xlabel('Time [s]') +ax.set_ylabel('Trials') +ax.eventplot(inhspikes, colors=[[0, 0, 0]], linelength=0.8) + +plt.tight_layout() +plt.savefig('rasterexamples.pdf') +plt.show() diff --git a/pointprocesses/lecture/returnmapexamples.py b/pointprocesses/lecture/returnmapexamples.py new file mode 100644 index 0000000..96803ff --- /dev/null +++ b/pointprocesses/lecture/returnmapexamples.py @@ -0,0 +1,105 @@ +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt + +def hompoisson(rate, trials, duration) : + spikes = [] + for k in range(trials) : + times = [] + t = 0.0 + while t < duration : + t += np.random.exponential(1/rate) + times.append( t ) + spikes.append( times ) + return spikes + +def inhompoisson(rate, trials, dt) : + spikes = [] + p = rate*dt + for k in range(trials) : + x = np.random.rand(len(rate)) + times = dt*np.nonzero(x= vthresh : + v = vreset + times.append(k*dt) + spikes.append( times ) + return spikes + +def isis( spikes ) : + isi = [] + for k in xrange(len(spikes)) : + isi.extend(np.diff(spikes[k])) + return np.array( isi ) + +def plotisih( ax, isis, binwidth=None ) : + if binwidth == None : + nperbin = 200.0 # average number of isis per bin + bins = len(isis)/nperbin # number of bins + binwidth = np.max(isis)/bins + if binwidth < 5e-4 : # half a millisecond + binwidth = 5e-4 + h, b = np.histogram(isis, np.arange(0.0, np.max(isis)+binwidth, binwidth), density=True) + ax.text(0.9, 0.85, 'rate={:.0f}Hz'.format(1.0/np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.text(0.9, 0.75, 'mean={:.0f}ms'.format(1000.0*np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.text(0.9, 0.65, 'CV={:.2f}'.format(np.std(isis)/np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.set_xlabel('ISI [ms]') + ax.set_ylabel('p(ISI) [1/s]') + ax.bar( 1000.0*b[:-1], h, 1000.0*np.diff(b) ) + +def plotreturnmap(ax, isis, lag=1, max=None) : + ax.set_xlabel(r'ISI$_i$ [ms]') + ax.set_ylabel(r'ISI$_{i+1}$ [ms]') + if max != None : + ax.set_xlim(0.0, 1000.0*max) + ax.set_ylim(0.0, 1000.0*max) + ax.scatter( 1000.0*isis[:-lag], 1000.0*isis[lag:] ) + +# parameter: +rate = 20.0 +drate = 50.0 +trials = 10 +duration = 10.0 +dt = 0.001 +tau = 0.1; + +# homogeneous spike trains: +homspikes = hompoisson(rate, trials, duration) + +# OU noise: +rng = np.random.RandomState(54637281) +time = np.arange(0.0, duration, dt) +x = np.zeros(time.shape)+rate +n = rng.randn(len(time))*drate*tau/np.sqrt(dt)+rate +for k in xrange(1,len(x)) : + x[k] = x[k-1] + (n[k]-x[k-1])*dt/tau +x[x<0.0] = 0.0 + +# pif spike trains: +inhspikes = pifspikes(x, trials, dt, D=0.3) + +fig = plt.figure( figsize=(9,4) ) +ax = fig.add_subplot(1, 2, 1) +ax.set_title('stationary') +plotreturnmap(ax, isis(homspikes), 1, 0.3) + +ax = fig.add_subplot(1, 2, 2) +ax.set_title('non-stationary') +plotreturnmap(ax, isis(inhspikes), 1, 0.3) + +plt.tight_layout() +plt.savefig('returnmapexamples.pdf') +#plt.show() diff --git a/pointprocesses/lecture/serialcorrexamples.py b/pointprocesses/lecture/serialcorrexamples.py new file mode 100644 index 0000000..e7fff9c --- /dev/null +++ b/pointprocesses/lecture/serialcorrexamples.py @@ -0,0 +1,117 @@ +import numpy as np +import matplotlib.pyplot as plt + +def hompoisson(rate, trials, duration) : + spikes = [] + for k in range(trials) : + times = [] + t = 0.0 + while t < duration : + t += np.random.exponential(1/rate) + times.append( t ) + spikes.append( times ) + return spikes + +def inhompoisson(rate, trials, dt) : + spikes = [] + p = rate*dt + for k in range(trials) : + x = np.random.rand(len(rate)) + times = dt*np.nonzero(x= vthresh : + v = vreset + times.append(k*dt) + spikes.append( times ) + return spikes + +def isis( spikes ) : + isi = [] + for k in xrange(len(spikes)) : + isi.extend(np.diff(spikes[k])) + return np.array( isi ) + +def plotisih( ax, isis, binwidth=None ) : + if binwidth == None : + nperbin = 200.0 # average number of isis per bin + bins = len(isis)/nperbin # number of bins + binwidth = np.max(isis)/bins + if binwidth < 5e-4 : # half a millisecond + binwidth = 5e-4 + h, b = np.histogram(isis, np.arange(0.0, np.max(isis)+binwidth, binwidth), density=True) + ax.text(0.9, 0.85, 'rate={:.0f}Hz'.format(1.0/np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.text(0.9, 0.75, 'mean={:.0f}ms'.format(1000.0*np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.text(0.9, 0.65, 'CV={:.2f}'.format(np.std(isis)/np.mean(isis)), ha='right', transform=ax.transAxes) + ax.set_xlabel('ISI [ms]') + ax.set_ylabel('p(ISI) [1/s]') + ax.bar( 1000.0*b[:-1], h, 1000.0*np.diff(b) ) + +def plotreturnmap(ax, isis, lag=1, max=None) : + ax.set_xlabel(r'ISI$_i$ [ms]') + ax.set_ylabel(r'ISI$_{i+1}$ [ms]') + if max != None : + ax.set_xlim(0.0, 1000.0*max) + ax.set_ylim(0.0, 1000.0*max) + ax.scatter( 1000.0*isis[:-lag], 1000.0*isis[lag:] ) + +def plotserialcorr(ax, isis, maxlag=10) : + lags = np.arange(maxlag+1) + corr = [1.0] + for lag in lags[1:] : + corr.append(np.corrcoef(isis[:-lag], isis[lag:])[0,1]) + ax.set_xlabel(r'lag $k$') + ax.set_ylabel(r'ISI correlation $\rho_k$') + ax.set_xlim(0.0, maxlag) + ax.set_ylim(-1.0, 1.0) + ax.plot(lags, corr, '.-', markersize=20) + +# parameter: +rate = 20.0 +drate = 50.0 +trials = 10 +duration = 500.0 +dt = 0.001 +tau = 0.1; + +# homogeneous spike trains: +homspikes = hompoisson(rate, trials, duration) + +# OU noise: +rng = np.random.RandomState(54637281) +time = np.arange(0.0, duration, dt) +x = np.zeros(time.shape)+rate +n = rng.randn(len(time))*drate*tau/np.sqrt(dt)+rate +for k in xrange(1,len(x)) : + x[k] = x[k-1] + (n[k]-x[k-1])*dt/tau +x[x<0.0] = 0.0 + +# pif spike trains: +inhspikes = pifspikes(x, trials, dt, D=0.3) + +fig = plt.figure( figsize=(9,3) ) + +ax = fig.add_subplot(1, 2, 1) +plotserialcorr(ax, isis(homspikes)) +ax.set_ylim(-0.2, 1.0) + +ax = fig.add_subplot(1, 2, 2) +plotserialcorr(ax, isis(inhspikes)) +ax.set_ylim(-0.2, 1.0) + +plt.tight_layout() +plt.savefig('serialcorrexamples.pdf') +#plt.show() diff --git a/scientificcomputing-script.tex b/scientificcomputing-script.tex index ad9487d..a053861 100644 --- a/scientificcomputing-script.tex +++ b/scientificcomputing-script.tex @@ -205,8 +205,9 @@ \newenvironment{definition}[1][]{\medskip\noindent\textbf{Definition}\ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{ #1}:\newline}% {\medskip} +%%%%% exercises: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{maxexercise} -\setcounter{maxexercise}{9} % show listings up to exercise maxexercise +\setcounter{maxexercise}{10} % show listings up to exercise maxexercise \newcounter{theexercise} \setcounter{theexercise}{1} \newcommand{\codepath}{}