\documentclass[12pt,a4paper,pdftex]{exam}

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\header{{\bfseries\large \"Ubung 1\stitle}}{{\bfseries\large Statistik}}{{\bfseries\large 19. Oktober, 2015}}
\firstpagefooter{Prof. Dr. Jan Benda}{Phone: 29 74573}{Email:
jan.benda@uni-tuebingen.de}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\input{instructions}


\begin{questions}

\question \qt{Wahrscheinlichkeiten eines W\"urfels I}

Der Computer kann auch als W\"urfel verwendet werden!
\begin{parts}
  \part Simuliere 10000 W\"urfe mit dem W\"urfel durch Erzeugung von
  ganzzahligen Zufallszahlen mit den Augenzahlen $x_i = 1, 2, \ldots 6$ .

  \part Berechne die Wahrscheinlichkeit $P(3)$
  des Auftretens der Augenzahl drei durch Bestimmung der Anzahl der Dreien im Datensatz.\\
  Entspricht das Ergebnis deiner Erwartung?\\
  \"Uberpr\"ufe auch die Wahrscheinlichkeit $P(x_i)$ der anderen Zahlen.\\
  Ist das ein fairer W\"urfel?

  \part Speicher die berechneten Wahrscheinlichkeiten $P(x_i)$ f\"ur das Auftreten der 
  gew\"urfelten Zahlen in einem Vektor und benutze die \code{bar} Funktion,
  um diese Wahrscheinlichkeiten als Funktion der Augenzahl zu plotten.

  \part Erstelle in einem weiterem Plot ein entsprechendes normiertes Histogramm
  mit der \code{hist} Funktion.

  \part \extra Wie k\"onnte man einen gezinkten W\"urfel simulieren, bei dem die sechs
  dreimal so h\"aufig wie die anderen Zahlen gew\"urfelt wird?\\
  Fertige von diesem W\"urfel ein Histogram aus 10000 W\"urfen an.
\end{parts}
\begin{solution}
  \lstinputlisting{rollthedie.m}
  \lstinputlisting{diehist.m}
  \lstinputlisting{die1.m}
  \includegraphics[width=1\textwidth]{die1}
\end{solution}


\continue
\question \qt{Wahrscheinlichkeiten eines W\"urfels II}
Wir werten nun das Verhalten mehrerer W\"urfel aus.
\begin{parts}
  \part Simuliere 20 W\"urfel, von denen jeder 100 mal geworfen wird 
  (jeder W\"urfel wird mit dem gleichen Zufallsgenerator simuliert).
  \part Berechne aus diesem Datensatz f\"ur jeden W\"urfel ein normiertes Histogramm.
  \part Bestimme den Mittelwert und die Standardabweichung f\"ur jede
  Augenzahl gemittelt \"uber die W\"urfel.
  \part Stelle das Ergebnis mit einem S\"aulenplot mit Fehlerbalken dar
  (\code{bar} mit \code{errorbar} Funktionen).
\end{parts}
\begin{solution}
  \lstinputlisting{die2.m}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{die2}
\end{solution}


\question \qt{Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung}
Mit den folgenden Aufgaben wollen wir bestimmen, welcher Anteil eines
normalverteilten Datensatzes in bestimmten Grenzen symmetrisch um den
Mittelwert enthalten ist.
\begin{parts}
  \part Erzeuge einen Datensatz $X = (x_1, x_2, ... x_n)$ aus
  $n=10000$ normalverteilten Zufallszahlen mit Mittelwert $\mu=0$ und
  Standardabweichung $\sigma=1$.
  \part \label{onesigma} Wieviele dieser Daten sind maximal eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt?\\
  D.h. wieviele Datenwerte $x_i$ haben den Wert $-\sigma < x_i < +\sigma$?\\
  Wie gro{\ss} ist also die Wahrscheinlichkeit $P_{\pm\sigma}$ einen
  Wert in diesem Interval zu erhalten?
  \part \label{probintegral} Berechne numerisch diese
  Wahrscheinlichkeit aus dem entsprechenden Integral
  \[ P_{\pm\sigma}=\int_{x=\mu-\sigma}^{x=\mu+\sigma} p_g(x) \, dx \]
  \"uber die Normalverteilung
  \[ p_g(x) =
  \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} \; . \]
  \"Uberpr\"ufe zuerst, ob tats\"achlich
  \[ \int_{-\infty}^{+\infty} p_g(x) \, dx = 1 \; . \]
  Warum muss das so sein?
  \part Welcher Anteil der Daten ist in den Intervallen $\pm2\sigma$ sowie $\pm3\sigma$
  enthalten?
  \part \label{givenfraction} Finde heraus in welchem Interval symmetrisch um den Mittelwert
  50\,\%, 90\,\%, 95\,\% bzw. 99\,\% der Daten enhalten sind.
  \part Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit eine Zahl in einem bestimmten Interval
  zu ziehen, wenn dieses Intervall immer kleiner wird?\\
  Schreibe ein Programm, das dies illustriert.\\
  Wie gro{\ss} ist die Wahrscheinlichkeit $P(x_i=0.1234)$?
  \part \extra Modifiziere den Code der Teilaufgaben \pref{onesigma}
  -- \pref{givenfraction} so, dass er f\"ur Datens\"atze mit
  beliebigen Mittelwerten und Standardabweichungen funktioniert.\\
  Teste den Code mit entsprechenden Zufallszahlen.\\
  Wie bekommt man mit \code{randn} Zufallszahlen mit beliebiger
  Standardabweichung und Mittelwerten?
\end{parts}
\begin{solution}
  \lstinputlisting{normprobs.m}
  \includegraphics[width=1\textwidth]{normprobs}
\end{solution}


\end{questions}

\end{document}